材料力学习题解答[第五章]要点
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MPa按代数值321σσσ≥≥得
1201=σ MPa，202=σ MPa，03=σ MPa
由公式（5-7）可求得主应力方向3
40
60402220=
-⨯--
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 13. 53，0α= 57. 26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示：
3）最大切应力
题5-4图
a解：（1）求指定斜截面的上应力
取水平轴为x轴，则x σ=100MPa , y σ=40MPa , x τ=40MPa,α=45带入公式，得:
90sin 4090cos 2
40
1002
40100--+
+=ασ=30 MPa
ατ=
90cos 4090sin 2
40
100+-= 30MPa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
由公式（5-20）502
20(802
3
1max =--=
-=
σστ
5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1指定斜截面上的应力；(2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3最大切应力。
题5-5图
解：(1求指定斜截面上的应力
由图示应力状态可知x σ=40MPa , y σ=20MPa , x τ=10MPa, y τ=-10MPa
代入公式得:
b c
a
60sin(30 60cos(2
20(602
20(60
-+---+
-+=
ασ=14.02MPa
ατ=
60cos(30 60sin(2
20(60-----= -49.64MPa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
题5-3图
解：
a取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30带入式（5-3），（5-4）得ατασσ
σσ
σα2s i n 2c o s 2
2
x y
x
y
x
--+
+=
=45MPa
ατασσ
τα2cos 2sin 2
x y
x
+-=
= -8.66MPa
22
mwenku.baidu.comn
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
=
20120402401002
40
1002
2
=+⎪
⎭
⎫⎝⎛-±
+ MPa按代数值321σσσ≥≥得
1201=σ MPa，202=σ MPa，03=σ MPa由公式（5-7）可求得主应力方向33. 140
100402220-=-⨯-
+=
3070 30(2 20(602
20(602
2
-=-+⎪
⎭
⎫⎝⎛--±
-+=
MPa按代数值321σσσ≥≥得
701=σ MPa，02=σ MPa，303-=σ MPa
由公式（5-7）可求得主应力方向75. 0
20(6030220=----
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 87.36，0α= 43. 18
5-1构件受力如图5-26所示。试：(1确定危险点的位置；(2用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图
解：a 1危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；
2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b 1危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；
代入公式得：
60sin 30(60cos 2
40
1024010----+
+-=
ασ=28.48MPa
x τ=
60cos 3060sin 2
40
10---=-36.65MPa
5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1指定斜截面上
a
b
c
的应力；(2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3最大切应力。
由此可确定σ-τ面内的D、D ’两点，连接D、D ’交于C。以C为圆心，DD ’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60
2σ=3σ=0,属于单向应力状态
A B
A
T
（a）（c）（d）
d
3
64d
Fl
πτ=
a
b c d
a b
c
b 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa，属于二向应力状态c 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa，属于三向应力状态
5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
b取水平轴为x轴，根据正负号规定：
x σ= -40MPa, y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120
带入公式，得：
240sin 20240
cos 2
4020
40---+
+-=
ασ=7.32MPa
x τ=
240cos 20240sin 2
40+--=7.32MPa
c取水平轴为x轴，则
x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30
2）应力状态见下图。
c 1危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；
2）应力状态见下图。d 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
20
10
题5-2图
解：a 1σ=50 MPa,
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 13. 53，0α=
57. 26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为顺时针
57. 26
3）最大切应力
由公式（5-20）602
01202
3
1max =-=
-=
σστMPa
b）解：（1）求指定斜截面上的应力
取水平轴为x轴，x σ=60MPa , y σ= -20MPa , x τ= -30MPa,α= -30
0602060-----++=
ασ=79.64MPa
x τ=
300cos(40 300sin(2
40
60----=5.98Mpa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
2080 40(20602
0602
2
-=-+⎪⎭
⎫⎝⎛-±
+=
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示：
3）最大切应力由公式（5-20）502
30(702
3
1max =--=
-=σστMPa
c解:
取水平轴为x轴，则
x σ=60MPa , y σ=0 , x τ= -40MPa,α= -150
代入公式得：
