固体物理第二章第二节 2晶格 (2)

(2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice)
简单晶格：为了直观表示晶体结构，常将 组成晶体的各种原子以不同符号在图中一并标 出来，如果晶体由完全相同的一种原子组成， 且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子 所组成的网格称为简单晶格。(基元只包含一个 原子) 复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子 组成，且同种原子各构成和格点相同的网格，称 为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。复式 晶格可看成是由若干个相同的简单晶格相对错位 套构而成。 (基元包含两个或两个以上原子)
n
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只 反映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。 为了弥补上述不足，人们常用维格纳-塞兹 (Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。 3.维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞 构造：以晶格中某一个格点为中心，作其 与所有近邻格点连线的垂直平分面(或中垂线)， 由这些垂直平分面(或中垂线)所围成的以该格 点为中心的最小体积(或面积)即为WS原胞。
a3 a 2 a1
a3 a 2
如图:对于三维晶格 Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
a1
最小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 ) 对于二维晶格的原胞是平行四边形 S a1 a2 对于一维晶格的原胞是线段，长度为最近邻格 点的间距
(a)
(b)
2.布拉维格子、简单晶格和复式晶格 (1)布拉维格子 布拉维格子有两个等价的定义 定义1： 由位矢 Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
的一系列的点所构成的晶格，称为布拉维晶格.
n1 , n2 , n3 为整数, a1 , a2 , a3 是三个不共面的矢量，
Rl l1a1 l2 a2 l3a3
式中 a1 , a2 , a3 为一组基矢， (l1 , l2 , l3 ) 为一组整数，
当(l1 , l2 , l3 ) 取遍一切整数时，便可得到全部格点 的位臵。 这样我们就从第一个定义推出了第二个定 义，但是，对于符合第二个定义的点阵，如何 确定其基矢则比较困难，且取法也不唯一。 5). 自然界中晶格类型 很多，但是只可能 有14种布拉维格子 (后面讲)
V 2
2
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位 移1/4的长度套构而成,其单胞为面心立方。由面心立 方单胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连 线的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一(由基 矢而定)，但是无论如何选取，原胞均有相同 的体积，每个原胞平均只包含一个格点。比如： 平行六面体，8个格点分别位于8个顶角，每个 格点的贡献为八分之一。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成， 则每个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，各原胞中等价 点的一切物理性质相同。也就是说，作为位臵 的函数的各种物理量应具有晶格的周期性(或 平移对称性) (r R ) (r )
第一节
晶格(二)
三、 布拉维格子(Bravais Lattice) 四、 原胞(primitive cell)
五、 密堆积、配位数和致密度
(a)
(b)
(c)
§2.1 晶
格(crystal lattice)
三、 布拉维格子(Bravais Lattice)
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图 三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内 作周期性分布
2). 晶体结构=布拉维格子+基元
3). 布拉维格子是一个无限延展的理想点阵。 它忽略了实际晶体中表面、结构缺陷的存在， 以及T0时晶格的振动.但是它抓住了主要矛 盾----晶体所具有的平移对称性:即平移任一 格矢 ，晶体保持不变的特性。是实际晶体 Rn 的一个理想抽象。 4). 布拉维格子的两个定义是等价的。 在第一种定义的布拉维格子中,取某格点为 原点,它至其他格点的矢量 Rl 称为格矢量.可表 示为 Rl l1a1 l2 a2 l3a3
(a)
(b)
(c)
晶体结构的周期性 理想晶体可看成是由完全相同的基本结构单 元(基元)在空间作周期性无限排列而成的.(注意 物理上对无限的理解) 所有晶体的结构可以用晶格来描述，这种晶 格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子 群称为基元，基元在空间周期性重复排列就形成 晶体结构。
1.
1).基元、格点和晶格
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格
其单胞为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
用矢量 点的排列。
R n1a1 n2 a2 n3a3 (n1 , n2 , n3取整数)
表示格
晶格是晶体结构周期性的数学抽象，它忽
略了晶体结构的具体内容，保留了晶体结构的
周期性。
(3)格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位 臵，称为格点。 一个格点代表一个基元，它可以代表基元 重心的位臵，也可以代表基元中任意的点子。
金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个 格点,基元由两个碳原子组成, 位于（0,0,0）和处 1 , 1 , 1 4 4 4

