有理数集合无理数集合
高中数学集合的分类汇总
高中数学集合的分类汇总高一数学中，集合是一个非常重要的概念。
在数学中，集合是由一组对象组成的，这些对象称为元素。
集合可以用来表示一组相关的元素，而集合论则是研究集合及其性质的数学分支。
在高一数学中，集合可以按照不同的属性进行分类汇总。
以下是一些常见的集合分类：1. 自然数集和整数集自然数集是由0和正整数组成的集合。
整数集是由负整数、0和正整数组成的集合。
这两个集合是我们在日常生活中最常见的数集，它们被广泛应用于数学和其他科学领域。
2. 有理数集和无理数集有理数集是可以表示为两个整数的比值的数的集合。
无理数集是不能表示为有理数的数的集合。
例如，根号2就是一个无理数，因为它无法表示为两个整数的比值。
3. 实数集实数集包括所有的有理数和无理数。
实数集是非常重要的一个集合，它包含了我们在日常生活中遇到的几乎所有数。
4. 空集和全集空集是不包含任何元素的集合，用符号"∅"表示。
全集是指一个特定的大集合，包含了我们讨论的所有元素。
5. 子集和真子集如果一个集合的所有元素也是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。
6. 幂集一个集合的幂集是指这个集合的所有子集的集合。
例如，对于集合{1, 2}来说，它的幂集是{{}, {1}, {2}, {1, 2}}。
7. 数的分类根据数的性质，我们可以将实数集中的数分为正数、负数和零。
这些是高一数学中关于集合的常见分类。
通过学习和理解这些集合的分类，我们可以更好地认识和应用数学知识，为后续的数学学习打下坚实的基础。
同时，集合的分类也帮助我们更好地理解集合之间的关系和运算法则。
r是什么集合
r是什么集合
r是实数集，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。
但当时的实数集并没有精确的定义。
直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
任何一个非空有上界的集合(包含于R)必有上确界。
2.2有理数与无理数
课题：2.2有理数与无理数
班级：姓名：
【学习目标】
1．理解有理数的意义和会对有理数进行分类；
2．了解无理数的意义.
【学习重点】
1．有理数的意义和分类；
2．无理数的意义
活动一、有理数的分类
我们学过整数（正整数、负整数、零）和分数（正分数、负分数）．实际上，
所有整数都可以写成分母为1的分数的形式．如
5
5=,
1
4
4=,
1
--
0=.
1
我们把能写成分数形式m
n
（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
想一想：小学里学过的有限小数和无限循环小数是有理数吗？
归纳：有理数的分类（两种）
活动二、无理数
议一议：是不是所有的数都是有理数呢？
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2．
如果大正方形的边长为a，那么a2＝2．a是有理数吗？
归纳：无理数。
数学中n z q r c代表什么
数学中n z q r c代表什么1、N代表：全体非负整数的集合，通常简称非负整数集（或自然数集）；2、Z代表：全体整数的集合通常称作整数集；3、Q代表：全体有理数的集合通常简称有理数集；4、R代表：全体实数的集合通常简称实数集；5、C代表：复数集合计。
1、全体非负整数的集合通常称非负整数集（或自然数集）。
非负整数集包含0、1、2、3等自然数。
数学上用黑体大写字母"N"表示非负整数集。
非负整数包括正整数和零。
非负整数集是一个可列集。
2、整数集（The integer set）指的是由全体整数组成的集合。
它包括全体正整数、全体负整数和零。
数学中整数集通常用Z来表示。
3、有理数集，即由所有有理数所构成的集合，用黑体字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。
有理数集是一个无穷集，不存在最大值或最小值。
4、实数集，包含所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。
18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。
但当时的实数集并没有精确的定义。
直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。
5、复数：形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。
其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。
当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
有理数、无理数及数轴、绝对值、相反数》 【叶云凌】
8、相反数的意义
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0.
例C：把表示下列各数的点画在数轴上，再按从下到大的顺序，用“＜”连接起来。【基础班】
例D：若 ，求 的值。【精英班】【基础班】
例E：已知数 、 、 ，其中 是正数， 、 均是负数，且 ＞ ＞ ，请用“＜”将 、 、 、
C?-b＜a＜-a＜b???D?-b＜b＜-a＜a
4、若 ,且 , ,则 ．【精英班】
5、绝对值大于1而小于4的整数有个；【基础班】
6、已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么 ， ， ， 的大小关系是。（用“>”连结）【精英班】【基础班】
三、解答题
1、已知 ，且 ，求 和 的值？【精英班】
2、求| - |+| - |+…| - |的值.【精英班】【基础班】
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为__________________________________；
（2）计算 （n2-1）=________________．（填写最后的计算结果）
11、请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
考试题型
在数轴上表示有理数
有理数大小的比较
利用数轴解应用题
有理数的大小比较
绝对值非负性应用及综合化简
相反数与绝对值的综合应用
练习题
1、若 是最小的自然数， 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数，则 的值为（ ）【精英班】【基础班】
A -1 B 0 C 1D 2
2、下列说法正确的是（ ）【精英班】【基础班】
实数(一)
负无理数 正无理数 无理数
正无理数 负无理数
实数 有理数 正有理数 零 负有理数 无理数 正无理数 负无理数
依据实数的分类 （一）示意图,在右 图的卡片上填上下 列数的名称.⑤ Nhomakorabea⑥⑦
④
正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数 有理数 无理数 实数 ① ② ③ ⑧
探究实数的分类 (二)
负实数 实数 正实数 0 正无理数 正有理数 负无理数 负有理数
依据实数的分类 （二）示意图,在右图 的卡片上填上下列数 的名称. ⑥ 负无理数 ⑦ ③ ② ④ ⑧
你学会了吗 ? 负有理数
正无理数 正有理数 负实数 零 正实数 实数
⑤
①
达标检测
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数（ ） 2.无理数都是无限不循环小数（ 3.无理数都是无限小数（ ） 4.带根号的数都是无理数（ ） 5.无理数一定都带根号（ ） ）
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数 或 无限循环小数。 反过来，任何有限小数或无限 循环小数也都是有理数 。
你所认识的数中有没有不属于有理 数的呢？说说看！
无理数的概念 新知
2 =1.41421356237309504880168…
3 =1.73205080756887729352744…
二、把下列各数填入相应的集合内：
9
3
5
64
0. 6
3 4
0
3
9
3
0.13
（1）有理数集合：
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）分数集合： （5）正实数数集合： （6）负实数集合： （７）实数集合：
第二章-有理数
第2章有理数本章导读第2章 有理数2.1 正数与负数预习书本P12-P13，完成下面问题：1、正数都是比 大的数，负数都是比 小的数， 既不是正数，也不是负数. 2.___________、___________、_______统称为整数；_________、_________统称为分数。
