在一维无限深势阱中运动的粒子例题

在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱宽度为a，如果粒子的状态由波函数Ψ(x) =Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的平均值。

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2011-04-16 20:59提问者采纳

首先得先知道坐标怎么定的，从波函数的对称性考虑，势阱应该是x=0到a处先求归一化常数A

积分（0到a）|Ψ(x)|^2 dx=积分（0到a）A^2 x^2(a-x)^2 dx=A^2*a^5/30==1 A^2=30/a^5

算出|Ψ(x)|^2 就是概率密度，阱外都是0

=积分（0到a）Ψ*(x) H Ψ(x) dx

H是哈密顿算符，这里就是-h^2/(2*pi)^2/2m d^2/dx^2

=积分（0到a）Ax(a-x) 2A h^2/(2*pi)^2/2m dx=A^2*h^2/(2*pi)^2/m *[积分（0到a）x(a-x)dx ]

=5h^2/(2 pi)^2/m/a^2

Ψ*(x) 指共轭函数，在这里就是本身。基本概念要知道，对归一化波函数|Ψ(x)| ^2 就是概率密度。

力学量的平均值=积分(Ψ*(x) F Ψ(x) dx)，F是力学算符