非线性系统线性化综述翻译

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非线性系统线性化综述

程代展，李志强

(中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190)

摘要：非线性系统的线性化是设计非线性系统控制的强有力工具。这一方法已经在飞行器控制、电力系统的安全控制、化学反应器控制、经济系统、生物学系统和机器人控制等领域得到广泛应用。本文阐述了非线性系统线性化的发展历史以及有深刻意义的结果。首先回顾从非线性系统的近似线性化到精确线性化的发展。主要内容Poincare线性化、系统能通过状态反馈线性化的充要条件和算法。然后介绍各种不同的线性化方法：动态反馈线性化，近似线性化，Cralema3/l线性化等。本文主要目的是对非线性系统线性化的历史，现状和一些重要问题进行一个较完整全面的介绍，从而提供从事线性化理论与应用研究的基础。

关键词：线性化；Poincare定理；状态反馈；非正则；部分线性化

1 介绍

非线性系统线性化处理与非线性（控制）系统是最有效的方法之一. 它已被广泛用于研究很长一段时间, 已获得许多有价值的理论成果. 线性化也已被广泛用于各种工程问题。例如，飞机控制，动力系统，化学反应，经济系统，生物系统，神经网络，空调系统，生态系统，机器人控制系统等。

垂直起降飞行器模型不是静态状态反馈线性化而是动态状态反馈线性化。双旋翼直升机模型的飞行控制器的设计。局部线性化的设计方法主要运用静态反馈线性和较低的子系统层次实现。输入输出反馈线性化方法被用来设计一个分散的大型电力系统的非线性控制器，事实证明，输入输出线性化类型的反馈可以接近反应器任意设定点的运动轨迹，即使有参数的不确定性。状态空间精确线性化方法应用于Kaldor和Bonhoeffer-Van Der Pohl非线性控制系统的非线性反馈控制律的设计。线性化的应用分别列举了生物系统和物理系统这两个系统的综合分析。作为多输入多输出双线性系统的一个V A V AC电厂的动态模型推导和制定。反馈线性化的应用于非线性模型的解耦和线性化，非正规的静态反馈线性化应用于一类柔性关节机器人，构建控制器是全局渐近稳定。

线性系统

x Ax

=，n

x∈(1.1) 它可以被称为最简单的动态系统。其动态特性完全取决于其系数矩阵A,一类非线性

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()

x f x

=，n

∈

的各组成部分，我们有

(()()

(()()

1

00

00

1

2!

n

f

f

x H x x

x x H x x x

⎡--

⎢⎥

++

⎢⎥

⎢⎥

--

⎢⎥

⎣⎦

，

1

1

1

n

n n

n

f

x x

f f

x x

∂⎤

⎥

∂∂

⎥

⎥

⎥

∂∂⎥

⎥

∂∂⎦

(1.3)

2

111

22

2

2

1

i

n

i i

n n n

f

x x x x x

f f

f

x x x

⎤

∂

⎥

∂∂∂∂∂⎥

⎥

⎥

∂∂

∂⎥

∂∂∂∂1,2,,n，

()00,

f i

=，

x=是的一个平衡点。那么，我们可以

f

x J x

=，n

x∈.

这是古典的近似线性。这可以做到围绕式(1.2)的每一个平衡点。

关于这个线性化众所周知的结果如下：如果J特征值有负实部，系统

如果它有至少一个特征值有正向的现实部分，该系统在原点是不稳定。

()()()

1

i

x f x x u f G x u

=

=+=+，n

∈，

，1,,

i m

=是从n到n的光滑映射。()00

f=为了得到

一个类似的状态反馈闭环形式的线性化近似，让(1.3)和

i

b=

1,,m（简略的()0

G），然后对系统(1.5)线性化近似为：

1

m

i i

i

x Jx bu Jx Bu

=

=+=+

∑，x

在分析和设计系统中近似线性化是一个有用的工具，但它也有一些缺点如：它只是一个近似值，并且不能用于精确设计的系统动力学。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊●它体现出只有非常有限的局部性质。

●当J存在某些情况（有实部为零的特征值），没有任何结论。

非线性控制系统的微分几何方法首先由Brockett提出。在此以后，它已经发展成一个非线性控制系统的几何理论。在建立了几何结构，代替n。可以定义为一个n阶的非线性控制系统。这是一般的框架放宽了状态空间的限制。假设，当满足条件时，可以用(),3来描述其状态。我们参阅[15]的详细的图示和许多有趣的示例。

第一，非线性控制系统几何理论最成功的成果之一可能是非线性系统的精确线性化。这一成果得到了各种实际的应用。同时，许多扩展和概括已经提出。这些工作包括：（a）不同类型的线性化，如全局线性，输入输出线性化，具有输出线性化，近似线性等；（b）数学工具的发展，如非正规的反馈线性化，动态反馈线性化等；（c）相关形式，如部分线性，一般的P矩阵形式等。

本文组织如下：在第2节回顾微分几何中的相关概念。在第3节，考虑局部（全局）庞加莱线性。在第4节给出状态反馈线性化的结果。在第5节给出算法和全局线性。在第6节已重述非定期的反馈线性化。在第7节介绍输入输出线性化。在第8节中，我们讨论局部线性化。关于线性化的其他问题，如近似线性化，动态反馈线性化，carleman线性化和p矩阵线性化，在第9节介绍。第10节是一个简单的总结。

2 几何预备知识

本节提供了微分几何中的相关概念的简要回顾，详细内容请参阅[16]。

定义2.1一个可微的()

,,

C C C

τω

∞多种可计算Hausdorff的拓扑空间。M，在一个坐标系邻域内{}

,

u U

αα

ϕ

=使得（1）U U

αα

包含M；（2）对于任意的α，β在相邻的邻域内()

,

U

αα

ϕ与()

,

U

ββ

ϕ都兼容都于()

,,

C C C

τω

∞；（3）任何坐标邻域内()

,

Vψ兼容着每个()

,

U U

αα

ϕ∈本身就在U内。为了便于说明，我们只考虑C∞情况。

定义2.2

1.函数()

h x是一个从M到的映射。集合C∞对函数M记为()

C M

∞；

2.向量()

X x对于其中指定的每个x M

∈向量()()

x

X x T M

∈，其中()

x

T M是点x在M 的切线空间，向量场表示为()

V M

∞；

3.共同向量场（或之一）()x

ω对于其中指定的每个x M

∈向量()()

x

X x T M

*

∈，其中()

x

T M

*在点x是M的余切空间；

4.一个分布(共同分布)，()()

()

x x

∆Ω对于其中每个x M

∈的一个子空间有()()()()

()

x x

x T M x T M

*

∆⊂Ω⊂。

定义2.3让()()

h x C M

∞

∈，()()()

,

X x Y x V M

∞

∈，()()

x V M

ω∞

*

∈。然后：

1. ()

h x关于()

X x的李函数导数记为

x

L h，是一个从()

C M

∞到()

C M

∞的映射，局部坐标系定义为：