《输电线路基础》第2章-导线应力弧垂分析-第三节-悬点等高时(精)
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2 o
1 2 2
将上式按二项式定理展开
a
2
b
1 2 2
b2 a 2a
近似地取等式右边的前两项，得
g 2 x2 x o 2 o
（2-3-5）
又因 y x
g 2 o
x 2，则有
x o gyx
(2-3-6)
式中 σx——计算点P处切向应力(MPa)； σo——导线最低点应力(MPa)； g——计算气象条件时导线比载(N／m· mm2)： x——计算点P与导线最低点间水平距离(m)； yx——计算点P处纵坐标(m)。
过导线最低点建立直角坐 标系，并设导线任意点P的 切向应力为σx，导线截面 积为A，则OP段导线在三个 力作用下处于平衡状态：。 作用于O点，水平向左的 张力To=σ0A 作用于P点，切线方向的张力 T=σxA 作用于OP段导线上的总荷载 W=gxA 因假定荷载沿档距均布，所以总荷载w的作用点在x/2处．于是， 根据静力平衡条件另∑MP=0，有：T y 1 Wx 将T。和W计算式代入上式，则 ∴
T xA W gxA
T1 To o A
将T分解为水平分量T1和垂直分量T2，则
T T12 T22
根据静力平衡条件有
X 0
因此
T1 To o A
Y 0
T xA
2 o
T2 W gxA
o A2 gxA2
2
x gx gx
在一定气象条件下，导线最 低点应力σ0、比载g为已知。 图中档距为 l ，导线悬挂点等 高，所以悬点A、B的连线为一 平行于x轴的水平线，且档中 导线最低点位于档距中点，则 导线上任意一点的弧垂fx；可 表示为 由式(2-3-1)有
来自百度文库
f x yB y x
g l gl 2 yB 2 o 2 8 o
(2)任意点应力的垂直分量σ2是由计算点至导线最低点间一段导线 上作用的荷载引起的，因此是变化的。导线最低点应力的垂直分量 为零，所以应力最小；计算点距导线最低点越远，其应力的垂直分 量越大，导线应力越大。 (3)悬点等高时档中导线最低点在档距中央，对导线悬挂点A、B有： l x x ,y y f 所以有 2
2
yx
g 2 o
x2
将yB、yx计算式代入fx计算式并整理，则
fx g l l x x 2 o 2 2
l x 2
(2-3-2)
令 la 则
l x 2
lb 、
fx
g 2 o
l a lb
(2-3-3)
l b的意义如上图所示，即将档距以弧垂计算点分段，一部分 式中 l a、 为 l a，另一部分为l b。而档距中点 l a = l b = l/2，根据式（2-3-3） 得： 2
其二，将荷载简化为沿档距均匀分布，如下图，由此得到一套计 算式称为平抛物线式计算式。
当悬点高差h和 l 档距之比小于15％，应用平抛物线式已能满足精 度要求； 当h／ l ≥15％时，则可应用斜抛物线式； 只有高差很大或档距很大，要求精确计算时，才应用悬链线精确 式进行计算。 在本书中只应用抛物线式进行分析。
位于平原地区的线路，其导线悬点是等高的，此时如档距不大， 则因档中导线的实际长度L和 l 档距相差很小，即L≈ l ，就可以假 定作用在导线上的荷载沿档距均匀分布，并由此来建立悬挂曲线解 析方程。 如下图所示，已知悬点A、B等高的一档导线，档距为 l ，在一定 气象条件下，导线最低点应力为σ0，比载为g，并设比载沿档距均 匀分布。现取OP段导线进行分析。
式(2-3-5)、(2-3-6)就是档中任意点应力σx和导线最低点应力 σo的关系式。由以上推导分析可知： (1)在同一档导线 T1 TO O A 中，各点应力是不相等的，但若将 任意点应力σx分解为水平分量σ1和垂直分量σ2，则由式可知， 各点应力的水平分量均相等，且等于导线最低点应力σo。
