习题课2

几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
一段梁上的 外力情况 向下的均布荷载 无荷载 集中力作用的截面集中力偶作用的截面
q<0
P C
m
C
剪力图的特征
向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化
C
弯矩图的特征
上凸的二次抛
物线
一般斜直线
在C处有尖角
在C处有突变
或
最大弯矩所在截 在 FS= 0 的截面 面的可能位置
x = 4.83
C
RA
q
RB
B A D
2m
4m
2m
x =4.83
8.5
+
3.5 6
-
m
弯矩图 CA:上凸的抛物线
RA
q
RB
B
MC=0 q 2 M A 2 6 2
C
A
D
2m
4m
2m
AD:上凸的抛物线
x =4.83
8.5
M D左 2 RB m 4
3 2 M max 14.5(4.83 2) 4.83 2 6.04
二，简单超静定梁 1，概念 基本静定系 变形相容条件
变形几何方程
补充方程
2，解超静定梁的步骤
练习题
一，已知 q = 3KN/m ，m = 3KN.m ，画梁的内力图。
m
q
B
C
A
D
2m
4m
2m
二，图示形截面梁，已知 F=40KN ，截面对中性轴的惯性矩
Iz=10180cm4 ，y1=9.64cm。求该梁的最大拉应力。
2m
4m
2m
该梁分为 CA，AD，DB 三段。
m
RA q RB
B
C
A
D
2m
4m
2m
剪力图 CA: 斜直线 AD: 斜直线 DB: 水平直线 FSC = 0 FSA左 = -2q = -6 FSD = -RB = - 3.5 FSB右 = 0
FSA右 = RA-2q = 8.5 FSB左 = -RB = - 3.5
第二次习题课
截面的几何性质
弯曲内力 弯曲应力 弯曲位移
目录
第四章
一，概念
纵向对称面
弯曲内力
平面弯曲（对称弯曲）
非对称弯曲
二，弯曲内力（剪力，弯矩） 1，剪力和弯矩符号的规定 2，截面法求剪力和弯矩 3，简易法求剪力和弯矩
二，作内力图
1，写出剪力方程和弯矩方程， 画内力图
2，利用 分部荷载集度，剪力，弯矩 之间的关系画内力图
2F
1.4m 0.6m
32KN.m
解：画弯矩图
a
+
c
24KN.m
F
z
y1
250mm
A
C
B
2F
1.4m 0.6m
C 截面：
32KN.m
M C (0.25 y1) 36.2 MPa t max Iz
A 截面：
a
+
c
24KN.m
M A y1 30.3 MPa t max Iz
三。一矩形截面简支梁，h=200mm，b=100mm，试求在集中 力偏左截面上 a，b 点处的 a 和 b ，并求max。
m
CA: 斜直线
FSC = 0
C
RA
q
RB
B A D
FSA左 = -2q = -6 AD: 斜直线 FSA右 = RA-2q = 8.5 FSD = -RB = - 3.5 DB: 水平直线 FSB左 = -RB = - 3.5 FSB右 = 0 3.5 6 2m 8.5 4m 2m
+ -
m
FS(x)= RA-qx =14.5 - 3x = 0
DB:斜直线 M D右 2 RB 7 -
+
3.5 6
MB 0
m
弯矩图
CA:上凸的抛物线 MC=0 q 2 M A 2 6 2
C
RA
q
RB
B A D
2m
4m
2m
AD:上凸的抛物线
M D左 2 RB m 4
x =4.83
6.04
MB 0
-
DB:斜直线 M D右 2 RB 7
第六章 梁弯曲时的位移• 简单超静定梁
一，梁弯曲时的位移 1，概念 坐标系的建立 挠曲线 挠度
转角
挠度和符号的规定转角
挠度与转角的关系
2，挠曲线近似微分方程
EI " M ( x)
（1）利用近似微分方程的积分求出挠度和转角方程。
EI " M ( x)
边界条件 变形连续条件
（2）叠加法计算梁的挠度与转角
或
m
第五章 弯曲应力
一， 横截面上正应力 1，概念 纯弯曲 横力弯曲 中性层 中性轴 中性轴的位置
2，横力弯曲时横截面上正应力公式

