计算机中数据的表示及其运算

×2 1.2500 …………1(K-2) ×2 0.5000 …………0(K-3) ×2 1.0000 …………1(K-4)
所以 (0.8125)10=(0.1101)2
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（3）二进制数与八进制数的相互转换
二进制数转换成八进制数的方法可以概括为“三位并一位”； 八进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆三位”；
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一般而言，对于用R进制表示的数N（R为任意正整数），可以 按权展开为： N=Kn×Rn+Kn-1×Rn-1+…+K1×R1+K0×R0+K-1×R-1+…+K-m×R-m = Ki×Ri 其中，Ki是0,1,…,(R-1)个数字中的任意一个，m、n是正整 数，R是基数。
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表4.1列出了计算机中常用的四种进位计数制。其中十六进 制中的A,B,C,D,E,F分别相当于十进制中10,11,12,13,14,15 的值。
计算机中数据的表示及其运算
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计算机进行数据处理时，首先要将相应的数据输入到 计算机中，并以一定的形式存储在计算机中。计算机内部 是一个二进制数字世界，所以，不管是数值数据还是非数 值数据，都必须转换成二进制数的形式，才能存入计算机 中。
数值数据 有确定的值并在数轴上有对应的点。 是非数值数据 非数值数据没有确定的值，如字符、文字、 图像、声音、逻辑数据等。
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4．3．1 进位计数制
1） 进位计数制 任何一种计数制，都具有以下三个要点： （1） 数制使用的数码。十进制含10个数码：０～９； 二进制含２个数码：０，１等。 （2） 进位规则。十进制为逢十进一；二进制为逢二 进一等。 （3） 每一个数位上数码所具有的权。十进制数码各位 的权是以10为底的幂，二进制数码各位的权是以２为底的 幂。
【例4-7】 将（25.C4）16转换成二进制数。 解： 2 5 . C 4
0010 0101 1100 0100 所以 (25.C4)16=(100101.110001)2
表4.2列出了二、八、十、十六进制数之间的对应关系。
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4．3．2 机器数
一个数在计算机内部表示成的二进制形式称为机器数，原 来的数称为这个机器数的真值。
7Hale Waihona Puke Baidu
在十进制中，如将某数的各位向左移动1位，则其值增大
到原来的十倍；如将某数的各位向右移动1位，则其值减少
到原来的十分之一。同样，在二进制中，如将数的各位向左
移动1位，则其值增大到原来的二倍；反之将数的各位向右
移动1位，则其值减少到原来的二分之一。例如，二进数
101011.1在左移1位或右移1位后，其值的变化如下：
=16+8+0+1+0+0.25=(27.25)10 【例4-2】 将十六进制数35B转换成十进数. 解：(35B)16=3×162+5×161+11×160=768+80+11=(859)10
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(2) 十进制数转换成二进制数、八进制或十六进制数 整数部分：除基取余法
【例4-3】 把18转换成二进制数。
二进数
值
101011.1
43.5
向左移1位
1010111.0
87
向右移1位
10101.11
21.75
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2） 不同进位计数制之间的转换
转换所依据的原则是：如果两个数的值相等，则两数的整数 部分和小数部分的值一定分别相等。
(1) 二进制、八进制和十六进制数转换为十进制数。 任意R进制数转换成十进制数比较简单，只需按权展开然后相 加，其和便是相应的十进制数。这种方法称为按权相加法。 【例4-1】 求与（11011.01）2等值的十进数 解：(11011.01)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×21+1×2-2
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例如，数828.8的值为 8×102+2×101+8×100+8×10-1
其中，102、101、100、10-1称为权。 对于任何一个十进数N，都可以表示成按权展开的多项式： N=dn×10n+dn-1×10n-1+…+d1×101+d0×100+d-1×101+…+d-m×10-m
= di×10i 其中，di是0—9十个数字中的任意一个，m、n是正整数， 10被称为十进制数的基数，它是相邻数位的权之比。
机器数具有下列特点：
（1） 由于计算机设备的限制，机器数有固定的位数，它所 表示的数受到计算机固有位数的限制，所以机器数具有一定的
范围，超过这个范围便会发生溢出。
（2） 机器数将其真值的符号数字化。计算机中使用具有两 个不同状态的电子器件，它们只能分别表示数字符号“0”和 “1”。所以，数的正负号也只能通过0和1来加以区分。通常， 用机器数中规定的符号位（一般是一个数的最高位）取0或1分
解： 2 18
………余0(K0)
29
………余1(K1)
24
………余0(K2)
22
………余0(K3)
2 1 ………余1(K4)
0
所以 （18）10=（10010）2
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小数部分：乘基取整法
【例4-4】 将(0.8125)10转换成二进制数。 解： 0.8125
×2 1.6250 …………1(K-1)
【例4-6】 将 (11101.1101)2转换成八进制数。 解： 0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 0 0
3 5 64 所以 (11101.1101)2=(35.64)8
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（4）二进制数与十六进制数的相互转换
二进制数转换成十六进制数的方法可以概括为“四位并一位” ； 十六进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆四位” ；
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3）计算机中采用二进制的原因
（1）物理实现容易，（2）二进制运算简单，（3）机器可 靠性高，（4）通用性强
输入设备
输出设备
数值
十－二进制转换
英文
ASCII码
汉字
输入码－机内码转换
声音、图像 模数转换
内存
二－十进制转换 英文字形码 汉字字形码 数模转换
数值 英文 汉字 声音、图像
图4.25 各种数据在计算机中的转换过程
进位制
二进制
八进制
十进制
十六进制
规则 基数 数符
权 形式表示
逢二进一 借一当二 R=2 0,1
2i B
逢八进一 借一当八 R=8
逢十进一 借一当十 R=10
逢十六进一 借一当十六 R=16
0,1,2,…,7 8i
0,1,2,…,9 10i
0,1,2,…,9 A,B,C,D,E, F
16i
O
D
H
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