3、你能举出一些具有相反意义量的例子吗？如何来表示这些具有相反意义的量呢？ 1． 指出下列各数中的正数、负数： +7；－9；－13；－4.5；998；910；0.2． 填一填（1）小明在某路口，规定向东为正，向西为负.如果他向东走了100米，则可表示为_______米，如果他向西走了150米，则可表示为_______米，如果他走了-50米，则表示他向_______走了_____米，如果他走了+200米，则表示他向______走了_____米. （2）运进了-72 吨货物的意思是________________.3． 把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54， -2, 9.3 正整数集合{ …}负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …}拓展提升1.在小学我们学习了偶数0 , 2 , 4 , 6 , 8，……，以及奇数1 , 3 ，5 , 7 , 9，……，现在我们学过了负数后，我们同时也知道了负偶数与负奇数，如负偶数－2，－4，－6，－8，……，负奇数－1，－3，－5，－7，……，下面我们将这此负偶数与负奇数排列如下：在上述的这些数中，观察它们的规律，回答数－101将在哪一列？达标测试1．（2011南通）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）A．－20m B．－40m C．20m D．40m2．（2010连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1 B．0 C．－1 D．－33．（2011宿迁）下列各数中，比0小的数是（）A．－1 B．1 C．12D．π4．数学测验班级平均分82分，小明85分，高出平均分3分记作+3，小强78分，记作___________．5．中午12时气温为5℃，傍晚6时气温比中午12时降低了4℃，此时气温是_______℃；凌晨4时比中午12时气温降低了7℃，这时气温是______℃.6．同学聚会，约定在中午12点到会，早到的时间记为正，迟到的时间记为负，结果最早到的同学记为＋3小时，最迟到的同学记为－1.5小时，你知道他们分别是什么时候到的吗？最早到的同学比最迟到的同学早到多少小时？2.2 有理数与无理数学习目标问题导学预习书本P15-P16，完成下面问题：1、把能够写成________________________________的数叫做有理数. 2. ________________________________叫做无理数. 3．下列各数722，0.3333…，-6,9.3，π，0.1， 010010001.0-，其中无理数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.有理数分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 典例训练1．把下列各数分别填入相应的集合中：-3，65，-7.3，3，0，-54，π，2.12112…, -2, 9.3，..0.12正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 正分数集合{ …} 负分数集合{ …} 非负数集合{ …} 有理数集合{ …}学习目标了解 理解 掌握 应用 1.掌握有理数和无理数的概念 √ 2.会对有理数进行分类 √ 3.了解分类思想√1. 如图，将两个边长为1的小正方形，沿图中斜线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2，如果设大正方形边长为a ，请问，a 是有理数吗？1.判断题：(1)整数就是正整数和负整数 ( ) (2)零是整数但不是正数 ( )(3)正数、负数统称为有理数 ( ) (4)非负有理数是指正有理数和0 ( )2.（2010温州）在下列各数中，0，π，12-，0.3中，最小的是 （ ） A ．0 B ．π C ．12-D ．0.3 3.下列说法正确的是 （ ）A 、一个有理数不是整数就是分数B 、正整数和负整数统称为整数C 、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D 、0不是有理数 4.将下列各数分别填入相应的集合中：9417,9,,,,31.25, 2.626626662, 3.5,1,010272π---+--正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝111111无理数集合{ … }2.3 数轴(第一课时)学习目标问题导学1.下列说法正确的是（）A、一个有理数不是整数就是分数B、正整数和负整数统称为整数C、正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数D、0不是有理数2.将下列各数分别填入相应的集合中：211,2004,5.3,25.31,274,301,109,9,7-+---正数集合：｛…｝负数集合：｛…｝整数集合：｛…｝分数集合：｛…｝3、规定了、和的直线叫做数轴。
实数(一)演示文稿
随堂练习
一、判断： ）
1.实数不是有理数就是无理数。（
2.无理数都是无限不循环小数。（
3.无理数都是无限小数。（ ） 4.带根号的数都是无理数。（ ×） 5.无理数一定都带根号。（ × ）
）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ 7.两个无理数之和一定是无理数。（× ） 8.数轴上的任何一点都可以表示实数。（
（1）如下图，以单位长度为边长画一个正方形,以原点 为圆心,正方形对角线为半径画弧,与正、负半轴的交点 分别为点A和点B，数轴上A点和B点对应的数是什么？
数轴上的点有些 表示有理数，有 些表示无理数.
B －2
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴 填满吗？
在数轴上表示的两 C 个实数，右边的数 总比左边的数大。
绝对值为
a
a
1 a
，
；
（2）如果a 0，那么它的倒数为
。
0
( 3 ) 正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是 负实数的绝对值是 它的相反数.
，
问题:每个有理数都可以用数轴上的点来表示. 无理数是否也可以用数轴上的点来表示出来呢?
OO´的长是这个圆的周长 ,所以点O´的坐标是 无理数 可以用数轴上的点来表示出来
）
）
随堂练习
把下列各数填入相应的集合内：
5
9
3
64
3
5
（1）有理数集合： 9 （2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3 0. 6 4 3 64 0 . 6 4
9 3 0.13 3 0.13
3
实数(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题6.7 实数（知识讲解）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.特别说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数➽➼概念的理解✬✬分类1． 把下列各数写入相应的集合内：12-，22，364-，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+．(1) 有理数集合：{ }； (2) 正实数集合：{ }； (3) 无理数集合：{ } 【答案】(1) 12-，364-，0.26， 0.10，5.12(2) 22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+(3) (3) 22，7π， 33-，327+【分析】（1）根据有理数的定义进行作答即可； （2）根据正数的定义进行判断即可； （3）根据无理数的定义进行判断即可． 解：(1)有理数有：12-，3644-=-，0.26， 0.10，5.12故答案为：12-， 364-，0.26， 0.10，5.12(2)12-，3644-=-是负数，33-绝对值是正数正实数有：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ 故答案为：22，0.26，7π，0.10，5.12，33-，327+ (3)无理数有：22， 7π， 33-，327+故答案为：22， 7π， 33-，327+【点拨】本题考查了实数的分类，即实数分为正实数，零，负实数；实数还可以分为有理数和无理数，有理数包括正数和分数，无理数是无线不循环小数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】 把下列各数填入相应的集合内．32π、－5222034905380.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），(1)有理数集合{…}(2)无理数集合{…}(3)负实数集合{… }【答案】(1) －52，49，0，38-(2) 32，π，2，203，-5，0.3737737773（3）－52，-5，38-.【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．解：（1）有理数集合：{－52，49,0，38-…}（2）无理数集合：{32，π，2，203，-5，0.3737737773……}（3）负实数集合：{－52，-538-【点拨】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.把下列各数序号分别填入相应的集合内：32① 14，10，①π-，①52-，15203①6-①38-①0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）【答案】有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①【分析】根据实数的性质即可分类．解：有理数为14，52-，38-；无理数为32，10，π-，15，203，6-，0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）；负实数为π-，52-，38-，6-，①有理数集合：①①①；无理数集合：①①①①①①①；负实数集合：①①①①．