第十四章 整式的乘法与因式分解

5 .多项式与多项式相乘： ( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积相加.
6.乘法公式：
（1）、平方差公式
一般的，我们有：
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的 形式，这种变形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式 。
2-1 X
因式分解 整式乘法
(X+1)(X-1)
知识点2 提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公 共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式 的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+ mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中 一个因式是各项的公因式m，另一个因式 (a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像 这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例如：x2 – x = x x(x-1)， 8a2b-4ab+2a = 2a 2a(4ab-2b+1)
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解
或分解因式。
与整式乘法的关系： 互为逆过程，互逆关系
分解因式
提公因式法
方法
公式法
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式 a2±2ab+b2=(a±b)2 步骤 二用：运用公式 三查：检查因式分解的结果是否正确 （彻底性）
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2· 6y=36xy 3x· ∴k=±36
注意：
• • • • （1）(a-b)=-(b-a) (2 )（a-b)2=(b-a)2 (3) (-a-b)2=(a+b)2 (4) (a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都不变符号；如果括 号前面是负号，括到括号里的各项都 要改变符号。
2 2 2
(4)(x 3 y 2 z )(x 3 y 2 z ) (5)1999 , (6)2001 1999
2 2 2
则z应为多少?
练习：计算下列各题。
1 6 4 3 (1)( a b c) ((2a c) 4 1 5 2 ( 2 ) 6( a b ) [ ( a b ) ] 3 2 3 3 2 (3)(5 x y 4 x y 6 x) (6 x) 1 3m 2 n 2 m1 2 3 2 m1 3 2 m 1 2 (4) x y x y x y ) (0.5 x y ) 3 4
(a b)(a b) a b
2
2
其中a, b既可以是数 也可以是代数式 , .
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多 项式得到的，它是两个数的和与同样的 两个数的差的积的形式。
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
综合运用 例3 分解因式. (1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x =x(x2-2x+1) =x(x-1)2 x (2)x2(x-y)+y2(y-x) 小结 2 解因式分解题时，首先考虑 =x (x-y)-y2(x-y) 是否有公因式，如果有，先提公因式； =(x-y)(x2-y2) 如果没有公因式是两项，则考虑能否用 =(x-y)(x+y)(x-y) 平方差公式分解因式. 是三项式考虑用 =(x+y)(x-y)2 完全平方式，最后，直到每一个因式都 不能再分解为止.
(ab) a b , (其中n为正整数),
n n n
(abc) a b c (其中n为正整数)
n n n n
练习：计算下列各式。
1 2 3 2 3 3 2 3 (2 xyz ) , ( a b) , (2 xy ) , (a b ) 2
4
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加。
1 1 2 (1)已知a 2 5, 求(a ) 的值. a a 2 2 2 (2)若x y 2, x y 1, 求xy的值.
2
练习
(3)如果(m n) z m 2m n n ,
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么? (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
不满足因式分解的含义
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
a a a
m n
m n
（其中a≠0，m、n为 正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a 1(a 0)
0
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
6、百度文库式：单项式与多项式统称整式。（分母含 有字母的代数式不是整式）
二、整式的运算 （一）整式的加减法 基本步骤：去括号，合并同类项。
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
a a a
m n
4 4 8 2 2
m n
练习：判断下列各式是否正确。
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b) a 2ab b ;
2 2 2
(a b) a 2ab b
2 2
2
其中a, b既可以是数, 也可以是代数式 .
即: (a b) a 2ab b
2 2
2
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
例如：4x2-12xy+9y2
=(2x)2-2· 3y+(3y)2=(2x-3y)2. 2x·
探究交流
下列变形是否正确？为什么？ (1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
目前在有理数范围内不能再分解.
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
不是完全平方式，不能进行分解
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
小结
运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项 要合并，而且每个括号内不能再分解.
如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y) (2)如果出现像(2)小题需统一时，首先 =(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)] 统一,尽可能使统一的个数少，这时注意到 =(x+y)(4m-6n). (a-b)n=(b-a)n(n为偶数) 例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2. (3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成 =2(x+y)(2m-3n).
是整式乘法.
典例剖析
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)-x3z+x4y；(2)3x(a-b)+2y(b-a) 解：(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy). x3
(2)3x(a-b)+2y(b-a) + (b-a) - (a-b) =3x(a-b)-2y(a-b)
=(a-b)(3x-2y) (a-b)
（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的
因式，叫做这个多项式各项的公因式
（2）找公因式：找各项系数的最大公约
数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
（3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各
项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每 一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因 式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式 分解 的方法提公因式法。
本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x) 幂的形式.
统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简 例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b) 便，因为(x-y)2=(y-x)2. =(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)] a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x) =(a-2b)(8a-16b) =(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c). =8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2.
做一做
把下列各式分解因式. (1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；
2(2a+b)2
(2)4p(1-q)3+2(q-1)2；
2(1-q)2(2p-2pq+1)
或2(q-1)2(2p-2pq+1)
知识点3 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). 例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
第十五章
整式的乘除与因式分解
本章知识结构： 一、整式的有关概念
1、代数式 4、多项式 2、单项式 3、单项式的系数及次数 6、整式
5、多项式的项、次数
二、整式的运算 （一）整式的加减法
去括号，合并同类项
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 3、积的乘方 2、幂的乘方 4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式
不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9 4a 解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 (2a) -2a =(a+b+2a)(a+b-2a) +2a =(3a+b)(b-a) (2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 25x (5x) (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2. 做 把下列各式分解因式. 一 (1)(x2+4)2-2(x2+4)+1； (1)(x2 +3)2 做 (2)(x+y)2-4(x+y-1). (2)(x+y-2)2
4 4
mnp
（其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a ) a
4 4
a , [( b ) ] b
8 2 3 4 4n2 4 m
234
b
24
( x )
2 2 n 1
x
, (a ) (a ) (a )
m 4
2m 2
3、积的乘方
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 符号表示：
a a 2a , b b b , m m 2m
3 3 3
2
( x) ( x) ( x) ( x) x
3 2 6
6
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
(a ) a
m n
mn
[(a ) ] a
m n p
7、多项式乘以多项式 9、完全平方公式
6、单项式乘以多项式
8、平方差公式
（三）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
一、整式的有关概念
数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。 1、单项式： 单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数： 单项式中的数字因数。
3、单项式的次数： 单项式中所有的字母的指数和。 4、多项式：几个单项式的和叫多项式。 5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫 多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做 这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不 是组成多项式的所有字母指数和！！！