1-1数值分析

| x | | x x | | y | | y y | |x y | |x | |x y | |y | |x | |y | | e ( x ) | | e r r ( y) | |x y | |x y |

(1) 模型误差 用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模 型，它是对被描述的实际问题进行抽象，简化 得到的，因而是近似的，我们把数学模型与实 际问题之间的这种误差成为模型误差.
(2) 参数误差 数学模型中包含有一些物理量，如时间，温度 等等，大多都是由观察、测量得到的，由于受 到测量工具的限制。测量的数据只能是近似的, 成测量值与真实值之间的误差为参数误差.
为避免上述情况的发生，最好利用恒等式改变 计算方法，减少有效数字的损失. 例如对数， 分子(或分母)有理化等等.
在无恒等式可用的情况下,可以选用Taylor展开 式. 如果无法改变算式，则采用增加有效位数进行 运算，在计算机上则采用双倍字长运算，以保 证必须的精度.
(2) 防止大数“吃掉”小数 2 9 例 求方程 x ( ) x 10 0 的根 9 其中 10 , 1 9 x 10 , x2 1 解 显然方程的根是 1 如果用8位数字计算机计算，利用二次方程求 根公式 b b2 4ac x1,2 2a 那么有 b 2 4ac (109 1)2 4 109 109
所以 x 至少具有n位有效数字. 例 要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1% 要取几位有效数字？ 1 n 1 解 由定理1可知 r 10 , a1 4
2a1 3 3 0.125 10 10 所以只要取n=4,就有 r
即对 20 的近似值取4位有效数字即可.
k 0 n
f ( k ) ( x0 ) k ( x x0 ) k!
则数值方法的截断误差为
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x ) ( x x0 )n1 ( n 1)!
(4) 舍入误差 有了求解数学问题的计算公式后，用计算机进 行数值计算时，由于计算机字长的位数有限， 只能用有限位数进行计算. 且当两数进行算术 运算时，其结果也要进行舍入，这种由舍入产 生的误差称为舍入误差. 在上述讨论的误差来源中，前两种误差是客观 存在的，后两种误差是由计算方法引起的. 本 课程是研究数学问题的数值方法，因此只涉及 到后两种误差.
如果 x 的相对误差满足
x x 1 ( n 1) | er | 10 x 2(a1 1)
x 则 至少具有n位有效数字.
证明
x x | x x || x | x
(a1 1)10

m 1
1 1 mn ( n 1) 10 10 2(a1 1) 2
(3) 截断误差 在求解某个数学问题时，用有限的过程代替无 线过程所产生的误差称为截断误差，而这种误 差是由于计算方法本身引起的，因此也称为方 法误差.
例 用f(x)的Taylor展开计算f(x)的函数值. 解 设有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
x 是x的近似值， 定义 设某量的准确值为x,
e 称
x
r
e 为 x 的相对误差，记做 r .
r

如果 e , 称 为 x 的相对误差限.
r
相对误差和相对误差限都是无量纲的数，通常 用百分数表示. x 1.233, x x 1.234, x 0.002, 例 设 1 1 2 0.001 2
其中 a1 0
证明
因此有
| x | (0.a1a2
an )10m (0.a1 )10m
mn 1 ( )10 x x 1 ( n 1) 2 | er | 10 x (0.a1 )10m 2a1
因此，有效数字越多，相对误差限越小. m 定理2 设x的近似数为 x (0.a1a2 an )10 ,
3
数值运算的误差估计 * ( x ), * ( y ) 设 x*, y *是x和y的近似值， 为对应的绝对误差限，则x和y的四则运算的
绝对误差限为
* ( x y) * ( x) * ( y)
* ( x y ) | x* | * ( y ) | y* | * ( x )
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) ( x x0 )n1 , 在 x0与 x 之间 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
当我们用近似公式来代替f(x)进行计算时， 若 x x0 较小时，有
f ( x ) Pn ( x )
x , x 估计近似数 1 2 的绝对误差限及相对误差限.
3 | e ( x ) | | x x | 10 解 显然 1 1 1
| e ( x2 ) || x2 x2 | 103
相对误差为
r
10 | e ( x1 ) | 0.81% 1.233 3 10 | er ( x2 ) | 100% 0.001
31 x 例 计算 的值 如果将x的值逐个相乘，要做30次乘法，但是 31 2 4 8 16 如果写成 x x x x x x
只要8次乘法运算就可以了. 例 计算多项式的值 n n1 Pn ( x) an x an1 x
a1 x a0
秦九韶算法： S n an , S k xS k 1 ak , (k n 1, P ( x) S . 0 n
,百度文库)
(4) 避免误差的积累与传播
例 计算 I n e
1