【点拨】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及特点．类型二、实数➽➼实数性质✬✬实数与数轴➽➼运算✬✬化简3 50.2-11-327825-3π-相反数倒数绝对值【分析】根据相反数、倒数、绝对值的定义依次即可得出答案．解：3 50.2-11-327825-3π-相反数350.21132-52-3π-倒数53-51111-2325--13π-绝对值350.2113252-3π-【点拨】本题考查实数的分类，立方根、分母有理化．对于分母中是二次根式的要分母有理化．举一反三：【变式1】实数a，b，c2a|a－b|＋|c－a|．【答案】a b c --+【分析】先判断0a b c <<<，进而得到0a b -<，0c a ->，再化简即可． 解：由数轴上点的位置可得 0a b c <<<，①0a b -<，0c a ->， ①2a a b c a --+- a a b c a =-+-+-a b c =--+．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，化简绝对值，整式的加减运算，实数与数轴，根据数轴及运算法则判断0a b -<，0c a ->是解本题的关键．【变式2】 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A ”，请根据图形回答下列问题：(1) 线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程) (2) 这个图形的目的是为了说明什么?(3) 这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳【答案】(1) OA =2；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解； （3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答． 解：(1) OB 2＝12+12＝2①OB ＝2 ①OA ＝OB =2(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A【点拨】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．类型三、实数➽➼估算✬✬无理数的整数（小数）部分✬✬➽➼运算✬✬化简3．[阅读材料]459253，①151＜251的整数部分为15152(1)91的小数部分是．(2)已知a21b21a）3＋（b＋4）2的值．【答案】(1)91﹣9 (2)-43【分析】（1）估算出91的范围99110<<，可得到91的整数部分，进而得到91的小数部分；（2）估算出21的范围4215<<，可得到21的整数部分，进而得到21的小数部分，从而得到a，b的值，再求代数式的值即可．<<，(1)解：①8191100①99110<<，①91的整数部分是9，①91的小数部分91﹣9，故答案为：91﹣9；<<，(2)解：①162125①4＜21＜5，①21的整数部分是4，小数部分是21﹣4， ①a ＝4，b ＝21﹣4，①原式＝（﹣4）3+（21-4+4）2 ＝﹣64+21 ＝﹣43．∴代数式的值为43-．【点拨】本题考查了实数的大小比较，代数式求值，无理数估算知识．解题的关键在与正确的计算求值．举一反三：【变式1】 比较下列各组数的大小： （1356；（2325-3-；（3513 【答案】（1）356<；（2）3253->-；（3）3512-> 【分析】（1）直接化简二次根式进而比较得出答案； （2）直接估算无理数的取值范围进而比较即可； （3）直接估算无理数的取值范围进而比较即可． 解：（1）①366=，①356<； （2）①33252-<-<-，①3253->-； （3）①132<<，①13122<<， ①253<<， ①1512<-<， ①3512->． 【点拨】本题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数取值范围是解题关键．【变式2】2212221来表2（129的整数部分是，小数部分是；（2）如果55a，55b，求a5的值．【答案】（1）5，29﹣5；（2）35﹣2【分析】（1）估算29的近似值，即可得出29的整数部分和小数部分；（2）求出a、b的值，再代入计算即可．解：（1）①25＜29＜36，①5＜29＜6，①29的整数部分为5，小数部分为29﹣5，故答案为：5，29﹣5；（2）①2＜5＜3，①7＜5＋5＜8，①5＋5的小数部分a＝5＋5﹣7＝5﹣2，①2＜5＜3，①﹣3＜﹣5＜﹣2，①2＜5﹣5＜3，①5﹣5的整数部分为b＝2，①a＋5b＝5﹣2＋25＝35﹣2.【点拨】本题考查了无理数的估算，正确估算无理数的取值范围是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简4．计算：（13325181276464 （23226511274⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）558；（2）112-． 【分析】直接利用立方根的性质及平方根的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果解：（1）原式=519384-⨯- ，=152988-- ， =558（2）原式=3151274-+- ， =1134-+ ， =112-【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三：【变式1】 计算题：（1）233111(2)2789⎛-+-⨯-- ⎝ （2238321253 【答案】（1）-3；（2）11【分析】（1）根据有理数的乘方，求一数的立方根和算术平方根进行计算； （2）根据求一数的立方根和算术平方根，化简绝对值，进行实数的混合运算． 解：（1）原式11183111383⎛⎫=--⨯+⨯-=---=- ⎪⎝⎭；（2）2383212538235311--+-=-++-=．【点拨】本题考查了实数的混合运算，求一数的立方根和算术平方根，掌握实数的运算法则是解题的关键．【变式2】 计算： (1)3112548(2) ()20223912712-【答案】(1)5 (2)22-【分析】对于（1），由1142=，255=，31182=，再计算即可；对于（2），由93=，(-1)2022=1，3273=，1221-=-，再计算即可． 解：(1)原式=115522+-=；(2)原式=3132122--+-=-．【点拨】本题主要考查了实数的运算，求出各数的平方根和立方根是解题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算➼程序设计✬✬新定义5． 一个数值转换器，如图所示：(1) 当输入的x 为81时．输出的y 值是_________；(2) 若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，请写出所有满足要求的x 的值； (3) 若输出的y 2，请写出两个满足要求的x 值．【答案】(1)3； (2)0x =，1； (3)4x =，2x =（答案不唯一） 【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． （1）解：当81x =时，取算术平方根81=9，不是无理数，继续取算术平方根93=，不是无理数，继续取算术平方根得3，是无理数，所以输出的y 值为3；（2）解：当0x =，1时，始终输不出y 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）解：4的算术平方根为2，2的算术平方根是2，①4x =，2x =都满足要求．【点拨】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键．举一反三：【变式】思考与探究：（1）在如图所示的计算程序中，若开始输入的数值是4，则最后输出的结果是___________．（2）在如图所示的计算程序中，若最后输出的结果是58，则开始输入的数值是___________．（3）按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为1621，则满足条件的x的不同值最多有多少个？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6个【分析】（1）根据程序运算图可得算式4×3+5，按运算顺序进行求解即可；（2）设输入的数字为m，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的正数求出．解：（1）由题意得：4×3+5=17，故答案为：17；（2）设输入的数字为m，则有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案为：6或--10；（3）①最后输出的数为1621，①4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又①4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=54>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=54， 解得：x=116>0， 又①4[(x+5)-(-2)2]-3=116， 解得：x=1564-<0，（不符合题意） ①符合题意的正数最多有6个.