基础拓扑学讲义部分习题解答二

《基础拓扑学讲义》部分习题解答二 P.28

Ex1设:f X Y →是映射，下列条件是等价的：

（1）:f X Y →是连续映射；

（2）若β是Y 的一组拓扑基，β内每个成员的反像为X 的开集；

（3）()()f A f A ⊆，对于X 的任意子集A ；

（4）11()()f B f B −−⊆，对于Y 的任意子集B ；

（5）Y 内任意闭集的反像为X 的闭集。

证 （1）⇒（2）

、（5）⇒（1）书本上定理1.1已证。 （2）⇒（3）设A 为X 的子集，显然()()f A f A ⊂，因此只需证明若x A A ∈−，则点()f x 为()f A 的聚点。事实上，设N 是()f x 在Y 中的一个邻域，我们可以找到β内的开集B ，使得()f x B N ∈⊂。集合1()f B −是X 的开集，从而是x 的一个邻域。但x A A ∈−，故1()f B −必含有A 的点。因此B 含有()f A 的点，从而N 含有()f A 的点，故()f x 为()f A 的聚点。

（3）⇒（4）由（3）得11(())(())f f B f f B B −−⊆=，于是有11()()f B f B −−⊆。

（4）⇒（5）设B 是Y 的闭集，因111()()()f B f B f B −−−⊆=。

故1()f B −是X 的闭集。

Ex2设B 是Y 的子集，:i B Y →是包含映射，:f X B →是一映射，证明f 连续⇔:i f X Y → 连续。

证 “⇒”因i 和f 均连续，故:i f X Y → 连续。 “⇐”设V 是B 的开集，因B 是Y 的子集，故存在Y 的开集U ，有1()V U B i U −==∩，而i f 连续，故

1111()()(())()i f U f i U f V −−−−==

是X 的开集，所以f 连续。

Ex3 若:f X Y →是同胚映射，

A X ⊂，则|:f A A Y →是嵌入映射。

证 只需证|:()f A A f A →是同胚映射，而|f A 一一显然，|f A 跟它的逆映射的连续性由上题可以得到。

Ex7 设:f X Y →是满的连续映射，其中X 是可分的。证明Y 也是可分的。

证 因X 是可分的，故存在X 的可数稠密子集A ，有A X =。而f 是满的连续映射，由第1题的（2）可知

()()()f A f A f X Y ⊃==

于是Y 也是可分的。

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Ex8 证明恒等映射:(,)(,)C f id ττ→ 是连续映射，但不是同胚映射。

证 因f C ττ⊂，故(,)f τ 中的任何一个开集都是(,)C τ 的开集，因此:(,)(,)C f id ττ→ 是连续映射。而f C ττ≠，从而1id −不连续，于是id 不是同胚映射。

Ex9 规定11:\[0,1)f E E →为

,0,()1, 1.x x f x x x <⎧=⎨−≥⎩

证明f 是连续映射，但不是同胚映射。

证 因(,0)−∞和[1,)+∞都是1\[0,1)E 中的闭集，f 在(,0)−∞和[1,)+∞上的限制都连续，由粘接引理知f 连续。

1f −不连续，事实上(,0)−∞是1\[0,1)E 中的闭集，而11()(,0)((,0))(,0)f f −−−∞=−∞=−∞不是1E 中的闭集。

Ex10 映射:f X Y →称为开（闭）映射，如果f 把X 的开（闭）集映为Y 的开（闭）集。举例说明开映射不一定是闭映射；闭映射也不一定是开映射。

例1：（开映射不是闭映射）设1{(,)|,0}X x y y x x

==>，将它作为2 的子空间，Y = 。则投射:(,)p X Y x y x → 是开映射但不是闭映射。因为X 是闭集，但()(0,)p X =+∞不是 的闭集。

例2：（闭映射不是开映射）:[1,1]r →− ，规定为

1,0(),11,1

x r x x x x >⎧⎪=≤⎨⎪−<−⎩。

因为(2,)+∞是 的开集，但((2,)){1}r +∞=不是[1,1]−的开集。

Ex11 如果:f X Y →是一一对应，则①f 是开映射⇔②f 是闭映射⇔③1f −连续。

证 ①⇒②设B 是X 的闭集，则C B 是X 的开集，于是()C f B 是Y 的开集，而:f X Y →是一一对应，故()()C f B Y f B =−是Y 的闭集。

②⇒③设B 是X 的闭集，则1

1()()()f B f B −−=是Y 的闭集，故1f −连续。

③⇒①设U 是X 的开集，因1f −连续，11()()()f U f U −−=是Y 的开集，故f 是开映射。

Ex12 设),(d X 是度量空间，A 是X 的非空闭集。规

定1:E X f →为}|),(inf{),()(A a a x d A x d x f ∈==。

证明f 连续，并且A x x f ∈⇔=0)(。

证 因),(d X 是度量空间，故X a x x ∈∀,,21，有),(),(),(2211a x d x x d a x d +≤。于是

}|),(inf{),(}|),(inf{2211A a a x d x x d A a a x d ∈+≤∈

即),()()(2121x x d x f x f ≤−，同理),()()(2112x x d x f x f ≤−，故

),()()(2121x x d x f x f ≤−，

于是εδε=∃>∀,0，当δ<),(0x x d 时，ε<≤−),()()(00x x d x f x f ，

故)(x f 在0x 点连续，由0x 的任意性知f 连续。

(,)00,,d x A y A ε=⇔∀>∃∈使得ε<),(y x d ，换言之即是：对于),(εx B ∀有∅≠A x B ∩),(ε，而这又等价于：对于x 的任意邻域U 有∅≠A U ∩，于是A A x =∈。