2垂直于弦的直径PPT课件

2020年9月28日
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垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
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21B
定理演绎: C 推论二.
·O
推论三.
A
E
B
CD⊥AB
D
AE=BE
CD⊥AB
AE=BE
CD是直径
(或CD过圆心)
CD是直径 (或CD过圆心)
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E B
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讲解 垂径定理的应用
已知：如图１，在以O为圆心的 两个同心圆中，大圆的弦AB交
O.
小圆于C，D两点。
E AC
DB
求证：AC＝BD。
图１
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一路下来，我们结识了很多新知 识，你能谈谈自己的收获吗？说一说， 让大家一起来分享。
一般地:在这五个结论中,如果有其中两个成 立,就可以推出另外三个存在.
表示，弦长用a表示，这三者之间有怎
样的关系？
r2
d
2
a
2
2
二、继续探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD和弦AB，使AM=BM 求证： CD⊥AB
推论：平分弦 （不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧。
C
·O
M
A
B
D
M A
一个圆的任意两
条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂
它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)
为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．
.
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赵州桥的传说
兄妹造桥
鲁班和他的妹妹鲁姜周游天下。一路上，鲁姜总是听到人们夸赞鲁班的手
艺高超，她心里太不服气了，决心要跟哥哥比试比试。到了赵州，正巧要在河
称作小20石20年桥9月。28两日 座桥各有各的优点，都深得赵州人民的喜爱。
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练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
●O
自主探究
在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在 直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
轴对称图形．每一条直径所在的直线是它 的对称轴
·O
M
A
B
D
C
3猜想：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦
所对的两条弧
已知：如图，CD是⊙O的直径，
·O
AB为弦，且CD⊥AB
求证:AM=BM 且 A⌒D=⌒BDA⌒C =⌒BC A M
B
D
符号语言表示：
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
O
O
C A
DC A
c
D C E DC
D
C
A
A
DB
O
O
A
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复习回顾: 垂径定理
C
CDC过D是圆直心径
CD AB
AE
BE
O
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧。
E
A
B
推论一：平分弦（不是直径）的直
D 径垂直于弦，并且平分弦所对的两
条弧。
CD是直径 CDAB
AE BE
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(AB不是直径)
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（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
E
B
注意：定理中的两个条件（直径， 垂直于弦）缺一不可！
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
例1、已知：在⊙O中，弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm,求： ⊙O的半径。
OE为O到弦AB的 垂线段
O A EB
若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r
好的石头！我造的桥跟它比，那怎么比啊！嘿，对了，我有办法了！她急急忙
忙地回到城西，在自己造的那座桥的栏杆上细细地雕刻起来，什么牡丹呀、杜
鹃呀、牛郎织女呀、凤鸣朝阳呀，一口气刻了好多好多非常漂亮的图案。第二
天天一亮，两座桥都造好了。鲁班修的大刀阔斧，气势雄伟，十分壮观，被后
人称为大石桥；鲁姜修的则小巧玲珑，各种图案精雕细刻，秀气美观，被后人
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圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
●O
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圆的对称性
圆是轴对称图形.
驶向胜利 的彼岸
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无
数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
求证：AC＝BD.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE. ∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE. ∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD. 【点拨】 过圆心作垂径是圆中常用辅助 线．
2020年9月28日
赵州桥
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赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 பைடு நூலகம்00年的
历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，
上造两座桥方便人们的生活，鲁姜就同哥哥约定，一人造一座，看看谁造得好。
鲁姜是个急性子，她一下子找来了许多材料，才半天功夫就在城西造好了一座
桥，然后悄悄地溜到城南去偷看鲁班。到了那里，只见河水汩汩地流，却连个
桥影子也看不到。正觉得奇怪呢，忽然远远地，鲁班赶着一群羊过来了。走近
了一瞧，那哪是羊啊，分明是一块块雪白细润的石头。鲁姜看得心头一凉：多
O
直．因此这里的弦如
果是直径，结论不一
定成立．
N
D B
如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且
OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= 10 cm
（2）最短的弦= 8 cm
（3）弦的长度为整数的共有（ C） A、2条 B、3条 C、4条 D、5条 C
5 3 OO
A
4 PP B
D
2.已知校：如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.