【点拨】本题考查了程序运算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知识，正确审题，弄清程序运算中的运算顺序，熟练掌握相关和运算法则和解题方法是解此类问题的关键．6． 对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，(0)a b a b a b a b+*=+>-，如：323*2532+==-，求()654**的值． 【答案】1【分析】根据已知条件先求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 解：①(0)a b a b a b a b +*=+>-， ①545*4354+==-， ①()636*5*46*3163+===-． 【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据新定义运算法则进行求解． 举一反三：【变式】 定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有2a b a b =+※，例如2747423=+=※．（1）求54※的值．（2）求(712※※的平方根． 【答案】（1）21；（2）±4【分析】（1）根据定义新运算即可求54※的值；（2）根据定义新运算求()712※※的值，再计算平方根即可得出答案． 解：（1）由定义新运算得：2545451621=+=+=※；（2）由定义新运算得：()7127(12)737916=+==+=※※※※， ①()712※※的平方根为164±=±． 【点拨】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 类型六、实数➽➼实数的运算➼实际运用✬✬规律7． 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：问题情境：设a ，b 是有理数，且满足2322+=-a b ab 的值．解：由题意得(3)(2)20-++a b ，①a ，b 都是有理数，①3,2a b -+也是有理数，2①30,20a b -=+=，①3,2a b ==-，①(2)36ab =-=-解决问题：设x ，y 都是有理数，且满足22585x y -+=+x y +的值．【答案】8或0【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x 、y 的值，从而可以求得x +y 的值．解：①225845x y y -+=+，①（x 2-2y -8）+（y -4）5=0，①x 2-2y -8=0，y -4=0，解得，x =±4，y =4，当x =4，y =4时，x +y =4+4=8，当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．举一反三：【变式】如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的面积是，边长是；（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．【答案】（1）5；5（2）10【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为10的且互相垂直的线段，进而拼合即可．解：（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：5．（2）如图所示，能，正方形的边长为10．【点拨】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.8． 阅读下列材料：设：0.30.333x ==，①则10 3.333x =.①由①-①，得93x =，即13x =. 所以10.30.3333==. 根据上述提供的方法.把0.7•和1.3•化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 【答案】70.70.7779•=⋯=，41.33•=.任何无限循环小数都可以化成分数. 【分析】设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①；由-②①，得97x =；由已知，得10.30.3333==，所以11.310.31.3=+=+任何无限循环小数都可以这样化成分数. 解：设0.70.777x ==⋯①则107.777x =⋯，①由①-①，得97x =，即79x =.所以70.70,7779=⋯=. 由已知，得10.30.3333==， 所以141.310.3133=+=+=. 任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.举一反三：【变式】（2020春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）阅读下列解题过程：231111()4422-===； 254221()9933-=； 279331()161644-===；… （111136-=________． （2）按照你所发现的规律，请你写出第n 个等式：________．（335799(1)(1)(1)(1)49162500----【答案】（1）56；（2）2211(1)1n n n n +-=++；（3）150 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．解：（1）11255136366-==； 故答案为：56； （2）观察上面的解题过程，发现的规律为：2222221(1)211(1)(1)(1)1n n n n n n n n n ++---===++++， 故答案为：2211(1)1n n n n +-=++； （3）35799(1)(1)(1)(1)49162500---- 149240149162500=⨯⨯⨯⨯ 12500=150=． 【点拨】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．中考真题专练【1】（2020·重庆·统考中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”；19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，理由见分析；（2）314、329、344、359、374、389【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．解：（1）①49594÷=；493161÷=，①49不是“差一数”，①745144÷=；743242÷=，①74是“差一数”；（2）解法一：①“差一数”这个数除以5余数为4，①“差一数”这个数的个位数字为4或9，①大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，①“差一数”这个数除以3余数为2，①“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．解法二：①“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，①这个数加1能被15整除，①大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，①大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点拨】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．【2】（2019·重庆·统考中考真题）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“纯数”．定义；对于自然数n ，在计算n+（n +1）+（n +2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数． 【答案】（1）2019不是“纯数”，2020时“纯数”，见分析；（2）13个.【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；（2）根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数，本题得以解决.解：（1）当2019n =时，12020n +=，22022n +=∵计算时，个位为90110++=，需要进位，∴2019不是“纯数”；当2020n =时，12021n +=，22022n +=∴个位为0123++=，不需要进位：十位为226++，不需要进位：百位为0000++=，不需要进位：千位为2226++=，不需要进位：∴2020是“纯数”；综上所述，2019不是“纯数”，2020时“纯数”.（2）由题意，连续的三个自然数个位不同，其他位都相同；并且，连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位；①当这个数为一位的自然数的时候，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位的自然数的时候，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，共9个；③当这个数为100时，100是“纯数”；∴不大于100的“纯数”有39113++=个.【点拨】本题考查整式的加减、有理数的加法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答.。