y
g 2 o
x
2
2 1 2 o Ay gx A 2
O
（2-3-1）
式中x——任意一点P距0点的水平距离(m)； y——任意一点P的纵坐标(m)。
这就是悬点等高时，导线悬挂曲线的解析方程。由于该方程实际 上是一条抛物线方程，且是在简化了荷载分布状况的前提下推得的， l ％时，应用 所以称为平抛物线近似式。经计算证明，当h／ <10 该解析式已足够满足工程精度要求。 二、弧垂和应力的关系 导线弧垂的定义——是指导线悬挂曲线上任意一点至两侧悬挂点 连线的垂直距离。 如右图所示，fx为任意点x 处的弧垂，fo为档距中点l/2 处的弧垂。
l l gl fx l a lb 2 o 2 o 2 2 8 o g g
即：
gl 2 fx 8 o
(2-3-4)
由式(2-3-3)、(2-3-4)可见，导线弧垂与应力成反比，与档距的 平方成正比，即应力越大，弧垂越小；档距越大，弧垂越大。 由上图直观地可见，当悬点等高时，档中最大弧垂发生在档距 中点，即导线最低点。 三、任意点应力和最低点应力的关系 同一档距内，导线各点的应力是不 相等的，如右图所示，取OP段导 线进行受力分析。设导线最低点应 力为σ0，P点应力为σx，W为作用 在OP段导线上的总荷载，作用于 TO O A x/2处，则有
主讲:赵先德
第二章 导线应力弧垂分析
第三节 悬点等高时导线弧垂、线长和应力的关系
一、导线悬挂曲线解析方程式 悬挂在杆塔上的一档导线，由于档距很大，导线材料的刚性对导 线悬挂于空中的几何形状影响很小，所以可忽略不计，而将导线假 定为一根处处铰接的柔软的链条。 我们可以把导线悬挂曲线看成是一条理想柔韧的悬链线，其解析 方程为悬链线方程。 悬链线方程包含双曲函数，由它推导出的其它计算式也较为繁复， 因此，工程中在误差允许的前提下，取其简化形式。 简化形式有： 将沿线长均布的荷载简化为沿档距两侧导线悬挂点的连线均匀分 布，如下图，由此得到一套计算式称为斜抛物线式计算式；
1 2 2
将上式按二项式定理展开
a
2
b
1 2 2
b2 a 2a
近似地取等式右边的前两项，得
g 2 x2 x o 2 o
（2-3-5）
又因 y x
g 2 o
x 2，则有
x o gyx
(2-3-6)
式中 σx——计算点P处切向应力(MPa)； σo——导线最低点应力(MPa)； g——计算气象条件时导线比载(N／m· mm2)： x——计算点P与导线最低点间水平距离(m)； yx——计算点P处纵坐标(m)。
过导线最低点建立直角坐 标系，并设导线任意点P的 切向应力为σx，导线截面 积为A，则OP段导线在三个 力作用下处于平衡状态：。 作用于O点，水平向左的 张力To=σ0A 作用于P点，切线方向的张力 T=σxA 作用于OP段导线上的总荷载 W=gxA 因假定荷载沿档距均布，所以总荷载w的作用点在x/2处．于是， 根据静力平衡条件另∑MP=0，有：T y 1 Wx 将T。和W计算式代入上式，则 ∴
T xA W gxA
T1 To o A
将T分解为水平分量T1和垂直分量T2，则
T T12 T22
根据静力平衡条件有
X 0
因此
T1 To o A
Y 0
T xA
2 o
T2 W gxA
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2
x gx gx
在一定气象条件下，导线最 低点应力σ0、比载g为已知。 图中档距为 l ，导线悬挂点等 高，所以悬点A、B的连线为一 平行于x轴的水平线，且档中 导线最低点位于档距中点，则 导线上任意一点的弧垂fx；可 表示为 由式(2-3-1)有
来自百度文库
f x yB y x
g l gl 2 yB 2 o 2 8 o
