浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验教学教材
浅谈E P R佯谬与
B e l l定理及验证实验
浅谈EPR佯谬与Bell定理及验证实验
赵飞 20114041
（西南交通大学物理科学与技术学院四川成都 611730）摘要：本文回顾了EPR佯谬与定域隐变量理论，对Bell定理及其相
关的推广不等式进行了概述，并介绍了几个不涉及不等式形式的Bell
定理，然后简要介绍Bell定理的验证实验。迄今实验的结果大都支持
量子力学的相关理论，但是仍未能揭示出量子力学空间非定域性的本
质，也未能完全否定隐变量的存在。
关键词：EPR佯谬，隐变量理论，量子纠缠，Bell定理，非定域性
0.引言
自从20世纪初量子力学理论建立以来，量子力学的科学性一直颇有争议，量子力学的物理意义具有无法消除的内在随机性。因此对于如何理解它的基本概念和基本规律,以及它是不是一个完备的理论体系等问题，就一直存在着激烈而深刻的争论。其中Albert Einstein 与Niles Bohr旷日持久的论战尤为著名，Albert Einstein为首的一批科学家始终认为量子力学理论不是完备的理论，但是以Niles Bohr为首的哥本哈根学派则坚持量子理论的正确性。
1935年 Einstein、Podolsky和Rosen合作,三人发表了一篇的论Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?[1]。在这篇文章中，EPR三人以假想实验的形式来论证量子力学的不完备，通常将他们三人的论证称为“EPR佯谬”。
J．Bell认为在EPR佯谬中对相互远离的两个粒子的第一个粒子的某种性质进行测量后，便能预先决定对第二个粒子的同一性质的测量结果，这表明双粒子系统中存在一定的关联性，并且可能用隐变量来加以说明。1965年,贝尔(J.Bell)在定域隐变量理论的基础上推导出一个不等式，被称Bell不等式[2]，并证明该式与量子力学理论的描述是不符合的。
20世纪60年代至今，对于Bell不等式的实验验证有很多，其中以1982年巴黎大学的Aspect小组的相关实验尤为著名[3]，其一系列光学实验均同量子力学的预言符合得很好而违反Bell不等式。但是目前的实验都受到两方面的约束：定域性与探测效率漏洞，然而尽管如此，人们还是普遍相信量子力学是正确的而非Bell定理。
本文将较为详细地介绍EPR佯谬、Bell定理与Bell不等式及其衍生出的几种定理，并简要介绍Bell定理的相关验证实验。
1.EPR佯谬与隐变量理论
1.1EPR佯谬
Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?一文中，爱因斯坦等人提出了物理理论完备性的条件、物理实在判据以及定域性原则，以此作为思想实验的三个前提[1]。(1)理论完备的必要条件:当且仅当
物理实在的每一个要素都能够在该物理理论中找到对应的部分；(2)物理实在要素:若是对一个系统没有任何干扰,任何可观测的物理量都有对应的物理实在要素，这句话可以理解为测量结果只决定与体系本身；(3)定域性原则（定域因果性）:若两次测量之间的四维时空间隔是类空间隔，这两个事件之间不应当存在因果性的关联，即不存在超越光速的现象出现[1,4]。由这三个观点可以看出，爱因斯坦等人所写的这篇文章是从符合因果律的相对论出发的。
EPR的理想实验简单说来可以由一个一维两粒子系统组成，两个粒子分别为粒子1、粒子2，假设这一对粒子系统的初态总动量为，两个粒子的出
发点为原点，那么在两个粒子发生相互作用并分开后，相聚足够远，以至于它们之间没有相互作用。按照动量守恒定律，必定有。当用探测器测量
了粒子l，得到结果以后，那么粒子2必将处在的状态
上。当用另一个探测器测量粒子1的位置矢量时，得到，易知粒子2的位置矢量。第一次测量后，可以对应一个实在性元素，第二种测量后，也对应一个实在性元素，两次测量的实在性元素都存在，不会依赖于测量过程和测量结果。换句话说，当对用一个纯态描述的两个子系统(如两个粒子组成纠缠的纯态)分别进行类空分离的定域测量，对其中一个子系统进行定域测量，不能对另一个子系统产生直接的相互作用，但测量结果却包含了另一个子
系统的信息，并且瞬时的改变了对另一子系统状态的描述，典型的情况即定域的测量使得态函数发生了坍缩。
爱因斯坦等人认为，由于量子力学理论的不确定关系，对和、和
均不能同时进行精确的测量，则在测量的同时,也不能精确测量了,而和不能同时确定,也就不可能具有和它们相对应的两个独立的实在元素,只能有一个物理实在的元素。
图1
因此，爱因斯坦得出以下二选其一的结论：(1)存在着即时的超光速现象或者说超距作用，即非定域；(2)和有精确值，但是量子力学理论不完备。爱因斯坦认为可分离性体系存在超距关联的佯谬，量子力学必定也服从定域性原则，故量子力学理论不是一个完备的理论。