有理数集合无理数集合
2
2
想一想
一个圆柱的体积是10cm3,且底面 圆的直径与高相等,求这个圆柱的底 面半径（结果保留3个有效数字）。
化里
32 2 2 3 2 3
简面
绝的 对数
是负数 是正数
等于它
等于本
的相反数 身
是负数
值的 要符
32 2
2 2 3
2 3
2 3
3 2
看 号原式 2 2 3 2 3 （ 3 2）
4.已知10 3 x y，其中x是整数，且0 y 1, 求x y的相反数.
放映结束 感谢各位的批评指导！
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让我们共同进步
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它
2 2 3 2 3 3 2ຫໍສະໝຸດ 2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
1.如果 x 2，则x2 ,3 -4x
2.若 7 a (b 3 27)2 c 9 0,则a b c
3. 2006 a a 2006 1 a
无理数集合：
有理数集合：
…
分数集合：
…
自然数集合：
…
三、在数轴上表示各数和它们的相反数，把这 些数按从小到大的顺序排列，并用”<“号连接：
, 1.56, 3.14, 2, 5
2
3.14 5 1.56 2 2 1.56 5 3.14
正有理数
实数
有理数
分数
或有理数
零
负有理数
无理数（无限不循环小数）
常见的数集及表示符号
常见的数集及表示符号数集是数学中经常使用的概念，它是一些数的集合，不同的数集有其特定的性质和表示符号。
在数学中，常见的数集包括自然数集、整数集、有理数集、无理数集和实数集，下面分别进行介绍。
一、自然数集自然数集是指从1开始的正整数，其表示符号为N，即N={1,2,3,4,5,……}。
自然数集是最古老也是最基础的集合，它在数学和其它科学领域中有着广泛的应用。
二、整数集整数集是包含自然数集、0和负整数的集合，其表示符号为Z，即Z={……,-3,-2,-1,0,1,2,3,……}。
整数集包括正负整数和0，其使用范围广泛，如在计算中可以用整数集确定计数方向和大小。
三、有理数集有理数集是指所有可表示为两个整数之比的数，即它可以表示为a/b（b≠0）的一个数。
有理数集包括整数集和所有分数，其表示符号为Q，即Q={m/n|m,n∈Z,n≠0}。
有理数集的一个重要性质是它可以用分数的形式表示，方便了计算。
四、无理数集无理数集是指不能表示为有理数的数集，它包括所有无限不循环小数，如π，e等。
无理数集表示符号为R-Q，即R-Q={x|x不是有理数}。
无理数集在几何学中有重要的应用，比如圆周率π在计算圆的周长和面积时起着重要作用。
五、实数集实数集是指所有有理数和无理数的集合，即包含所有可能的数。
实数集的表示符号为R，即R=Q∪(R-Q)。
实数集包括有理数、无理数和所有实数，且实数集在解析几何、微积分等高等数学的各个分支中都有着广泛和重要的应用。
总结数学中的不同数集都有其特定的性质和表示符号，自然数集、整数集、有理数集、无理数集和实数集分别包含了不同的数值种类，它们在各自的领域中有着广泛和重要的应用。
对于学习数学的学生，了解这些数集及其符号可以有效的帮助理解其它相关知识。
人教版七年级数学上册《有理数的概念》专题训练-附带答案
人教版七年级数学上册《有理数的概念》专题训练-附带答案知识点一：有理数1．（2021秋•江阴市校级月考）把下列各数填在相应的大括号里：π2﹣2 −123.020020002 0227﹣（﹣3） 0.333整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ …}．思路引领：根据实数的分类 即可解答． 解：整数集合：{﹣2 0 ﹣（﹣3）…}； 分数集合：{−122270.333…}；有理数集合：{﹣2 −12227﹣（﹣3） 0.333…}；无理数集合：{π23.020020002……}； 故答案为：﹣2 0 ﹣（﹣3）； −122270.333；﹣2 −12227﹣（﹣3） 0.333；π23.020020002…．解题秘籍：本题考查了实数 熟练掌握实数的分类是解题的关键． 2．（2019秋•天山区校级期中）下列说法中不正确的是（ ） A ．最小的自然数是1 B ．最大的负整数是﹣1 C ．没有最大的正整数D ．没有最小的负整数思路引领：根据自然数、负整数、正整数的相关意义判断即可． 解：A 、最小的自然数是0 说法错误 故本选项符合题意； B 、最大的负整数是﹣1 说法正确 故本选项不符合题意； C 、没有最大的正整数 说法正确 故本选项不符合题意； D 、没有最小的负整数 说法正确 故本选项不符合题意． 故选：A ．解题秘籍：本题主要考查自然数、负整数、正整数的定义 学生要做好这类题必须对其定义理解透彻．3．（2021秋•靖江市期中）下列说法中 正确的是（ ）A ．正有理数和负有理数统称有理数B ．正分数、零、负分数统称分数C ．零不是自然数 但它是有理数D ．一个有理数不是整数就是分数 思路引领：根据有理数分类判断即可．解：A ．正有理数 零和负有理数统称有理数 故本选项不合题意； B ．正分数和负分数统称分数 故本选项不合题意； C ．零是自然数 也是有理数 故本选项不合题意；D ．一个有理数不是整数就是分数 说法正确 故本选项符合题意． 故选：D ．解题秘籍：本题考查了有理数 整数和分数统称有理数；有理数也可以分为正有理数、0和负有理数． 4．数0.3⋅21⋅−π3124﹣|﹣5| ﹣0.5中 分数有 个．思路引领：按照有理数的分类填写： 有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 注意化简后加以判断．解：分数包括小数和无限循环小数 所以0.3⋅21⋅、﹣0.5是分数．答案：2．解题秘籍：注意先化简 再判断是整数还是分数．考查分数的定义和对分数的认识 注意分数与整数的区别．知识点二：数轴1．（2022•玉林模拟）如图所示的图形为四位同学画的数轴 其中正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．思路引领：根据数轴的概念判断所给出的四个数轴哪个正确． 解：A ﹣1、﹣2位置错误 故此选项错误 不符合题意； B 、单位长度不统一 没有正方向 故此选项错误 不符合题意； C 、没有正方向 数字顺序也有问题 故此选项错误； D 、符合数轴三要素 故此选项正确．故选：D．解题秘籍：本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．2．（1）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是；（2）在数轴上将点A向右移动5个单位长度再向左移动1个单位长度终点恰好是原点则点A表示的数是；（3）点A在数轴上距原点5个单位长度将A点先向左移动2个单位长度再向右移动6个单位长度此时A点所表示的数是．思路引领：（1）在数轴上到原点距离等于2的点有两个这两个点所表示的数互为相反数；（2）（3）根据数轴上的平移规律：左减右加进行计算即可．解：（1）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是±2；故答案为：±2；（2）在数轴上将点A向右移动5个单位长度再向左移动1个单位长度终点恰好是原点则点A表示的数是0+1﹣5＝﹣4；故答案为：﹣4；（3）当点A表示5时5﹣2+6＝9当点A表示﹣5时﹣5﹣2+6＝﹣1∴点A在数轴上距原点5个单位长度将A点先向左移动2个单位长度再向右移动6个单位长度此时A点所表示的数是﹣1或9．故答案为：﹣1或9．解题秘籍：本题考查了有理数的加减混合运算、数轴的定义掌握其运算法则是解决此题的关键．3．某数的绝对值小于2 在数轴上这个数表示的点到﹣0.6所表示的点的距离是1.5 则这个数是．思路引领：先求出到表示﹣0.6的点的距离是1.5的点表示的数再由绝对值小于2即可得到答案．解：在数轴上到表示﹣0.6的点的距离是1.5的点表示的数是：﹣0.6+1.5＝0.9或﹣0.6﹣1.5＝﹣2.1∵绝对值小于2∴符合条件的点表示的数是0.9故答案为：0.9．解题秘籍：本题考查数轴上的点表示的数掌握数轴上到表示﹣0.6的点的距离是1.5的点有两个是解题得关键．4．（2019秋•赵县期中）在数轴上表示下列各数并按从大到小的顺序用“＞”号把这些数连接起来4 ﹣4 2.5 0 ﹣2 ﹣1.6 13−230.5．思路引领：有理数大小比较可以在数轴上找到各数从左到右依次增大进而得出答案．解：如图所示：故4＞2.5＞0.5＞13＞0＞−23＞−1.6＞﹣2＞﹣4．解题秘籍：此题主要考查了有理数大小比较的方法正确画出数轴是解题关键．5．（2021秋•泗水县校级月考）如图．A、B、C三点在数轴上A表示的数为﹣10 B表示的数为14 点C在点A与点B之间且AC＝BC．（1）求A、B两点间的距离；（2）求C点对应的数；（3）甲、乙分别从A、B两点同时相向运动甲的速度是1个单位长度/s乙的速度是2个单位长度/s求相遇点D对应的数．思路引领：（1）用点B表示的数减去点A表示的数计算即可得解；（2）设点C对应的数是x然后列出方程求解即可；（3）设相遇的时间是t秒根据相遇问题列出方程求解得到x的值然后根据点A表示的数列式计算即可得解．解：（1）14﹣（﹣10）＝14+10＝24；（2）设点C对应的数是x则x﹣（﹣10）＝14﹣x解得x＝2；（3）设相遇的时间是t秒则t+2t＝24解得t＝8所以点D表示的数是﹣10+8＝﹣2．