杨辉三角数字排列的一些性质

C n- 1 + C n 5 5 Cn 5 5
n- 1 n- 2 n- 1 n- 2 n- 3 n n
-
12
0
5
,
令 2C n = C n 入并化简得 : 2 = r( n - r) 1 ( r + 1) r .
r
r- 1
+ C n , 将组合数公式代 1 + ( n - r + 1) ( n - r )
3
2005 年第 5 期 中学数学月刊 ・29・ 图中的斜线中, 前几行数字的和已经在 行 末标出 , 通过观察可以得到著名的斐波那 契数列 { an} : a1 = a2 = 1, a n+ 2 = an+ 1 + an ( n ∈ N * ) . 由斐波那契数列的通项公式: 5 1+ 5 an = 5 2 可得组合数的性质 :
它的第 k 行各个数的和为 C k + Ck + C k - 1 k + … + Ck k + Ck k = 2 , n 阶杨辉三角的所有 数的和是 2 + 2 + 2 + … + 2 = 1 × ( 1 - 2n+ 1) = 2n+ 1 - 1; 三角形的两条斜 1- 2 边上的数字都是 1, 而其余的数都等于它肩 1 2 上的两个数字之和, 如 C 2 5 = C 4 + C 4 , 推出一 1 r 般的公式为 C rn = Crn- 1 + C n- 1. 除了上述众所 周 知的基本性质外 , 我们总结以下几个有趣 性质. 性 质 1 杨 辉 三 角 的 第 1, 3, 7, 15, … 行 , 即第 2k - 1 行 ( k 是正整数) 的各个数字 都是奇数. 性质 2 第 p ( p ∈ N * , 且 p ≥ 2) 行除去 两端的数字 1 以外的所有数都能被 p 整除 , 则整数 p 一定为质数 ( 素数 ) . 性质 3 如下图: 如 : 在第 3 斜列中 , 前 5 个数依次为 1, 3, 6, 10, 15; 第 4 斜列第 5 个数为 35, 显然 , 1 +
a 的等比数列 . d 本文要讨论的是: 当 c ≠ 0 时 , 数列 ( 1) 可化为等差型 或等比型数列的一个充 要条 件. 定理 1 递推数列 ( 1) ( c ≠ 0) 可化为等 差型数列 1 1 = u x n+ 1 + s xn + s 的充要条件是 ( 3)
若 a = d , 则数列( 2) 可化为 x n+ 1 = x n + b b , 它是以 x 1 为首项, 公差为 的等差数列 ; d d 若 a ≠ d , 则 数 列 ( 2) 可 化 为 x n+ 1 + b a- d = a ( xn d + b ), a- d 数 列
一个递推数列为等差( 比) 型数列的充要条件
杨水木 ( 浙江省宁海柔石中学 315600) ax n + b ( a , b 不同时为 cx n + d 零 , c, d 不同时为零) , ( 1) 递推数列 x n+ 1 = 当 c = 0 时, 数列 ( 1) 的递推公式为 x n+ 1 = a x n + b , d d ( 2) xn + b b 是首项为 x 1 + , 公比为 a- d a- d
r+ 1
+ C n+ 1 + … + C 2n- 2 =
2n- 1
6
5
n- 1
C 2n2n- 1
k
k- 2
k= 0
=
1+ 2
5
-
12
0
;
k
+ C n+ 1 + C n + 2 + … + C 2n- 1 =
2n
n- 3
6
2n
n- 1
C 2n-
k- 1
=
k= 0
1+ 2
5
-
12
5
( n ∈N
*
).
性质 6 我们注意到第 1, 2, 4, 8 行的各 数 均为奇数 , 下一个整行各数均为奇数的是 第 16 行, 一般地 , 第 2n ( n ∈ N * ) 行的整行均 为奇数 . 性质 7 我们注意到第 8 行中有 7, 21, 35 三个相邻的数成等差数列 , 那么还能在杨 辉三角中找出在同一行中成等差数列的相邻 三个数吗?
令 n - r = t , 去分母并整理得 2 ( t - r ) = t + r + 2, 再令 t - r = k ( 不妨设 t > r , 则 k ∈ N 且 k ≥ 3) , 则 n = t + r = k 2 - 2, 1 于是 r = k ( k - 1) - 1, 2 当 k = 3 时, n = 7, r = 2, 即得 7, 21, 35 三数成等差数列 ; 4 当 k = 4 时 , 得 n = 14, r = 5, 因此, C 14 = 6 1 001, C 5 14 = 2 002, C 14 = 3 003 三数成等差数 列. 于是得到公式: n = k 2 - 2, ( k ∈ N, k ≥ 3) , 1 r= k ( k - 1) - 1 2 这里就给出了这个问题的一个通解. 杨辉三角奥妙无穷 , 只要大家从不同角 度加以探究 , 一定会发现更多的规律 .
0 1 2 n
0
Leabharlann Baidu
1
2
其和的形式正好与杨辉三角由第 i 行生成第 i + 1 行的规则相同. 所以, 当某个数是两位 或 两位以上的数时 , 只须将该数按十进位法 做 进 位即 可. 如 第 3 行 不 需进 位, 直 接 得 1 331 = 11 , 而第 6 行 , 应把 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 这 7 个数中的 15, 20, 15 从右到左作进位 处理, 得到 1 771 561 = 116. 性质 5 如下图:
・ 中学数学月刊 28・ 2005 年第 5 期
杨辉三角数字排列的一些性质
王雄伟 ( 福建省泉州七中 362000) 杨辉三角是我国历史上著名的数学家 杨 辉首先发现的 , 是我国古代数学研究成果 的一个代表. 以下图形为 n 阶的杨辉三角 :
3 + 6 + 10 + 15 = 35. 事实上 , 一般地有这 样的结论: 第 m 斜列中 ( 从右上到左下 ) 前 k 杨辉三角可以用排列式写出 ( 如下图) : 个数之和一定等于第 m + 1 斜列中的第 k 个 m- 1 m- 1 m- 1 数 . 其公式为: C m - 1 + C m + … + C m + k- 2 = Cm m+ k - 1 . 性质 4 第 n 行的 n + 1 个数“ 组成” 的 n n + 1 位数是 11 . 说明 将abc × 11 写成竖式得