浅谈数形结合在数学中的应用

浅谈数形结合在数学中的应用

数学教学中“数形结合”的应用

梅江区城西职业中学熊英豪

现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识和方法传授，而是通过数学教学在传授知识与方法的同时培养学生的数学素质。而数学思想方法又是

数学素质的精髓与灵魂，是数学学习的核心。因此，掌握数学的思想和方法是学

好数学的必要条件，它象一把“万能钥匙”，可以打开诸多问题的大门。

在教学实践中，我们常常很深切地体会到：数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。华罗庚就曾写过这样一首描写数形结合的诗：数形本是相倚依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形缺数时难入微。

数形结合百般好，隔裂分家万事休。

几何代数统一体，永远联系莫分离。这首诗，非常形象地告诉我们：在研究数学问题的过程中，注意把数和形结合起

来考察，可以把几何图形转化为数量关系问题，运用代数三角知识进行讨论，或

者把数量关系转化为图形性质问题，借助几何知识加以解决。因此，在数学教学

中重视运用数形结合的方法，借助图形的形象、直观，研究数学问题，不仅为学

生提供了一种简洁的解题方法，而且也有助于学生加深对数学知识的认识。本文

就数形结合在教学中的应用作一个简单的探讨。

一、运用数形结合进行函数教学。

数形结合是中学数学思想中的重要数学思想之一，渗透于数学的各个环节之中。在函数教学中，函数及其图象为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的

图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助于题意

的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数

函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，

使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和

性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。如：

y 例：判断下式中x的正负 xy,2 x 2=1.2

x 分析：考察指数函数y=2，因a=2>1， 1 在定义域(-,，+,)上是增函数，故画出草图，

x 从图中可知，该函数在区间(0，+,)上有y>1。 o x因此，从2=1.2>1可知x>0。

在数形结合思想启发下，运用抽象函数图象化，模型化策略，作出函数的图象，则问题原形显露了。通过数形结合的方法，分析解决这类问题，可以极大地

提高学生分析问题、解决问题的能力。

当然，数学教材内容中的数轴、向量、复数、三角和圆锥曲线等知识，以及一些几何问题的代数解法，这些都是进行数形结合教学的基本素材。充分运用好

这些内容进行教学，使数形结合的方法经常存在于学生的思维活动中，可以在学

生头脑中形成良好的数形结合的思想。

二、运用数形结合，发挥学生的形象思维。

人们认识客观世界时，面对抽象的事物，总是积极地寻找具体的、形象的认识途径，以期达到洞悉抽象事物的目的。可以说，形象与抽象是矛盾的两个方面。

在研究抽象的数学问题时，形象思维又是处理数学问题的一种重要思维形式，特

别是在解析几何及其函数研究中用途很广。教学中，如果注意引导学生把抽象问

题同相应的感性材料联系起来，给予具体、直观、形象的数学模型，并通过对这

些模型的研究分析，就能巧妙地解决问题。这种数形结合的思想方法，对发展学

生的形象思维是极其有利的。

例：已知函数y=, 4-x, x的图象大致是（）

y y y y

o 4 x

o 4 x

o x

o 4 x 4

(A) (B) (C) (D)

分析:此题若用直接法进行选择,一般先将函数分段表示,然后画出简图获得答案。其解题思维过程是聚合性思维，没有充分利用已知图象。如能把数与形结合起来考虑，即把函数式与所给函数图象结合起来分析易知：当x<0时，图象位于x轴下方；当x=0时，对应点在原点；当x>0时，图象应位于x轴上方。

所以很容易作出正确选择。

可见，数形结合的方法发展学生的形象思维，能更深刻地理解数学概念，

使抽象的数学问题直观、形象化、易接受。而且对数形结合有了较为深刻的认识，在潜移默化中，学生会逐渐地养成运用数形结合思想解题的习惯。

三、数形结合在解题中的应用。

利用数形结合进行解题，它不仅将优美的下题解过程形象地展现在解题者

的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷，使学生产生一种奇异的感觉，消除一部分学生因数学的抽象性而产生的畏惧、厌烦情绪，从而产生对数学的兴趣。教学时，要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数不学问题的本质属性；由形思数，利用数研究形的各种性质，寻找运动规律；数形结合，促进矛盾顺利转化，创造条件使对立双方达到统一。这样，有利于培养学生多角度、多方面的思考习惯，有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性，提高学生解决问题的能力和创新能力。

1、以形辅数，较直观、快捷。

某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”

使我们对问题本身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。

例1、已知3x-4y+4=0，求：

2222+(y-15) +(x+3)+(y-5) 的最小值。 z=(x-2)

分析：初看此题，它是求函数最小值的代数问题，容易想到用配凑法、消

元法等代数方法来解决，但真的动手来做却较麻烦。而采用数形结合方法解决就简单明了。本题所求的最小值实际上是求直线3x-4y+4=0上一点p(x,y)到两定点A(2,15)和B(-3,5)的距离之和的最小值。由几何图形显示隐含条件，合理的解题方案便形成了。

2 例2、不等式4-x >x+2的解集是

分析：如果按照一般的常规解法，须转化为

y 2图形处理，以形辅数就方便多了。可令y=4-x ， 1

2 y=x+2，在同一坐标系中分别作出它们的函数图 2

象。已知原不等式有意义的x值为-2, x ,2， x 从图象中观察可见，使y>y 成立的取值范围 12O -2 2 是(-2,0)。

2、以数论形，能精确判断，深刻表述。

某些代数三角问题，借助于图形性质来探求思路或作出结论。而某些几何

图形问题，可通过计算或数量分析的方法，能准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的结论。

2 例3、若函数y=f(x)是函数y=1-1-x (-1,x,0)的反函数，则y=f(x)的图象大致形状是：( )

y y y y

2 o 1 2 x o 1 x 2

1 -1 -1 1

1 x o x