解题秘籍：本题考查了数轴主要利用了数轴上两点间的距离的求法相遇问题的等量关系．知识点三：相反数1．（2021•元阳县模拟）若一个数的相反数是﹣7 则这个数为．思路引领：根据相反数的定义即可得出答案．解：﹣7的相反数是7故答案为：7．解题秘籍：本题考查了相反数的定义掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．（2021秋•邹城市校级月考）如果多项式2x﹣3与x+7互为相反数那么x的值是（）A．−43B．43C．34D．0思路引领：根据相反数的性质列出方程求出方程的解即可得到x的值．解：根据题意得：2x﹣3+x+7＝0移项合并得：3x＝﹣4解得：x=−4 3．故选：A．解题秘籍：此题考查了解一元一次方程以及相反数熟练掌握相反数的性质及方程的解法是解本题的关键．3．在数轴上若点A和点B分别表示互为相反数的两个数并且这两点间的距离是12.8 则这两点所表示的数分别是．思路引领：直接利用相反数的定义进而得出答案．解：∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数并且这两点间的距离是12.8∴这两点所表示的数分别是：﹣6.4 6.4．故答案为：﹣6.4 6.4．解题秘籍：此题主要考查了相反数的定义正确把握定义是解题关键．知识点四：绝对值1．（2022秋•射阳县月考）若|a﹣2020|+（﹣3）＝10 则a＝．思路引领：根据有理数的运算先求出|a﹣2020|的值再利用绝对值的意义求出a的值．解：∵|a﹣2020|+（﹣3）＝10∴|a﹣2020|＝13．∴a﹣2020＝13或a﹣2020＝﹣13．解得a＝2033或2007．故答案为：2033或2007．解题秘籍：本题考查了绝对值的意义与有理数的运算正确理解绝对值的意义是解题的关键．2．（2022春•通川区期末）已知|a﹣1|+|b+2|＝0 则（a+2b）（a﹣2b）＝．思路引领：先根据非负数的性质求出a b的值再代入代数式进行计算即可．解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0∴a﹣1＝0且b+2＝0解得：a＝1 b＝﹣2∴（a+2b）（a﹣2b）＝（1﹣4）（1+4）＝﹣15．故答案为：﹣15．解题秘籍：本题考查的是非负数的性质熟知几个非负数的和为0时每一项必为0是解答此题的关键．3．（2022春•东台市期中）|x﹣2|+9有最小值为．思路引领：根据绝对值的非负性即可得出答案．解：∵|x﹣2|≥0∴|x﹣2|+9≥9∴|x﹣2|+9有最小值为9．故答案为：9．解题秘籍：本题考查了绝对值的非负性掌握|a|≥0是解题的关键．4．（2021秋•吉州区期末）|a﹣3|＝5 且a在原点左侧则a＝．思路引领：根据数轴上到3的距离等于5的数有两个并且在原点的左侧即可求得a．解：∵|a﹣3|＝5∴a﹣3＝5或﹣5∴a＝8或﹣2∵a在原点左侧∴a＜0∴a＝﹣2．解题秘籍：本题考查了绝对值的几何意义掌握绝对值的性质是解题的关键难度不是很大．5．（2021秋•龙泉市期末）若实数a b满足|a|＝2 |4﹣b|＝1﹣a则a+b＝．思路引领：根据绝对值的定义求出a、b的值再代入计算即可．解：∵|a|＝2∴a＝±2当a＝2时|4﹣b|＝1﹣2＝﹣1 此时b不存在；当a＝﹣2时|4﹣b|＝3所以4﹣b＝3或4﹣b＝﹣3即b＝1或b＝7当a＝﹣2 b＝1时a+b＝﹣1；当a＝﹣2 b＝7时a+b＝5故答案为：﹣1或5．解题秘籍：本题考查绝对值理解绝对值的定义是正确解答的前提求出a、b的值是正确解答的关键．6．（2021秋•乳山市期末）若|a|＝2 |b|＝1 且a＜b则a﹣3b＝．思路引领：根据绝对值的意义求出a、b的值再代入计算即可．解：∵|a|＝2∴a＝±2∵|b|＝1∴b＝±1又∵a＜b∴a＝﹣2 b＝1或a＝﹣2 b＝﹣1当a＝﹣2 b＝1时a﹣3b＝﹣5；当a＝﹣2 b＝﹣1时a﹣3b＝1故答案为：﹣5或1．解题秘籍：本题考查绝对值掌握“一个正数的绝对值等于它本身一个负数的绝对值等于它的相反数0的绝对值等于0”是正确计算的前提求出a、b的值是正确解答的关键．【课堂练习】1．（2022•睢阳区二模）若m与−(−13)互为相反数则m的值为（）A．﹣3B．−13C．13D．3思路引领：先求出﹣（−13）的值再求它的相反数即可．解：﹣（−13）=13∵m与−(−13)互为相反数∴m=−1 3．故选：B．解题秘籍：本题考查了相反数掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．2．如果一个数的相反数是非负数那么这个数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数思路引领：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 解：∵一个数的相反数是非负数 ∴这个数是非正数． 故选：C ．解题秘籍：本题考查了相反数的定义 熟记概念是解题的关键． 3．（2015秋•无锡校级月考）下列说法中正确的是（ ） A ．负有理数是负分数 B ．﹣1是最大的负数C ．正有理数和负有理数组成全体有理数D ．零是整数思路引领：根据有理数和无理数的定义 以及有理数的分类进行判断． 解：A 、负有理数包括负分数和负整数 故本选项说法错误； B 、﹣1是最大的负整数 故本选项说法错误；C 、正有理数、负有理数和0组成全体有理数 故本选项说法错误；D 、正整数、负整数和零组成整数 所以零是整数 故本选项说法正确； 故选：D ．解题秘籍：本题考查了有理数的分类：有理数{整数{正整数0负整数分数{正分数负分数． 4．（2014秋•资中县期中）如图 点O 、A 、B 在数轴上 分别表示数0、1.5、4.5 数轴上另有一点C 到点A 的距离为1 到点B 的距离小于3 则点C 位于（ ）A ．点O 的左边B ．点O 与点A 之间C ．点B 的右边D ．点A 与点B 之间思路引领：由数轴上点的位置 找出离A 距离为1的点 再由到B 的距离小于3判断即可确定出C 的位置．解：∵点O 、A 、B 在数轴上 分别表示数0、1.5、4.5 数轴上另有一点C 到点A 的距离为1 到点B 的距离小于3∴点C 表示的数为2.5 位于点A 与点B 之间 故选：D ．解题秘籍：此题考查了数轴熟练掌握数轴上的点与实数之间的一一对应关系是解本题的关键．5．（2020秋•平山区校级期中）①﹣a 一定是负数；②若|a |＝|b | 则a ＝b ；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数．上述说法错误的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：根据有理数的分类和有理数的有关定义解答即可． 解：①﹣a 不一定是负数 原说法错误； ②若|a |＝|b | 则a ＝b 或a ＝﹣b 原说法错误； ③一个有理数不是整数就是分数 原说法正确；④一个有理数不是正数就是负数 也可能是0 原说法错误． 上述说法错误的有3个 故选：C ．解题秘籍：此题考查有理数 解题的关键是根据有理数的分类和绝对值判断． 6．（2015秋•海陵区校级月考）|a |＝a 则有理数a 为（ ） A ．正数B ．负数C ．正数和0D ．负数和0思路引领：根据绝对值的性质可得． 解：∵|a |＝a ∴a 为正数或0 故选：C ．解题秘籍：本题主要考查绝对值的性质 熟练掌握绝对值性质是解题的关键． 7．（2021秋•启东市校级月考）已知a b c 为三个不等于0的数 且满足abc ＞0 a +b +c ＜0 则|a|a+|b|b+|c|c的值为 ．思路引领：根据绝对值的定义解决此题． 解：∵abc ＞0 a +b +c ＜0∴a 、b 与c 中有两个负数 一个正数． 假设a ＜0 b ＜0 c ＞0 则|a|a+|b|b+|c|c=−a a+−b b+c c=−1+(−1)+1=−1．故答案为：﹣1．解题秘籍：本题主要考查绝对值 熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．《有理数概念复习》配套作业1．下列几种说法中 正确的是（ ） A ．最小的自然数是1B ．在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数C ．任意有理数a 的倒数是1aD．任意有理数a的相反数是﹣a思路引领：根据自然数的定义求相反数的方法倒数的定义可得答案．解：A、最小的自然数是0 故A错误；B、在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数故B错误；C、0没有倒数故C错误；D、任意有理数a的相反数是﹣a故D正确；故选：D．解题秘籍：本题考查了有理数注意带符号的数不一定是负数小于零的数是负数．2．下列几种说法中不正确的（）A．任意有理数a的相反数是﹣aB．在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数C．一个非0有理数a的倒数是1aD．最小的自然数是0思路引领：根据选项将不正确的选项举出反例即可解答本题．解：∵﹣（﹣1）＝1∴在一个数前面加上“﹣”号所得的数是负数的说法是错误的；故选：B．解题秘籍：本题考查有理数解题的关键是明确负数的定义和有理数的相关知识．3．（2019秋•定襄县校级月考）一个数的绝对值等于它本身这个数是比其相反数小的数是一个数的倒数等于它本身这个数是．思路引领：根据绝对值的性质：当a是正有理数时a的绝对值是它本身a；当a是零时a的绝对值是零可得绝对值是它本身的数是非负数；根据相反数的概念可得比其相反数小的数是负数；根据倒数的概念可得一个数的倒数等于它本身这个数是±1．