玻尔对此的解释是粒子1和粒子2之间存在着某种联系（后来定义为量子纠缠态），无论它们在空间上距离有多远，对其中一个粒子进行定域测量，将会使另一个粒子状态的改变，这就是量子力学的非定域性[5]，这明显与爱因斯坦的定域性理论不相符。
1951年，Bohm提出了一个对EPR佯谬的翻版问题[6]，将原先用连续变量描述的EPR纠缠态改用离散变量描述的纠缠系统，即考虑两个总自旋为零的且处于自旋纠缠态正负电子对系统。在后文推导贝尔不等式时仍会用到该理论，具体过程在此不再详细介绍，可查看参考文献[6,7]。
1.2隐变量理论
隐变量或隐参数，可以导出各种唯象定律，但无法用现有观测手段测定的量，实验中观测量的精确值是由这些未知变量决定。用隐变量来解释可观察的现象,是一个古老的物理思想。在经典力学诞生之后,在物理学中才出现用严谨的数学表述的隐变量理论，玻尔兹曼发展的分子动力学就是一个例子。
隐变量的定义[8]：物理理论T包含了一系列的对于物理系统S的可观测量，如等。设想存在一些实验上不能探测到的描述系统S的变量，这些变量的集合记作。如果每一个可观测量的值决定于隐变量的某种平均运算，那么被称为关于理论T的隐变量。
系统中隐变量的统计系综分布函数为，观测量A的平均值为：
(1.1)
量子力学表现出统计性，将宏观的统计性的落实到微观个体的确定性,这是人们用经典理论来探究自然界时自然的想法。隐变量或许可以将量子力学中的不确定性归结于隐变量的不确定性，而这种隐变量可以是作为一种比量子力学体系更微观的层次，由此或许可以为EPR佯谬提供一种解释。
2.Bell定理与Bell不等式
2.1 Bell不等式
1953年玻姆(D·Bohm)从量子力学是不完备的前提出发，进一步借用隐变量理论想让它能再现量子理论的结果。
1965年J·Bell基于爱因斯坦的定域实在论和D·Bohm的定域隐变量模型，提出了著名的Bell不等式[2]，并得出了如下结论：任何满足定域实在论和隐变量的理论都应该遵循这个不等式，但是量子理论却不满足，从而证明量子力学
是不完备的理论。Bell不等式的另一个贡献是，爱因斯坦和波尔的关于量子理
论和定域实在论的争论可以通过物理实验去检验，而非单纯的理想实验。
Bell不等式的推导过程[9]：
假设一个由两个自旋为1/2的粒子A和B所组成有两个粒子的体系总自旋
为零不变，,是空间沿任意两个方向的单位矢量,测量粒子A沿方向的自旋
分量得到的结果记为A(),测量粒子B沿方向的自旋分量得到的值为
B()。定义自旋关联函数E(,)，且有：
E(,)= A()·B()=
(2.1)
由于总自旋为零，，
（为、夹角）
(2.2)
特别的，当=时，
E(,)=-1
(2.3)
对该体系引入隐变量，以表示其在更微观层次上的性质。这些隐变量可
以取不同的数值，令由所决定的状态张成空间,状态的分布函数是，归
一化条件是:
(2.4)
A()、B()引入隐变量，记为A()，B()，并且有：
A()=，B()=
(2.5)
自旋关联函数E(,)改写为：
(2.6)
设为空间另外一个任意方向的单位矢量，可得：
(2.7)
由(2.5)式可得：
由(2.4)式可得：
可以证明，故有：
（2.8）
最后由（2.6）式，得到：
（2.9）
(2.9)式就是Bell不等式。
Bell接着证明当三个单位矢量共面，且从、分别相差时，由（2.2）式，（2.9）式将写为：
这将会得出的结论，显然是矛盾的，由此证明了爱因斯坦等人的定域性前提同量子力学结论的矛盾是普遍存在的。在另外一篇文章中，J.Bell提出了Bell定理[10]：定域的隐变量理论不能重现量子力学的全部预言。
2.2 Bell不等式的推广
（2.9）式是原版的Bell不等式，在提出该不等式之后一段时间里，物理学家们又发掘出了更多的式子，其中有不等式的定理也有非不等式的定理。较为出名的有CHSH不等式[11]( Clauser-Horne-Shimony-Holt)、GHZ定理
[12,13](Greenberge-Horne-Zeilinger)、Hardy定理[14]、Cabello定理[15,16]等等。
CHSH不等式可以说是Bell不等式最为著名的推广，其意义是将Bell不等式验证实验中可能出现的诸如态不存、探测仪器失效等因素避免。因此，CHSH不等式通常被视为真正可以用于实验验证的Bell不等式，可以证明CHSH不等式与Bell不等式等效，且CHSH不等式与量子力学结果相违背。
CHSH不等式：
(2.10)
（和分别为A、B两个子系统空间中两个任选的单位矢量）
CHSH不等式的推导过程[5,11]：
从(2.7）式出发，将其改写：
由(2.5)式，即，将上式两边取绝对值可得：