专题4.3 立体几何的动态问题-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

ABC A1B1C1 中， AC BC ，若 A1A AB 2 ，当阳马 B A1ACC1 体积最大时，则堑堵 ABC A1B1C1
的体积为（ ）
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8
A．
B． 2
C. 2
D． 2 2
3
2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学 2017 届高三下学期第一次模拟】已知矩形 ABCD 中， AB 6, BC 4 ，
A. ADB
B. ADB
C. ACB
D. ACB
【举一反三】
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1、【四川省宜宾市 2019 届高三二诊】已知棱长都为 2 的正三棱柱
柱
绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为
的直观图如图，若正三棱
A．
B．
C．
D．
2.【重庆市南开中学 2019 届高三三月测试】如图，在正方形
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A．21
B．22
C．23
D．25
3、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离
的最小值为__________.
类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题
【例 3】在棱长为 6 的正方体
三．强化训练 一、选择题 1. 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是边 AA1，CC1 上的中点，点 M 是 BB1 上的动点， 过点 E，M，F 的平面与棱 DD1 交于点 N，设 BM＝x，平行四边形 EMFN 的面积为 S，设 y＝S2，则 y 关于 x 的函数 y＝f(x)的图象大致是( )
，则动点 的轨迹长
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A.
B.
C.
D.
【指点迷津】由已知可知平面 迹为线段 HF，求其长度即可. 【举一反三】
平面
，要始终有 平面
，点 M 为定点，所以点 P 的轨
1、【安徽省安庆市 2019 届高三二模】如图，正三棱柱
的侧棱长为 ，底面边长为 ，一只蚂蚁
从点 出发沿每个侧面爬到 ，路线为
的外接球表面为
C．
的最小值为
D．当
时，
平面
【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距
离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），
求其值.
【举一反三】
1、【河南省焦作市 2018-2019 学年高三三模】在棱长为 4 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 E、F 分别在棱 AA1 和 AB 上，且 C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）
的高
分别在 和 上，且
，当三棱锥
体积最大时，三棱锥
________．
，底面边长为 4， ， 的内切球的半径为
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12．【河南省六市 2019 届高三第一次联考】如图，
是等腰直角三角形，斜边
，D 为直角边 BC
上一点 不含端点 ，将
沿直线 AD 折叠至
的位置，使得 在平面 ABD 外，若 在平面 ABD 上的
一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思 维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形 的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、 面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套 路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是 因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的. 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因 素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程 充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究 存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问 题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证. 二．解题策略 类型一 立体几何中动态问题中的角度问题 例 1.【四川高考题】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段
射影 H 恰好在线段 AB 上，则 AH 的取值范围是______．
的外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．【河南省郑州市 2019 年高三第二次质量检测】在长方体
中，
，
，
分别是棱
的中点， 是底面
面积的最小值为（ ）
内一动点，若直线 与平面 没有公共点，则三角形
A．
B．
C．
D．
6.【上海交通大学附属中学 2019 届高三 3 月月考】如图，已知三棱锥
， 平面 ， 是棱 上
8.【安徽省蚌埠市 2019 届高三第一次检查】如图所示，正方体
的棱长为 2，E，F 为 ，
AB 的中点，M 点是正方形
内的动点，若
平面 ，则 M 点的轨迹长度为______．
9．已知正方体
的棱长为 ，点 为线段 上一点， 是平面 上一点，则
的
最小值是______________________； 10、【2017 课标 3，理 16】a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直 线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值 为 60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
11．【2019 届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥
的动点，记 与平面 所成的角为 ，与直线 所成的角为 ，则 与 的大小关系为（ ）
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A． C． 7．如图，在等腰 离为 ，则二面角
B．
D．不能确定
中，
，M 为 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距
的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
二、填空题
1
A．
5
B． 1 2
C． 3 2
D．1
类型二 立体几何中动态问题中的距离问题 【例 2】【广西壮族自治区柳州市 2019 届高三毕业班 3 月模拟】如图，在正方体 为 1，点 为线段 上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）
中，棱长
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A．当
时， 平面
B．当 为 中点时，四棱锥
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1、【四川高考题】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上，直 线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是（）
A．[ 3 ,1] 3
B．[ 6 ,1] 3
C．[ 6 , 2 2 ] D．[ 2 2 ,1]
33
中， ， 分别为线段 ， 上的点，
，
．将
绕直线 、
绕直线 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程
中，直线 与直线 所成角的最大值为________．
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3.【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪 开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
3、已知平面
平面 ，
，且
. 是正方形，在正方形 内部
有一点 ，满足
与平面 所成的角相等，则点 的轨迹长度为 ( )
A.