解：一个数的绝对值等于它本身这个数是非负数比其相反数小的数是负数一个数的倒数等于它本身这个数是±1．故答案为：非负数负数±1．解题秘籍：此题主要考查了倒数、相反数、绝对值关键是熟练掌握倒数、相反数、绝对值的概念和性质．4．在数轴上在原点左侧且离开原点5个单位长度的点表示的数是；离开原点4个单位长度的点表示的数是．思路引领：根据离开原点5个单位的点有两个再根据在原点左侧可得答案；根据离开原点4个单位长度的点有两个可得答案．解：在原点左侧且离开原点5个单位长度的点表示的数是﹣5；离开原点4个单位长度的点表示的数是±4故答案为：﹣5 ±4．解题秘籍：本题考查了数轴到原点距离相等的点有两个注意第一个点在原点的左侧只有一个数第二个点没限定位置有两个数．5．（2021•成都模拟）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示则这四个数中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．d思路引领：根据绝对值的定义结合实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置即可求出结果．解：由实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置可知：4＜|a|＜5 1＜|b|＜2 0＜|c|＜1 |d|＝4故选：A．解题秘籍：本题考查了实数大小的比较、绝对值、实数与数轴解题的关键是理解绝对值的定义利用数形结合的思想解答问题．6．（2020春•魏县期末）如果|x+1|＝2 那么x＝．思路引领：利用绝对值的定义求解即可．解：∵|x+1|＝2∴x+1＝2或x+1＝﹣2 解得x＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．解题秘籍：本题主要考查了绝对值解题的关键是熟记绝对值的定义．7．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上根据图中数值请你确定墨迹盖住部分的整数共有个．思路引领：根据数轴上已知整数求出墨迹盖住部分的整数个数．解：根据数轴得：墨迹盖住的整数共有0 1 2共3个．故答案为：3．解题秘籍：本题主要考查了数轴理解整数的概念能够首先结合数轴得到被覆盖的范围进一步根据整数这一条件是解题的关键．8．用长为4.5个单位长度的木条放在数轴上最多能覆盖（）个整数点．A．3B．4C．5D．6思路引领：利用数轴即可作出判断．解：用长为4.5个单位长度的木条放在数轴上最多能覆盖5个整数点．故选：C．解题秘籍：本题考查了数轴数轴有直观、简捷举重若轻的优势．9．代数式|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是．思路引领：可以用数形结合来解题：x为数轴上的一点|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|表示：点x 到数轴上的3个点（3、4、5）的距离之和进而分析得出最小值．解：当x＝4时代数式|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|有最小值最小值＝1+0+1＝2．故代数式|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是2．故答案为：2．解题秘籍：此题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题利用已知得出当x＝4时|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|能够取到最小值是解题关键．10．（2014秋•雨城区校级月考）当代数式|x﹣3|+|x+1|取最小值时相应的x的取值范围是．思路引领：|x+1|+|x﹣3|的最小值意思是x到﹣1的距离与到3的距离之和最小那么x 应在﹣1和3之间的线段上．解：由数形结合得若|x+1|+|x﹣3|取最小值那么表示x的点在﹣1和3之间的线段上所以﹣1≤x≤3．故答案为：﹣1≤x≤3．解题秘籍：本题主要考查了数轴和绝对值掌握数轴上两点间的距离＝两个数之差的绝对值．11．（2012秋•滨湖区校级期中）如果把115分记作+15分那么96分的成绩记作分如此记分法甲生的成绩记作﹣9分那么他的实际成绩是分乙生的成绩记作6分那么他的实际成绩为分．思路引领：由题意可得100分为基准点从而可得出96的成绩应记为﹣4 也可得出甲生和乙生的实际成绩．解：∵把115分的成绩记为+15分∴100分为基准点故96的成绩记为﹣4分甲生的实际成绩为91分乙生的实际成绩为106分．故答案为：﹣4、91、106．解题秘籍：本题考查了正数与负数的知识解答本题的关键是找到基准点．12．（2021秋•滨州月考）绝对值不大于3.14的所有有理数之和等于；不小于﹣4而不大于3的所有整数之和等于．思路引领：根据绝对值不大于3.14的有理数互为相反数 根据互为相反数的和为零 可得答案；根据不小于﹣4而不大于3的所有整数 可得加数 根据有理数的加法 可得答案．解：绝对值不大于3.14的所有有理数之和等于0；不小于﹣4而不大于3的所有整数之和（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3＝﹣4故答案为：0 ﹣4．解题秘籍：本题考查了有理数大小比较 利用不小于﹣5而不大于4的所有整数得出加数是解题关键 注意互为相反数的和为零．13．（2020秋•饶平县校级期末）已知：数轴上A 点表示+8 B 、C 两点表示的数为互为相反数 且C 到A 的距离为3 求点B 和点C 各对应什么数？思路引领：求出到A 点的距离是3的数 即求出C 点表示的数 即可得出答案． 解：∵当点C 在A 的左边时 +8﹣3＝5当点C 在A 点的右边时 +8+3＝11∴C 点表示的数是5或11∴当C 表示的数是5 B 点表示的数是﹣5 或 当C 表示的数是11 B 点表示的数是﹣11． 解题秘籍：本题考查了数轴 相反数的应用 关键是求出C 点表示的数．14． 如果a 、b 互为相反数 那么2016a +2016b ﹣100＝ ．思路引领：根据互为相反数的和为0 得a +b ＝0 把所求的式子进行变形 再代入求得结论．解：因数a 、b 互为相反数所以a +b ＝0则2016a +2016b ﹣100＝2016（a +b ）﹣100＝﹣100．故答案为：﹣100．解题秘籍：本题考查了相反数的概念 明确互为相反数的两个数相加为0 因此对所求式子进行变形是本题的关键．15．（2017秋•和平区校级月考）在下列各等式中 a 表示正数的有（ ）个式子． ①|a |＝a ；②|a |＝﹣a ；③|a |＞﹣a ；④|a |≥﹣a ；⑤|a|a =1；⑥a ＜1a ． A ．4 B ．3 C ．2D ．1 思路引领：根据绝对值的定义即可求解．解：①|a |＝a 时 a 为非负数 即a 可以为0 不符合题意；②|a |＝﹣a 时 a 为非正数 即a 可以为0 不符合题意；③|a |＞﹣a 时 a 一定为正数 符合题意；④|a |≥﹣a 时 a 为非负数 即a 可以为0 不符合题意；⑤|a|a =1时 a 一定为正数 符合题意；⑥a ＜1a 时 0＜a ＜1或a ＜﹣1 即a 可以为小于﹣1的负数 不符合题意．故选：C ．解题秘籍：此题主要考查了绝对值 关键是熟悉如果用字母a 表示有理数 则数a 的绝对值要由字母a 本身的取值来确定：①当a 是正有理数时 a 的绝对值是它本身a ；②当a 是负有理数时 a 的绝对值是它的相反数﹣a ；③当a 是零时 a 的绝对值是零．16．（2021秋•姜堰区期中）在数轴上画出表示下列各数的点 并将这些数按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来：﹣（﹣2）、|﹣3|、0、+（﹣1）、﹣212思路引领：先根据相反数和绝对值进行计算 再在数轴上表示出各个数 再比较大小即可．解：+（﹣1）＝﹣1 ﹣（﹣2）＝2 |﹣3|＝3−212＜+（﹣1）＜0＜﹣（﹣2）＜|﹣3|．解题秘籍：本题考查了数轴 有理数的大小比较 绝对值和相反数等知识点 能正确在数轴上表示出各个数|是解此题的关键 注意：在数轴上表示的数 右边的数总比左边的数大．17．已知a ＞0 b ＜0 且|a |＜|b | 借助数轴 试把a ﹣a b ﹣b 四个数用“＜”连接起来． 思路引领：根据|a |＜|b | 可得b 距离原点比a 远 画出数轴后即可得出答案．解：如图所示：所以b ＜﹣a ＜a ＜﹣b ．解题秘籍：本题考查了有理数的大小比较：在数轴上 右边的点所表示的数比左边的点表示的数要大；离原点越远 它表示的数的绝对值就越大．18．（2021秋•江都区校级月考）已知在纸面上有一数轴（如图） 折叠纸面：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合 则﹣2表示的点与数 表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合 回答以下问题：①6表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧）且A、B两点经折叠后重合求A、B两点表示的数是多少？思路引领：（1）依题意可知两数关于原点对称所以可求出与﹣2重合的点；（2）①依题意若﹣1表示的点与5表示的点重合可知两数关于与2表示的点对称即可求出6表示的点的对称点；②由①条件可知A、B关于2表示的点对称即可求出答案．解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合∴﹣2表示的点与2表示的点重合．