M ( x) y IZ
1 M ( x) ( x ) EI Z
应用公式的限制条件（几何方面， 物理方面）
3，横截面上正应力分布

M ( x) y IZ
M ( x ) y t max Iz M ( x ) y c max Iz
yt max
y c max

z
c max
y
4，梁的正应力强度条件
（1）当中性轴 z 为截面对称轴时
max
M max [ ] Wz
(2) 对于材料的 [t ] =[c] ， 且中性轴 z 不是横截面对称轴 的梁，要分别用最大拉应力和最大压应力进行强度校核，
横截面上正应力沿截面高度成直线分布； 中性轴上正应力 = 0 ； 横截面上离中性轴最远的各点处， 正应力值最大。
（1）当中性轴 z 为截面对称轴时
yt max yc max
max
M ( x) Wz
y c max
yt max

z
y （2）当中性轴 z 不是截面对称轴时
t max
F z y1
250mm
A
C
B
2F
1.4m 0.6m
三。一矩形截面简支梁，h=200mm，b=100mm，试求在集中 力偏左截面上 a，b 点处的 a 和 b ，并求max。
b/4 a P=6KN A C b
1m 2m
B
h h/4
y
b
z
四，写出梁变形的边界条件及连续性条件。
P A D
q C
B
即：
σ t max σ c max
M max yt max [σ t ] Iz M max y c max [σ c ] Iz
二， 梁横截面上的切应力 1，横截面上切应力公式
（1）矩形截面梁
h
z
y
FS S I zb
* z
b
FS S I zb
τ与 FS 的符号一致
* z
b/4
a RA A C b
1m 2m
P=6KN B
h
h/4
y
b
z
解：求支座反力
RA = 4KN
b/4 a RA A C P=6KN B h h/4
y
b
1m
2m
b
z
集中力偏左截面上的剪力为
FS = 4KN
a点的切应力
a 0
b/4 a RA A C P=6KN B h h/4
y
b
1m
2m
b
z
b 点的切应力
S
* b, y
h h h b( ) 4 4 8
h h h * F S [ b ( )] F S 4 4 8 0.225 MPa S b, y B 3 b bh b Iy 12
b/4 a RA A C P=6KN B h h/4
y
b
1m
2m
b
z
最大的切应力
3F S 0.3MPa max 2A
四，写出梁变形的边界条件及连续性条件。
P A D
l /2 l /2
q C B
l
P A D
l /2 l /2
q
CFra Baidu bibliotek
B
l
解：梁分AD ，DB，BC 三段写弯矩方程。 边界条件 x=0 , ωA = 0 x=2l , ωC = 0 A = 0 连续性条件 x= l/2, ωD左 = ωD右
D左 = D 右
d z
τmax
max
FS S I z b0
* z max
其中 S*zmax 为中性轴任一边半个截面对中性轴的静矩
二，梁的切应力强度条件 等直梁横截面上切应力强度条件为
* z max
max
F S max S I zb
[ ]
其中： b 为横截面在中性轴处的宽度。
S
* z max
为中性轴任一側面积对中性轴的静矩
x= l , ωB左 = ωB右
五，并计算截面对中性轴 z 的惯性矩。
60
20
20 80
80
20
(1) 中性轴的位置
以横截面底边为参考轴，则 形心位置
y2 =yC
60
20
y1
20
80
80
20
Ai yi yC Ai 60 20 110 80 20 60 80 20 10 60 20 80 20 80 20 55 .5mm
l /2
l /2
l
五，并计算截面对中性轴 z 的惯性矩。
60
20
20 80
80
20
练 习 题 解 答
例题：已知 q = 3KN/m , m = 3KN.m ，画梁的内力图。
m
RA
q
RB
B C A D
2m
4m
2m
解：
RA= 14.5 KN
， RB = 3.5 KN
m
RA q RB
B C A D
过形心作中性轴 z y2 = yC = 55.5 mm y1 = 64.5 mm
y1 20
60
20
80
z
y2
80
20
(2) 计算横截面对中性轴的惯性矩
60
20
I z I zi
3 2 1 60 20 60 20 ( y1 10) 12 3 2 1 20 80 20 80 ( y1 20 40) 12 3 2 1 80 20 80 20 ( y 2 10) 12
+
3 2 M max 14.5(4.83 2) 4.83 2 6.04
7 4
二，图示形截面梁，已知 F=40KN ，截面对中性轴的惯性矩
Iz=10180cm4 ，y1=9.64cm。求该梁的最大拉应力。
F z y1
250mm
A
C
B
2F
1.4m 0.6m
F
z
y1
250mm
A
C
B
切应力沿截面的高度按二次抛物线规律变化
距中性轴最远处的截面边缘， τ = 0
z
h
τmax
b 在中性轴上切应力有最大值
max
3 FS 2 A
（2）工字形截面腹板上切应力
FSS I z b0
* z
b0
z
y
b0
z
τmax
腹板上切应力沿截面的高度按二次抛物线规律变化。
最大切应力发生在中性轴上
y1
20 80
z
y2 80
20
7.9 10 m
-6
4