(2)任意点应力的垂直分量σ2是由计算点至导线最低点间一段导线 上作用的荷载引起的，因此是变化的。导线最低点应力的垂直分量 为零，所以应力最小；计算点距导线最低点越远，其应力的垂直分 量越大，导线应力越大。 (3)悬点等高时档中导线最低点在档距中央，对导线悬挂点A、B有： l x x ,y y f 所以有 2
2
yx
g 2 o
x2
将yB、yx计算式代入fx计算式并整理，则
fx g l l x x 2 o 2 2
l x 2
(2-3-2)
令 la 则
l x 2
lb 、
fx
g 2 o
l a lb
(2-3-3)
l b的意义如上图所示，即将档距以弧垂计算点分段，一部分 式中 l a、 为 l a，另一部分为l b。而档距中点 l a = l b = l/2，根据式（2-3-3） 得： 2
其二，将荷载简化为沿档距均匀分布，如下图，由此得到一套计 算式称为平抛物线式计算式。
当悬点高差h和 l 档距之比小于15％，应用平抛物线式已能满足精 度要求； 当h／ l ≥15％时，则可应用斜抛物线式； 只有高差很大或档距很大，要求精确计算时，才应用悬链线精确 式进行计算。 在本书中只应用抛物线式进行分析。
位于平原地区的线路，其导线悬点是等高的，此时如档距不大， 则因档中导线的实际长度L和 l 档距相差很小，即L≈ l ，就可以假 定作用在导线上的荷载沿档距均匀分布，并由此来建立悬挂曲线解 析方程。 如下图所示，已知悬点A、B等高的一档导线，档距为 l ，在一定 气象条件下，导线最低点应力为σ0，比载为g，并设比载沿档距均 匀分布。现取OP段导线进行分析。
式(2-3-5)、(2-3-6)就是档中任意点应力σx和导线最低点应力 σo的关系式。由以上推导分析可知： (1)在同一档导线 T1 TO O A 中，各点应力是不相等的，但若将 任意点应力σx分解为水平分量σ1和垂直分量σ2，则由式可知， 各点应力的水平分量均相等，且等于导线最低点应力σo。
y
g 2 o
x
2
2 1 2 o Ay gx A 2
O
（2-3-1）
式中x——任意一点P距0点的水平距离(m)； y——任意一点P的纵坐标(m)。
这就是悬点等高时，导线悬挂曲线的解析方程。由于该方程实际 上是一条抛物线方程，且是在简化了荷载分布状况的前提下推得的， l ％时，应用 所以称为平抛物线近似式。经计算证明，当h／ <10 该解析式已足够满足工程精度要求。 二、弧垂和应力的关系 导线弧垂的定义——是指导线悬挂曲线上任意一点至两侧悬挂点 连线的垂直距离。 如右图所示，fx为任意点x 处的弧垂，fo为档距中点l/2 处的弧垂。
l l gl fx l a lb 2 o 2 o 2 2 8 o g g
即：
gl 2 fx 8 o
(2-3-4)
由式(2-3-3)、(2-3-4)可见，导线弧垂与应力成反比，与档距的 平方成正比，即应力越大，弧垂越小；档距越大，弧垂越大。 由上图直观地可见，当悬点等高时，档中最大弧垂发生在档距 中点，即导线最低点。 三、任意点应力和最低点应力的关系 同一档距内，导线各点的应力是不 相等的，如右图所示，取OP段导 线进行受力分析。设导线最低点应 力为σ0，P点应力为σx，W为作用 在OP段导线上的总荷载，作用于 TO O A x/2处，则有
主讲:赵先德
第二章 导线应力弧垂分析
第三节 悬点等高时导线弧垂、线长和应力的关系
一、导线悬挂曲线解析方程式 悬挂在杆塔上的一档导线，由于档距很大，导线材料的刚性对导 线悬挂于空中的几何形状影响很小，所以可忽略不计，而将导线假 定为一根处处铰接的柔软的链条。 我们可以把导线悬挂曲线看成是一条理想柔韧的悬链线，其解析 方程为悬链线方程。 悬链线方程包含双曲函数，由它推导出的其它计算式也较为繁复， 因此，工程中在误差允许的前提下，取其简化形式。 简化形式有： 将沿线长均布的荷载简化为沿档距两侧导线悬挂点的连线均匀分 布，如下图，由此得到一套计算式称为斜抛物线式计算式；