1
0
x ne x dx , n 0,1,
.
解 由分部积分得到 In 1 nIn1 , n 1, 2, . 1 所以 I0 1 e 0.63212056 I0
2.48 10
5
当条件数较大时，可能会出现前向误差很大 的情况，通常称这类问题为病态问题.
4 数值计算中需要注意的问题 (1) 避免两个相近的数相减 例 设x=18.496,y=18.493,取四位有效数字计算 x-y的近似值，并估计其相对误差.
取 x 18.50, y 18.49 则有 解 x y 18.50 18.49 0.01
3 误差的基本概念 (1) 绝对误差和相对误差 定义 设某量的准确值为x, x 是x的近似值， x 称 e x x 为 的绝对误差，简称误差. x 如果 e x x , 称 为 的绝对误差限.
显然 x x x , 常记为 x x .
* ( x / y)
| x* | * ( y ) | y* | * ( x )
| y* |
2
,(y* 0)
(2) 有效数字 定义 设x为准确值， x 是x的近似值，且 x 表示为 x (0.a1a2
a1 0, a1

an )10m , 其中m为整数，
an 为0,1,„,9中一个数字. 如果 x
数 值 分 析
第一章
绪论
1 数值分析研究的对象
2 误差来源与种类 3 误差的基本概念 4 数值计算中需要注意的问题
1 数值分析研究的对象
数值分析也称为计算方法，它是研究各种数学 问题是指方法的设计、分析、有关数学理论和 具体实现的一门学科，属于计算数学的范畴. 随着计算机技术的发展，科学与工程计算的应 用范围已经扩大到许多学科领域，形成一些边 缘学科，例如计算物理，计算化学，计算力学.
10 10 10 10 9 0 10 , x2 所以 x1 21 21
9 9 9 9
可以看出 x2 的误差太大，原因是在做加减法 9 10 小数1被大数 吃掉了！
c 利用根间的关系 x1 x2 求出 a
c x2 1 ax1
(3) 简化计算步骤，减少运算次数 同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不 但能节省计算时间，还能减少舍入误差. 这是 数值计算中必须遵守的原则，也是数值分析中 要研究的重要内容.
x x x* 2 1.96 0.04
前向误差和后向误差之间的关系
y f ( x*)x
定义 对于前向误差和后向误差，其相对误差 之比的绝对值称为计算函数f(x)的条件数
y Cp x y* x* ( f ( x ) f ( x*)) f ( x*) ( x x*) x *
x y 18.496 18.493 0.003
( x y) ( x y ) !! | e | 70% x y
r


( x y) ( x y ) | e | x y
r


| x x | | y y | |x y | |x y |

1 mn 误差满足 | x x | 10 , 即 x 误差不超过 2
某位的半个单位. 称该位到 x 的第一位非零数 字为 x 的有效数字，即 x 有n位有效数字. 注 当 x 是x的 an1 按四舍五入原则得到的近似

数，则 x 具有n位有效数字 .

它的近似数为 x 8.000, x x 8.00033, 设 1 2 8
(3) 条件数与病态问题 定义 设f为 R R上的实值函数, 对于给定的x 计算y=f(x). 若y*是y的近似值，则称 y y y *
为前向误差. 若存在x*使得f(x*)=y*, 则称
x x x * 为后向误差.
例 设y*=1.4为 2 的近似值，计算前向, 后向误差
y y y* 2 1.4 0.014
研究的内容
1 非线性方程的数值方法； 2 线性代数问题的数值方法；
3 数值逼近；
4 数值积分； 5 微分方程的数值解法.
2 误差来源与种类 一个物理量的真实值与计算出的值往往不相 等，称其差为误差. 引起误差的原因是多方面 的.
解决实际问题的过程： 实际问题
数学模型
数值计算方法
计算结果
程序设计
实际问题与计算结果存在着以下几种误差.
这两个数字写法是有区别的: x1 有4位有效数字； x2 仅有1位有效数字. 有效数字和相对误差之间的关系
x 定理1 设x的近似数为 (0.a1a2

an )10m ,
如果 x 具有n位有效数字,则 x 的相对误差限为
x x 1 ( n 1) | er | 10 x 2a1
目前，实验，理论，计算已成为人类进行科学 活动的三大方法.
为了解某科学与工程实际问题，首先是依据物 理、力学规律建立问题的数学模型，这些模型 一般是代数方程、微分方程等. 科学计算的一个重要方面就是要研究解这些数 学问题的数值计算方法，然后通过计算软件在 计算机上计算出实际需要的结果. 所以，数值分析除了具有数学的抽象与严谨的 特点外，还有应用广泛，与实际联系紧密的应 用性强的特点，它是一门既有理论，又有应用， 并且和计算机密切结合的课程.
近似计算公式为
x * f ( x*) Cp f ( x*)
例 计算f(x)=tan(x)的条件数 (x*=1.57)
f ( x ) tan( x ) 1 2 f ( x ) 1 tan ( x) 2 cos ( x ) x * f ( x*) 1 Cp x* tan( x*) f ( x*) tan( x*)