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证明：一个具有n节点，b条支路的连通图，若任取一个树
后，必有(n-1)个树支、[b-(n-1)]个连支,由于每一个连支唯一
的对应着一个基本回路,故有n个节点、b条支路的连通图G
，必有[b-(n-1)]个基本回路。
8
3. 平面电路：除去节点外，无任何支路相交叉的电路。 5
a
1b 2 c
6
34
d 平面电路
KVL方程。
由KCL及KVL可以得到的独立方程总数等于支路
数b。
13
§3-3 支路电流法 (branch current method )
支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程
分析电路的方法。
举例说明：
2
b=6
n=4
i2 R2 i3
R4 i4
1
R3
3
u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5，
树支的回路称基本回路。 4
1 3 5× 6
2 7 7
回路: (1、3、4); (2、3、5); (7、9); (1、2、7、8)
基本回路: (7、6、4); (1、3、6、7)
1 4 7
9
2 3
65 8
定理：一个具有n个节点和b条支路的连通图G，若任取一个
树T，必有 [b-(n-1)]个基本回路。
于每条连支唯一地确定着一个基本回路，所以
一组[b-(n-1)]个基本回路即为一组独立回路，必
然能建立起[b-(n-1)]个独立的KVL方程。
综上所述：
一个具有n个节点、b条支路的连通图G，具有
N=n-1个独立节点和L=[b-(n-1)]个独立回路，必能
建立起n-1个独立的KCL方程和[b-(n-1)]个独立的
4
1
1
3 56
2
树支数 4 4
3
连支数 3
56 2
7
7
6
2. 回路（Loop）：构成闭合通路的支路集合。 L是连通图G的一个子图。具有下述性质： (1)所有的节点连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。
123 75 6 84
23 5
回路
12 5
78 9 不是回路
基本回路（单连支回路）：仅含有一个连支，其余均为
a
1 b③ 2 c
①
6
②
34
u1+ u2+ u4 u6 =0
故这3个方程不是相互独立的。
d
若选支路1、2、3为树支，可列出3个基本回路方程。
u1+ u3+ u6 =0 u2 + u4 u3 =0 u1 + u5 u2 =0
则这3个基本回路方程是相互独立的。 12
结论：
一个具有n个节点、b条支路的连通图G，由
结点 2：– i2 + i3 + i4 =0
出
结点 3：– i4 – i5 + i6 =0
为 正
结点 4：– i1 – i3 + i5 =0
进
为
结点 1：i1 + i2 – i6 =0
负
结点 2：– i2 + i3 + i4 =0 (1)
结点 3：– i4 – i5 + i6 =0
15
2 (3) 选 定b-n+1个独 立回路， 根据
i2 R2 i3
1
1
R4 i4
R32
3
KVL，列写回路电压方程。
回路1：–u1 + u2 + u3 = 0 回路2：–u3 + u4 – u5 = 0 (2)
+
抽象
-
连通图
+
抽象
-
不连通图
3
d. 子图：如果图G1中的每个节点和支路都是另 一图G中的一部分节点和支路，则称图G1为图G 的子图。
G1
G1
G1
G2
G2
G2
4
二、 回路、树
1 . 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
(1)所有的节点连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。
a: -i1+i5 -i6=0
b: i1+i2 +i3=0 +
c: -i2-i5 +i4=0 d: -i3-i4 +i6=0
结论： 一个具有n个节点的连通图G，在任意(n-1)
个节点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程。相 应的(n-1)个节点称为独立节点。
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二、KVL的独立方程数
5
u1+ u3+ u6 =0 + u2 + u4 u3 =0
§3-1 电路的图
一. 图的基本概念
1、电路的图 定义：不考虑元件性质，仅用点和线段表示电路结构的图。
+
抽象
支路 电路图
抽象图
-
i1 i2 i3 i = 0
i1 i2 i3 i = 0
抽象
i1 i2 i3
a. 图G（Graph)：是节点和支路的一个集合 即：G={支路，节点}
1
b. 有向图：赋予支路电流或电压参考方向的图称为有
树不唯 一
不是树
4个节点 含有3个 支路
不是树
5
结论： 在图中，当选定一树后，支路分成两类：
其一，树支：构成树的支路； 其二，连支：除去树支以外的支路。 可以证明若电路的节点数为n，尽管树的形式很多， 但树支数为（n-1）。
设图的节点数为n，支路总数为b则：
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
向图，反之则称为无向图。
抽象
无
表示原支路电
向
压和电流的关 联参考方向。
L
图
uS
R2 C
R1
抽象
有
24 +Us1
向
5
图
a 60 b 80 c
Us2+
150 Is
d
a 1b 2 c
6
34
2
d
c. 连通图：如果在图的任意两结点之间至少存在 一条由支路构成的路径，则这样的图称连通图。 反之则称为不连通图。
b=6，n=4 l =b-(n-1)=3
非平面电路
Leabharlann Baidu
网孔：平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定 的 区域内不再有支路。 定理：若连通平面电路具有b条支路、n个节点，则它具有 的网孔数为l =b-(n-1)。
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§3-2 KCL和KVL的独立方程数
一、KCL的独立方程数
5
a: -i1+i5 -i6=0 b: i1+i2 +i3=0 c: -i2-i5 +i4=0
R1 i1
R5 i5 4
i6
u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6
R6
+
u6
uS
–
14
2
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向
i2 R2 i3
R4
(2) 对结点，根据KCL列方程
i4
1
R3
3 结点 1：i1 + i2 – i6 =0
R1 i1
R5 i5 4
i6
R6 u+6 uS –
对n个结点的电路， 独立的KCL方程只 有n-1个 。
a 1b 2 c
6
34
d: -i3-i4 +i6=0
d
每个电流均在方程中出现2次，一次为正，一 次为负。
原因？
每一支路必与2个节点相连接，该支路电流对 其中一节点为流入，对另一节点必为流出。
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故这4个方程不是相互独 立的，即由其中任意三个方 程可以推导出第四个。
若任意去掉1个节点，则 剩下3个节点的KCL方程必 是相互独立的。