数学建模最优化模型ppt课件
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数学建模中的优化模型ppt课件
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• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
7
常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
8
2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
数学建模最优化模型优秀课件 (2)
xmax=x fmax=-fval
MATLAB(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
2.多元函数无约束优化问题
标准 fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
output= iterations: 108 funcCount: 202
algorthm: 'Nelder-Mead simplex direct search '
最优化问题的数学模型
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所 研究的系统，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模 型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模优化建模实例课件
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 1. 原料钢管剩余总余量最小 标准 2. 所用原料钢管总根数最少
18
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
目标 函数 (利润)
Max Z 3100(x11 x12 x13) 3800(x21 x22 x23) 3500(x31 x32 x33) 2850(x41 x42 x43)
货舱 x11 x21 x31 x41 10 重量 x12 x22 x32 x42 16
3
货机装运
模型建立
xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量
约束
平衡 要求
x11 x21 x31 x41 10
x12 x22 x32 x42 16
10； 6800
16； 8700
8； 5300
条件
x13 x23 x33 x43 8
货物 供应
x11 x12 x13 18 x21 x22 x23 15
如何装运， 使本次飞行 获利最大？
1
货机装运
模型假设
每种货物可以分割到任意小； 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布； 多种货物可以混装，并保证不留空隙；
模型建立
决策 xij--第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨） 变量 i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓)
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用Matlab编程求解程序如下：
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b) f = -[10 5]; A = [0.3 0.4;0.5 0.2]; B = [9;8];
[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(f,A,b)
X= 10.0000
2
建立无约束优化模型为：min y =- ( 3 2 x ) x ， 0< x <1.5
2
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为： 速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员 的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检 验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工 厂应聘一级、二级检验员各几名？
解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
综上得，
函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…）
数学建模之优化模型PPT课件
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质 线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
第3页/共29页
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
minu f (x) x
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生 产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 （与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于 需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的 生产计划，即多少天生产一次（称为生产周 期），每次产量多少，可使总费用最小。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T, c1) 2
S(T , c1)
T c1
T c1
dT d c1
c1 T
1 2
c2r c1 1 2c1 T 2
c2r
1
1
S (T , c2 ) 2
S(T , r) 2
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S (T , c1)
1 2
S
(T
,
一 优化模型的一般意义
（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f ( x) x (x1, x2, x3,...,xn ) 在约束条件 hi (x) 0,i 1,2,...,m.
和 gi (x) 0(gi (x) 0),i 1,2,...,p.
下的最大值或最小值，其中
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
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w 2 c 3*x c 2(t2 t1 )*x
• 不考虑森林地形分布的差异，同时也不考 虑风向和风速的影响，并且一切救火设备 和救火人员都正常工作。
精选ppt
5
模型的建立和求解
• 首先作图分析：
由图和前述的假设可知：森林烧毁面积 b(t2 )等于图中三角形
的积，即
b(t2 )
1 2
h t2，而 t2
例：森林救火费用最小问题
在森林失火时，应派多少消防队员去救火最合 适？派的队员越多，灭火的速度越快，火灾造 成的损失越小，但救援的开支会增大。我们的 问题是：派出多少队员救火，才能使火灾损失 费与救火费用之和最小？
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2
➢模型的假设
• 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比，烧 毁面积与失火时间的长短有关。
上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
其最优解 x * 可用微分方法求得（即一阶导数
为零的点）。因此，应派出的救火队员的最
合适的人数为( x * 必须为正整数)：
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v2
