双因素无重复试验方差分析
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r 1
均方
MSA SA r 1
SB s 1
F
值
MSA MSE
MSB M Se
显著性
FA
SB QB P
s 1
MSB
FB
Se R QA QB P
ST R P
( r 1)( s 1) M S e
rs 1
Se ( r 1)( s 1)
A1 , A 2 , , A r ;因素 B 有 s 个水平 B 1 , B 2 , , B s .在两个因素
的每一个组合 A i B j 作一次试验,所得试验结果为
X ij i 1, 2 , , r ; j 1, 2 , , s .
因素B 因素A
A1 A2
B1
B2
记号:
X
rs
i 1
s r i 1 r j 1 s
1
r
s
X ij
X
X i
1
j 1
s
s
X ij
Xj
1
j 1
r
r
X ij
i 1
ST Se SA SB
X X
i 1 r j 1 s
ij
2
ij
X i X j X X
2
当 H 0 1成 立 时 , 从 而 有 FA
SA
百度文库
2
~ ( r 1).且 S A 与 S e 相 互 独 立
2
S A /( r 1) S e /(( r 1)( s 1)) SB
2
~ F ( r 1, ( r 1)( s 1)).
(3)
当 H 02 成 立 时 , 从 而 有 FB
例 在某种橡胶的配方中,考察了三种不同的促进 剂(因素A)、四种不同份量的氧化锌(因素B). 每个配方各试验一次,测得橡胶的强度如下:
B1 A1 B2 B3 B4
32 35 35.5 38.5 A2 33.5 36.5 38 39.5 A3 36 37.5 39.5 43 问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的 强度有无显著影响
Bs
x1 1 x 21
x1 2
x 22
x1 s
x2s
Ar
x r1
xr 2
x rs
假设
X ij ~ N ( ij , ), i 1 , , r , j 1 , , s .
2
各 X ij 独立 , ij ,
1 r s ij , r s i 1 j 1 1 s i ij , s j 1 记 1 r j ij , r i 1 a i , i 1, 2 , , r , i b j j , j 1, 2 , , s .
0 .0 5 ?
2
X
i 1 r j 1 s
i
2
s
i 1
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X
i
X
2
X
i 1 j 1
j
X
2
r
j 1
s
X
j
X
2
.
可以证明: S T
Se S A SB
定理 (1) (2)
对前面给定的模型有
Se
2
~ (( r 1)( s 1)).
任务:检验假设
H 0 1 : a1 a 2 a r 0 , H 1 1 : a1 , a 2 , , a r 不 全 为 零 .
H 0 2 : b1 b 2 b s 0, H 1 2 : b1 , b 2 , , b s 不 全 为 零 .
计算过程的化简
1 P rs i 1
r
j 1 s
s
x ij
2
总和-平方-均值
2
QA
QB
x ij s i 1 j 1 2 s r 1 x ij r j 1 i 1 1
r
行和-平方-和-均值
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用. 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
设试验结果受两个因素 A , B 的影响,因素 A 有 r 个水平
2
均为未知参数
.
称为总平均
a i 称为水平 A i 的效应
b j 称为水平 A j 的效应
显然,
i 1
r
ai 0, b j 0
j 1
s
并且, ij 可表示为
ij a i b j
双因素无重复试验方差分析的数学模型
X ij ai b j ij , 2 ij~N (0, ), 各 ij 独立, i 1, 2, , r , j 1, 2,, s, r s ai 0, b j 0. i 1 j 1
2
~ ( s 1).且 S B 与 S e 相 互 独 立 ~ F ( s 1, ( r 1)( s 1))
S B /( s 1) S e /(( r 1)( s 1))
对给定的显著性水平 ,拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1), (r 1)( s 1))} WB {FB : FB F (( s 1), (r 1)( s 1))}
列和-平方-和-均值
总平方和
R
i 1 j 1
r
s
x ij
2
可以证明:
SA QA P SB QB P ST R P Se R QA QB P
双因素无重复试验方差分析表 误差来源 因素 A 因素 B 误差 e 总和 平方和
SA QA P
自由度
均方
MSA SA r 1
SB s 1
F
值
MSA MSE
MSB M Se
显著性
FA
SB QB P
s 1
MSB
FB
Se R QA QB P
ST R P
( r 1)( s 1) M S e
rs 1
Se ( r 1)( s 1)
A1 , A 2 , , A r ;因素 B 有 s 个水平 B 1 , B 2 , , B s .在两个因素
的每一个组合 A i B j 作一次试验,所得试验结果为
X ij i 1, 2 , , r ; j 1, 2 , , s .