B.
C.
D.
类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题
【例 5】如图，已知 ABC ，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 ACD 折成 ACD ，所成二面角 A CD B
的平面角为 ，则（ ）
E, F 分别是 AB, CD 上两动点，且 AE DF ，把四边形 BCFE 沿 EF 折起，使平面 BCFE 平面 ABCD ，
若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）
A. 28
28 7
B.
3
C. 32
64 2
D.
3
3、【湖南省衡阳市 2019 届高三二模】如图，直角三角形 ，
A．
B．
C．
D．
2、某圆柱的高为 1，底面周长为 8，其三视图如图所示 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱 表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为
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A．
B．
C．
D．
3、如 图，等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ，已知 AED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中
的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）
A．动点 A 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 B．恒有平面 AGF ⊥平面 BCDE
C．三棱锥 A EFD 的体积有最大值
D．异面直线 AE 与 BD 不可能垂直
4.【河南省郑州市第一中学 2019 届高三上期中】在三棱锥
中， 平面
，M 是线段 上一动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥
，则蚂蚁爬行的最短路程是（）
A．
B．
C．
D．
2、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知点 P 为平面 AA1D1D 中的一个动点，且点 P 满足：直线 PC1 与平
面 AA1D1D 所成的角的大小等于平面 PBC 与平面 AA1D1D 所成锐二面角的大小，则点 P 的轨迹为（
）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
中， 是 中点，点 是面
所在的平面内的动点，且满足
，则三棱锥
的体积最大值是（ ）
A. 36 B.
C. 24 D.
【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥
，其底面的面积为不变的几何量，求点
P 到平面 BCD 的距离的最大值，选择公式，可求最值. 【举一反三】
1、《 九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角 形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵
3
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2、【广东省东莞市 2019 届高三第二次调研】在正方体
中，E 是侧面
平面 ，则直线 与直线 AB 所成角的正弦值的最小值是
内的动点，且
A．
B．
C．
D．
3、如图，已知平面 ， l ， A 、B 是直线 l 上的两点，C 、D 是平面 内的两点，且 DA l ， CB l ， AD 3 ， AB 6 ，CB 6 ． P 是平面 上的一动点，且直线 PD ， PC 与平面 所成角相等， 则二面角 P BC D 的余弦值的最小值是（ ）
PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 cos 的最大值为.
【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标
系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点 M 在 P 处时，EM 与 AF 所成角为直角，此时余弦值为 0（最小），当 M 点向左移动时，EM 与 AF 所成角 逐渐变小时，点 M 到达点 Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】
，
，将 绕 边
旋转至
位置，若二面角
的大小为 ，则四面体
的外接球的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题
【例 4】如图直三棱柱
中， 为边长为 2 的等边三角形，
、 、 、 的中点，动点 在四边形 内部运动，并且始终有
度为（ ）
，点 、 、 、 、 分别是边 、
平面
A．
B．1
C．
D．2
2.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 4，点 H 在棱 AA1 上，且 HA1 1，在侧面 BCC1B1 内作边长
为 1 的正方形 EFGC1 ， P 是侧面 BCC1B1 内一动点，且点 P 到平面 CDD1C1 距离等于线段 PF 的长，则当
点 P 运动时， | HP |2 的最小值是（ ）