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7
➢ 一般优化模型的总结
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8
➢ 说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素进
设失火时刻t 0，开始救火的时刻为 ，
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b (t烧) 毁c 1 单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1c1*b(t2)
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3
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,t2时，
db dt
0 ；设当
t
t1
时，db
➢ 最优化方法的应用
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 的模型之一,其内容包括线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目标规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化方 法解决两方面的问题：成本最小化和利润最大化
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1
行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的因 素可以假设掉。
确定决定性因素
确定影响问题变化的主要因素
（利用相关度），同时达到简化问题的作用，为模型的建
立和求解奠定基础。
分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作 用，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。
（统计回归中的交互项的引入）
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9
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、 多目标规划等。
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10
谢 谢！！！
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11
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
dt
得其最大值 h。db
为 a设在0；a0,称t1为中火，d势t 为蔓延t的速线度性；函在数t，1,t2其中斜，率ddbt
为 t的线性函数，其斜率为 av*x0，其
中 x为救火队员人数，v为每个队员的平均
灭火速度。
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4
• 每个救火队员单位时间的费用为c 2 ，一次性 支出的费用为c 3 ，于是得到救火费用为
t1
vxha,所以b(t2)12h1t12vhx2a
，而火灾的损失费 w1c1b(t2)与救火费用 w 2 之和为：
w1 2c1h1t2(vc1h精x 2选ap)ptc3xvc2x xah
6
• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
m.w in 1 2c1h1 t2(v c1h x 2a)c3xvc2 x xah
• 不考虑森林地形分布的差异，同时也不考 虑风向和风速的影响，并且一切救火设备 和救火人员都正常工作。
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模型的建立和求解
• 首先作图分析：
由图和前述的假设可知：森林烧毁面积 b(t2 )等于图中三角形
的积，即
b(t2 )
1 2
h t2，而 t2
例：森林救火费用最小问题
在森林失火时，应派多少消防队员去救火最合 适？派的队员越多，灭火的速度越快，火灾造 成的损失越小，但救援的开支会增大。我们的 问题是：派出多少队员救火，才能使火灾损失 费与救火费用之和最小？
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2
➢模型的假设
• 火灾损失费与森林烧毁的面积成正比，烧 毁面积与失火时间的长短有关。
上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
其最优解 x * 可用微分方法求得（即一阶导数
为零的点）。因此，应派出的救火队员的最
合适的人数为( x * 必须为正整数)：
x* a v
c1vh2 2c2ah 2c3v2
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7
➢ 一般优化模型的总结
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8
➢ 说明：
确定目标
建立目标函数；
分析因素
对影响目标函数变化的各个因素进
设失火时刻t 0，开始救火的时刻为 ，
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b (t烧) 毁c 1 单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1c1*b(t2)
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3
•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,t2时，
db dt
0 ；设当
t
t1
时，db
➢ 最优化方法的应用
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛 的模型之一,其内容包括线性规划、非线性规划、 整数线性规划、动态规划、多目标规划、决策规 划等.
一般在实际生活中，我们总是利用 最优化方 法解决两方面的问题：成本最小化和利润最大化
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1
行定性或定量分析，而对那些随机性大、影响度很小的因 素可以假设掉。
确定决定性因素
确定影响问题变化的主要因素
（利用相关度），同时达到简化问题的作用，为模型的建
立和求解奠定基础。
分析各因素之间的作用 分析各因素之间的相互作 用，从而可以确定各因素是相互独立的、或是相关的。
（统计回归中的交互项的引入）
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9
把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、 多目标规划等。
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dt
得其最大值 h。db
为 a设在0；a0,称t1为中火，d势t 为蔓延t的速线度性；函在数t，1,t2其中斜，率ddbt
为 t的线性函数，其斜率为 av*x0，其
中 x为救火队员人数，v为每个队员的平均
灭火速度。
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4
• 每个救火队员单位时间的费用为c 2 ，一次性 支出的费用为c 3 ，于是得到救火费用为
t1
vxha,所以b(t2)12h1t12vhx2a
，而火灾的损失费 w1c1b(t2)与救火费用 w 2 之和为：
w1 2c1h1t2(vc1h精x 2选ap)ptc3xvc2x xah
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• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
m.w in 1 2c1h1 t2(v c1h x 2a)c3xvc2 x xah