第6章-向量空间及向量的正交性

因此 b 在基 a1, a2 , a3 下的坐标向量为 (2, 1, 1 )T.
设向量空间 V 的维数为 n, 则 V 中任意 n 个线性无关的向量都是 V 的基, 对于不同的基,同一个向量的坐标向量一般是不同的.下面我们来 看看同一个向量在两个不同基下的坐标之间有什么关系.
设 a1, a2 , …, an 及 b1, b 2 , …, b n 是向量空间V 的两个基. 那么由基 的定义, 向量 bi (i = 1, 2, …, n ) 可由 a1, a2 , …, an 唯一线性表出. 设
则称 V 是一个实向量空间.
例1 全体 n 维向量的集合{(x1, x2, …, xn)T| xi R, i=1, 2, …, n } 是一个向量空间，记为 Rn. 特别的 n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间; n = 2 时全体平面中的向量 {(x1, x2 )T | xi R, i=1, 2} 是一个向量空 间，记为R2. n = 3 时全体三维向量 {(x1, x2, x3)T |xi R, i= 1, 2, 3 } 是一个向量 空间，记为R3. 注：向量空间中必含有零向量。
基变换公式
新基 定理2
旧基
过渡矩阵
设n 维向量空间V中的旧基a1, a2 , …, an到新基b1, b2 , …, bn的过渡矩阵为C。 V中的向量v 在旧基与新基下的坐标向量
分别为 x, y, 则有
x=Cy,
y=C-1x
坐标变换公式
证明：设A a1 ,, a n , B b1 ,, b n , 且 v x1a1 xna n Ax, v y1b1 ynb n By,
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例 13
设 a1 = ( 1, 1, 2 )T, a2 = ( 1,3, 0 )T , a3 = ( 1, 0, 1 )T, 证明 a1, a2 , a3 是 R3 的一个基, 并求 b = ( 0, 1, 3)T 在这个基下的坐标 向量. dim R3 =3, 而 a1 , a2 , a3
1 1 2 1 3 0 1 0 1 4 0,
解
所以 a1, a2 , a3 线性无关, 从而是 R3 的一个基. 令 b = x1 a1 + x2 a2 + x3 a3,, 即 ( 0, 1, 3) T= x1 (1, 1, 2)T + x2 (1, 3, 0)T+ x3 (1, 0, 1)T, 则 x1 + x2 + x3 = 0, x1 + 3x2 = 1, 2x1 + 0x2 + x3 = 3, x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1.
i 1
s
是 V 的由a1, a2, …, as 生成的子空间.
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例7 证明：m×n阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向量空 间，称S为 齐次方程组Ax=0的解空间. 证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足
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Au=0,Av=0. 设k为任一实数。
那么A(u+v)=Au+Av=0. 并且A(ku)=kAu=0。
如果m 1 n, 则v1 ,, v m , v m1为V的一组极大无关组，即 V 的一组基，定理证毕。
如果m 1 n, 按照如上方法，必存在 向量v m 2， ，v n V , 使得v1 ,, v m , v m1， , v n为V的一组极大无关组，即 V的一 组基，定理证毕。
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例 10 证明向量组 a1 = (1, 2, 1)T, a2 = (3, 0, 1)T, a3 = (2, 3, 5)T
为空间R3 的一组基.
证 由于 dim R3 = 3, 故只要证明 a1, a2 , a3 线性无关即可. 由于
1 3 2 a1 , a2 , a3 2 0 3 0 1 1 5
T
n
定义2
设 V 是一个向量空间，W V, W . 如果 W 关于向 量的加法与数乘也封闭，则称 W 是 V 的子空间.
若W V，并且V W, 则称两个向量空间相等，记为W=V.
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例4 V 本身和 {0} 都是 V 的子空间，称它们为 V 的平凡子空间. 例5
W1 {(a1, a2 ,, an1,0)T | ai R , i 1,2,, n 1}
因此Ax By ACy,即A(x Cy) 0.由A的列向量组线 性无关，因此r ( A) n，那么必有
x Cy 0，即x Cy，y C 1x。
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例 14 设 R3 中一组基为 a1= (3, 1, 2)T, a2= ( 1, 1, 1)T, a3 = (2, 3, 1)T, 求向量 a = (1, 0, 0)T 在基 a1 , a2 , a3 下的坐标向量. 解 设 a = ( 1, 0, 0) T在基 a1, a2 , a3下的坐标为 (y1, y2 , y3)T, 在基 e1, e2, e3 下的坐标为 (x1, x2, x3)T = (1, 0, 0) T, 则由于
注：b 在基 a1, a2, …, am 下的坐标向量是唯一的. 事实上, 若还有另一坐标向量 (c1, c2, …, cm )T, 即 b = c1 a1 + c2 a2 +… + cm am , 那么可得 (b1 c1) a1 + (b2 c2) a2 +… + (bm cm) am = 0, 由于a1, a 2, …, a m 线性无关, 故 b1 c1 = b2 c2 =…= bm cm= 0, 即 bi = ci ( i = 1, 2, …, m).