因素B 因素A
A1 A2
B1
B2
记号:
X
rs
i 1
s r i 1 r j 1 s
1
r
s
X ij
X
X i
1
j 1
s
s
X ij
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j 1
r
r
X ij
i 1
ST Se SA SB
X X
i 1 r j 1 s
ij
2
ij
X i X j X X
2
当 H 0 1成 立 时 , 从 而 有 FA
SA
百度文库
2
~ ( r 1).且 S A 与 S e 相 互 独 立
2
S A /( r 1) S e /(( r 1)( s 1)) SB
2
~ F ( r 1, ( r 1)( s 1)).
(3)
当 H 02 成 立 时 , 从 而 有 FB
例 在某种橡胶的配方中,考察了三种不同的促进 剂(因素A)、四种不同份量的氧化锌(因素B). 每个配方各试验一次,测得橡胶的强度如下:
B1 A1 B2 B3 B4
32 35 35.5 38.5 A2 33.5 36.5 38 39.5 A3 36 37.5 39.5 43 问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的 强度有无显著影响
Bs
x1 1 x 21
x1 2
x 22
x1 s
x2s
Ar
x r1
xr 2
x rs
假设
X ij ~ N ( ij , ), i 1 , , r , j 1 , , s .
2
各 X ij 独立 , ij ,
1 r s ij , r s i 1 j 1 1 s i ij , s j 1 记 1 r j ij , r i 1 a i , i 1, 2 , , r , i b j j , j 1, 2 , , s .
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2
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j
X
2
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s
X
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X
2
.
可以证明: S T
Se S A SB
定理 (1) (2)
对前面给定的模型有
Se
2
~ (( r 1)( s 1)).
任务:检验假设
H 0 1 : a1 a 2 a r 0 , H 1 1 : a1 , a 2 , , a r 不 全 为 零 .
H 0 2 : b1 b 2 b s 0, H 1 2 : b1 , b 2 , , b s 不 全 为 零 .
计算过程的化简
1 P rs i 1
r
j 1 s
s
x ij
2
总和-平方-均值
2
QA
QB
x ij s i 1 j 1 2 s r 1 x ij r j 1 i 1 1
r
行和-平方-和-均值
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验. 如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用. 对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
设试验结果受两个因素 A , B 的影响,因素 A 有 r 个水平
2
均为未知参数
.
称为总平均
a i 称为水平 A i 的效应
b j 称为水平 A j 的效应
显然,
i 1
r
ai 0, b j 0
j 1
s
并且, ij 可表示为
ij a i b j
双因素无重复试验方差分析的数学模型
X ij ai b j ij , 2 ij~N (0, ), 各 ij 独立, i 1, 2, , r , j 1, 2,, s, r s ai 0, b j 0. i 1 j 1
2
~ ( s 1).且 S B 与 S e 相 互 独 立 ~ F ( s 1, ( r 1)( s 1))
S B /( s 1) S e /(( r 1)( s 1))
对给定的显著性水平 ,拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1), (r 1)( s 1))} WB {FB : FB F (( s 1), (r 1)( s 1))}
列和-平方-和-均值
总平方和
R
i 1 j 1
r
s
x ij
2
可以证明:
SA QA P SB QB P ST R P Se R QA QB P
双因素无重复试验方差分析表 误差来源 因素 A 因素 B 误差 e 总和 平方和
SA QA P
自由度