300sin( 40( 300cos(2
1201=σ MPa，202=σ MPa，03=σ MPa
由公式（5-7）可求得主应力方向3
40
60402220=
-⨯--
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 13. 53，0α= 57. 26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示：
3）最大切应力
题5-4图
a解：（1）求指定斜截面的上应力
取水平轴为x轴，则x σ=100MPa , y σ=40MPa , x τ=40MPa,α=45带入公式，得:
90sin 4090cos 2
40
1002
40100--+
+=ασ=30 MPa
ατ=
90cos 4090sin 2
40
100+-= 30MPa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
由公式（5-20）502
20(802
3
1max =--=
-=
σστ
5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1指定斜截面上的应力；(2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3最大切应力。
题5-5图
解：(1求指定斜截面上的应力
由图示应力状态可知x σ=40MPa , y σ=20MPa , x τ=10MPa, y τ=-10MPa
代入公式得:
b c
a
60sin(30 60cos(2
20(602
20(60
-+---+
-+=
ασ=14.02MPa
ατ=
60cos(30 60sin(2
20(60-----= -49.64MPa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
题5-3图
解：
a取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30带入式（5-3），（5-4）得ατασσ
σσ
σα2s i n 2c o s 2
2
x y
x
y
x
--+
+=
=45MPa
ατασσ
τα2cos 2sin 2
x y
x
+-=
= -8.66MPa
22
mwenku.baidu.comn
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
=
20120402401002
40
1002
2
=+⎪
⎭
⎫⎝⎛-±
+ MPa按代数值321σσσ≥≥得
1201=σ MPa，202=σ MPa，03=σ MPa由公式（5-7）可求得主应力方向33. 140
100402220-=-⨯-
+=
3070 30(2 20(602
20(602
2
-=-+⎪
⎭
⎫⎝⎛--±
-+=
MPa按代数值321σσσ≥≥得
701=σ MPa，02=σ MPa，303-=σ MPa
由公式（5-7）可求得主应力方向75. 0
20(6030220=----
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 87.36，0α= 43. 18
5-1构件受力如图5-26所示。试：(1确定危险点的位置；(2用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图
解：a 1危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；
2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b 1危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；
代入公式得：
60sin 30(60cos 2
40
1024010----+
+-=
ασ=28.48MPa
x τ=
60cos 3060sin 2
40
10---=-36.65MPa
5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1指定斜截面上
a
b
c
的应力；(2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3最大切应力。
由此可确定σ-τ面内的D、D ’两点，连接D、D ’交于C。以C为圆心，DD ’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60
2σ=3σ=0,属于单向应力状态
A B
A
T
（a）（c）（d）
d
3
64d
Fl
πτ=
a
b c d
a b
c
b 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa，属于二向应力状态c 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa，属于三向应力状态
5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
b取水平轴为x轴，根据正负号规定：
x σ= -40MPa, y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120
带入公式，得：
240sin 20240
cos 2
4020
40---+
+-=
ασ=7.32MPa
x τ=
240cos 20240sin 2
40+--=7.32MPa
c取水平轴为x轴，则
x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30
2）应力状态见下图。
c 1危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；
2）应力状态见下图。d 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
20
10
题5-2图
解：a 1σ=50 MPa,
=--
=y
x
x
tg σ
σ
τα
02α= 13. 53，0α=
57. 26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为顺时针
57. 26
3）最大切应力
由公式（5-20）602
01202
3
1max =-=
-=
σστMPa
b）解：（1）求指定斜截面上的应力
取水平轴为x轴，x σ=60MPa , y σ= -20MPa , x τ= -30MPa,α= -30
0602060-----++=
ασ=79.64MPa
x τ=
300cos(40 300sin(2
40
60----=5.98Mpa
(2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max 2
2
x y
x
y
x τσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
2080 40(20602
0602
2
-=-+⎪⎭
⎫⎝⎛-±
+=
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57. 26如图所示：
3）最大切应力由公式（5-20）502
30(702
3
1max =--=
-=σστMPa
c解:
取水平轴为x轴，则
x σ=60MPa , y σ=0 , x τ= -40MPa,α= -150
代入公式得：
300sin( 40( 300cos(2