第一节 向量空间 一、n 维向量的定义及运算 第二节 向量的正交性 二、向量空间
一、向量空间及其维数和基
二、向量在基下的坐标
一、向量空间及其维数和基
定义1
设V是一些 n 维实向量的组成的非空集合，如果 V 关 于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即 (1) a, b V, 有 a+b V. (2) a V, k R, 有 ka V.
定理1
n维向量空间V中的任意m(m n)个线性无关向量 v1 ,, v m 都可扩充为V的一组基。
证明：由于m n，因此必存在向量 v m1 V , 使得m 1个向量v1 ,, v m , v m1线性无关 .
否则，对任意向量 v V , 使得m 1个向量v1 , , v m , v都线性 相关，则v必可由向量v1 ,, v m线性表示，那么可知 v1 , , v m 为向量空间V的极大无关组，因此 dim(V ) m，这与已知 dim(V ) n m矛盾。
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例 12 已知 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, …, 0 )T, …, en= ( 0, 0, 0, …, 1 )T 是 Rn 的基. 而对 Rn 中任一向量 b , 有 b = ( b1, b2, …, bn )T = b1 e1+ b2 e2+… + bnen , 所以 b 在基 e1, e2, …, en 下的坐标向量就是其自身. 故 e1, e2, …, en 称为空间 Rn 的标准基.
因此u+v∈S, ku∈S. 从而S为一个向量空间。
定义3 称向量组 V 的极大无关组为向量空间 V 的一组基底 (基)，而V 的秩 称为向量空间 V 的维数，记为 dim(V).
规定：零空间的维数为0, 它没有基. 向量组的任何一个极大无关组都是一组基，存在而不唯一。
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例8
设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向量组 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 )T, e2= ( 0, 1, 0, …, 0 )T, …, en= ( 0, 0, 0, …, 1 )T 是 Rn 的基, 且 dim(Rn) =n.
y1 1 2 1 从而 y C 0 2 5 y 0 1 3
3 7 1
5 1 2 11 0 5 . 2 0 1
证 由矩阵判别法知 e1, e2, …, en 线性无关. 设 a = (a1, a2, …, an )T为 任一 n 维向量, 显然有 a = a1 e1+ a2 e2+… + anen . 所以 a 可由 e1, e2, …, en 线性表出, 即 e1, e2, …, en 是 Rn 的基,从而 dim(Rn )= n. 例9 设 V 为一向量空间，且 dim V = r, 而 a1, a2, …, ar 为 V 中 r 个线性无关的向量，则 a1, a2, …, ar 必为向量空间 V 的一组基.
3 1 2 (a1, a2 , a3) = (e1, e2, e3 ) 1 1 3 2 1 1
因此由基 e1, e2, e3 (旧基)到基 a1, a2 , a3 (新基)的过渡矩阵为
3 1 2 C 1 1 3 2 1 1
二、向量在基下的坐标
定义4
设 a1, a2, …, am 是向量空间 V 的一个基, bV, b 可由 a1, a2, …, am 线性表示:
b = b1 a1 + b2 a2 +… + bm am , ( b1, b2, …, bmR ) 则组合系数构成的向量 (b1, b2, …, bm )T 称为向量 b 在基 a1, a2, …, am 下的坐标向量. 而bi 称为坐标。
c11` c12 c c22 21 令C cn1 cn 2
c1n c2 n , cnn
矩阵 C 称为由基 a1, a2 , …, an 到基 b1, b 2 , …, bn 的过渡矩阵, 它是 可逆的.
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(b1, b 2 , …, b n) = (a1, a2 , …, an ) C
因此 a1, a2 , a3 线性无关，从而 a1, a2 , a3 可构成空间 R3 的一组基。 从而R3=span{a1, a2 , a3 }。
例 11
r维向量空间V的结构可用它的一组基 生成的向量空间表示。 若v1 ,, v r 为V的一组基，则
V span v1 ,, v r v | v c 1 v 1 c r v r, c i R i , 1, ,r .
b1 c11a1 cn1a n , b c a c a , 1n 1 nn n n
即
c11 c12 c c (b1 , b 2 ,, b n ) (a1 , a 2 , , a n ) 21 22 cn1 cn 2
c1n c2 n . cnn
例2
仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, …, 0)T 的集合 {0} 构成一 个向量空间，称为零空间. 除零空间之外的所有向量空 间均称为非零空间。
例3
W = {(a1, a2, …, an)T| ai 0} 是一向量空间.
i 1
n
而 S {(a1 , a2 ,, an ) | ai 1} 不是一向量空间, 因为它关于 i 1 加法与数乘均不封闭，也不含零向量.
及W2 {(a, a, a,, a)T | a R } 都是 R n 的子空间. n个分量
例6
设 a V, 则 span{a} = {ka | k R }为 V 的子空间，称它 为由a生成的子空间，a 称为这子空间的生成元.
更一般地，设 a1, a2, …, as V.
spana1 ,, a s {a | a ki ai , ki R , i 1,2,, s}