所以,单胞包含4个格点,8个原子
(b)氯化钠结构
c c
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对 角线位移1/2的长度套构而成。
3). 和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性 重复单元；单胞可含有一个或多个格点，体积 可是原胞的一倍或数倍。
基矢： 原胞的基矢一般用 a1 , a2 , a3 表示。
体积： 原胞 v a1 a2 a3 Ω 单胞 v a b c n Ω
a a1 i j k 2 a a2 i j k 2 a a3 i j k 2
ak


a1
a2
aj



ai
a3


平均每个单胞包含2个格点。 1 3 原胞的体积 Ω a1 a2 a3 a
注： 1). WS原胞既是晶格体积的最小重复单元， 又能直观反映晶格全部宏观对称性。所以， WS原胞也称为对称化原胞；
2). WS原胞的取法与倒 格子空间中构成简约布 里渊区(Brillouin zone) 的方法相同 3). WS原胞所包含的格 点位于原胞的中央。
维格纳--塞茨原胞
4.单胞(unit cell)或惯用单胞(conventional unit cell) 1).定义 由于原胞选取时，必须满足晶格的最小周期性 单元的要求，所以，很多情况下原胞不能反映出 晶格的对称性。因而，在晶体学中，习惯用晶系 基矢 a , b , c 构成的平行六面体作为周期性重复 排列的最小单元，我们把这种晶体学中选取的单 元称为单胞，也叫惯用单胞，也有叫晶胞的。 2). 晶格常数(lattice constant) 晶胞的边长称为晶格常数，晶格常数一般并 不等于近邻原子的间距，除非单胞和原胞一致 时，如简单立方晶体。
单胞的基矢一般用 a , b , c 表示。


原胞的格点一般只出现在平行六面体的顶角 上；单胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上 及内部亦可有格点。
后面要讲的晶面、晶向和基元位臵的标记， 在实际工作中，通常以单胞为准
在晶体学中已经对各种类型的布拉维格子 选取原胞和晶胞的方式作了统一的规定 下面我们给出一些晶格的实例来看看人们是 如何规定的 5.几种晶格的实例 下面从一维情形、二维情形、三维情形中的 常见晶格来举例说明
称为布拉维格子的基矢(Primitive vector),它代 表格点在这三个方向规则性排列的重复单元 (长度). Rn 为格矢，其端点称为格点(lattice site)
定义2 布拉维点阵是由在空间排列和取向完全等同 的一系列分立的格点在空间作无限的规则排列 所构成的点阵。格点可以看作排列在一系列平 行等距的直线族和平面族上，这样点阵构成网 格，称为晶格或格子。因此，布拉维点阵也称 为布拉维格子。 几点说明： 1).由定义可知，构成布拉维格子的所有格点 是完全等价的，所有的格点周围环境相同。常 以此为判据来判断某一格子是否为布拉维格子。
简单晶格 四、 原胞(primitive cell) 1. 原胞的概念
复式晶格
原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元， 整个晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧 密排列而成，或者说将原胞平移一切可能的格 矢量便可得到整个晶格。
对于三维晶格，在晶格中取一个格点为顶 点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成 的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体 沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充 满整个晶格，形成晶体，这个平行六面体即为 原胞，代表原胞三个边的矢量称为原胞的基本 平移矢量，简称基矢。
(a)
(b)
(c)
(1)基元 在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结 构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶 体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重 复排列就形成晶体结构。 任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的， 而每一个基元中不同原子周围情况则不相同。
(2)晶格
(a)
(b)
(c)
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这 些呈周期性无限分布的几何点的集合形成一个 空间点阵，通过这些点做三组不共面的平行直 线族，形成一些网格，称为晶格。相应的代表 点称为格点
a
(3)三维 立方晶系(cubic) a b b c c a a b c a 取 i , j , k 为坐标轴的单位矢量, 则有 a ai , b aj , c ak c b
(b)面心立方(face-centered cubic,简称fcc )
(1)一维原子链
一维单原子链
a
x na x
0 x a
一维双原子链
b
a
(2)二维
a2 a1 a4 a8 a5 a7
a3 a6
原胞 比较
单胞是原胞 面积的3倍
维格纳--塞茨原胞
具有六角对称性的单胞
单胞的体积: V a 3 a 对于立方晶系又可以分为以下几种情况(简 单、体心、面心)： (a)简立方(simple cubic,简称SC) a1 ai 单胞包含1个格点。 a2 aj 原胞的体积与单胞体 c 3 b a3 ak 积相同 Ω a
注： 即使是由同一种原子组成的晶格，它也不一 定是简单晶格。后面提到的金刚石结构就是复式 格子 有些书上把简单晶格称为布拉维格子，而 把复式格子称为非布拉维格子(如清华大学2003 年6月第一版韦丹著的《固体物理》p22).这是 源于布拉维格子要求任一格点等价而言的，但 是，这种说法，我认为不妥，因为，布拉维格 子是一个纯粹的数学抽象，布拉维格子中的格 点是一个基元，而复式格子只不过进一步考虑 了基元的构成，把基元中的每一个原子分开来 处理了。所以，布拉维格子和简单晶格、复式 晶格间不能互相定义。
a a1 j k 2 a a2 i k 2 a a3 i j 2


ak

a1
aj
a2 a3
ai
平均每个单胞包含4个格点。
原胞的体积
1 3 Ω a1 a2 a3 a 4
V 4
(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)