故答案为：2；（2）①∵﹣1表示的点与5表示的点重合∴6表示的点与﹣2表示的点重合．故答案为：﹣2；②∵A、B两点之间的距离为11经折叠后重合∴A、B距离对称点的距离为11÷2＝5.5又∵且关于点2表示的点对称∴点A表示的数为2+5.5＝7.5 点B表示的数为2﹣5.5＝﹣3.5∴A应该为﹣3.5 B应该为7.5．解题秘籍：本题主要考查数轴上点的应用根据题意求出两个点的对称点是解决本题的关键．19．（2019秋•鼓楼区期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6 ﹣8 M、N、P为数轴上三个动点点M从A点出发速度为每秒2个单位点N从点B出发速度为M 点的3倍点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动同时点N向左运动求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动求多长时间点P到点M N的距离相等？（3）当时间t满足t1＜t≤t2时M、N两点之间N、P两点之间M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点请直接写出t1t2的值．思路引领：（1）由题意列出方程可求解；（2）分两种情况讨论列出方程可求解；（3）M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小M、N两点距离最大M、P两点距离最小可得出M、P两点向右运动N点向左运动结合数轴分类讨论分析即可．解：（1）设运动时间为t秒由题意可得：6+8+2t+6t＝54∴t＝5∴运动5秒点M 与点N 相距54个单位；（2）设运动时间为t 秒由题意可知：M 点运动到6+2t N 点运动到﹣8+6t P 点运动到t当t ＜1.6时 点N 在点P 左侧MP ＝NP∴t ﹣（﹣8+6t ）＝6+2t ﹣t∴6+t ＝8﹣5t∴t =13s ；当t ＞1.6时 点N 在点P 右侧MP ＝NP∴﹣8+6t ﹣t ＝6+2t ﹣t∴6+t ＝﹣8+5t∴t =72s∴运动13s 或72s 时点P 到点M N 的距离相等； （3）由题意可得：M 、N 、P 三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小M 、N 两点距离最大 M 、P 两点距离最小 可得出M 、P 两点向右运动 N 点向左运动①如上图 当t 1＝5s 时 P 在5 M 在16 N 在﹣38再往前一点 MP 之间的距离即包含11个整数点 NP 之间有44个整数点；②当N 继续以6个单位每秒的速度向左移动 P 点向右运动若N 点移动到﹣39时 此时N 、P 之间仍为44个整数点若N 点过了﹣39时 此时N 、P 之间为45 个整数点故t 2=16+5=316s ∴t 1＝5s t 2=316s ． 解题秘籍：本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用 理清题中的数量关系、数形结合 是解题的关键．。
有理数与无理数知识点以及专项训练(含答案解析)
有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。
有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。
非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。
我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。
无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。
知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。
有理数与无理数
有理数与无理数知识点1 有理数整数和分数统称有理数.(有理数也叫可比数)整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3.... 分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5••⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
例：0.333……可以化为31 知识点2 有理数的分类1.按有理数的定义分类2.按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数考点：有理数的分类例1 把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，0，1713，0.03%，－314，10．自然数集合：{ …}；整数集合：{ …}；负数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；正有理数集合：{ …}．知识点3 无理数无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有以下三种类型：（1）常数型无理数，如：π、e 等.（2）规律型无理数，如0.1010010001……（3）开方型无理数（八年级学习），如2、3、5等注意：（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数.（2）圆周率π是无理数.（3）无理数与有理数的和差一定是无理数.（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数.例2下列各数中..3.14，12π，1.090 090 009…，227，0，3.1415是无理数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例3、把下列各数填在相应的大括号里．+8，+3 4 ，0.275，2，0，-1.04，22 7 ，-8，-100，-1 3 ，0.•3 ．（1）正整数集合{ …}（2）负整数集合{ …}（3）正分数集合{ …}（4）负分数集合{ …}．例4、把下列和数按要求分类．-4，10%，−11 2 ，-2.00，101，2 1 ，-1.5，0，0.1010010001…，0.6．负整数集合：{ …}正分数集合：{ …}负分数集合：{ …}整数集合：{ …}有理数集合：{ …}例5、如图、两个圈分别表示负数集和整数集，请你分别在A、B、C处分别填入3个数．例6、把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内：。
有理数和无理数的类比推理
有理数和无理数的类比推理有理数和无理数是数学中两个重要的数集，它们在很多方面有相似之处。
下面我将详细阐述有理数和无理数的类比推理，介绍它们的定义、性质、表示方法以及一些在实际中的应用。
首先，我们来了解有理数和无理数的定义。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。
有理数的集合包括整数、分数和小数。
而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数，它们是无限不循环且无穷不重复的无限小数。
在性质方面，有理数和无理数都是实数的一部分，它们满足实数的四则运算规则。
无论是加法、减法、乘法还是除法，当有理数之间进行运算时，结果仍然是有理数。
同样地，无理数之间的运算也符合这些规则。
但有理数与无理数之间进行运算得到的结果通常是无理数，而这也是有理数和无理数之间最显著的区别之一。
其次，有理数和无理数可以以不同的方式进行表示。
有理数可以表示为分数或小数形式，分数是两个整数的比值，而小数则可以表示为有限小数或循环小数。
无理数则无法表示为分数形式，它们通常用无限不循环小数的形式表示，如圆周率π或开方根号2。
有理数和无理数在数轴上也有类似的位置关系。
数轴上的有理数可以精确地标记，而无理数则常常需要近似表示。
数轴上的有理数可以用无理数表示的方式进行无限延伸，而无理数则填补了有理数之间的空隙。
在应用层面上，有理数和无理数都有广泛的应用。
有理数在计算机科学、金融学和工程等领域中被广泛使用，因为有理数可以精确地表示和计算。
无理数在物理学、数学建模和统计学等领域中具有重要的应用，例如圆周率π在几何学和物理学中的应用，以及黄金分割比例在数学建模和艺术中的运用。
综上所述，有理数和无理数在定义、性质、表示方法和应用等方面存在一些相似之处。
它们都属于实数的一部分，满足实数的四则运算规则，但有理数和无理数之间在结果和表示方式上有明显的不同。
有理数和无理数在数轴上也有类似的位置关系，并在实际应用中各自有重要的作用。
通过理解有理数和无理数之间的类比推理，我们可以更好地理解和应用数学中的概念和知识。
无理数集合测度-概述说明以及解释
无理数集合测度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述无理数集合测度是数学中一个重要的概念，它与无理数的性质密切相关。
无理数是指不能用两个整数的比值来表示的实数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
在数学中，我们常常将实数划分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以用两个整数的比值来表示的实数，包括整数、分数以及有限不循环小数。
而无理数则是一类特殊的实数，它们具有无穷的小数位数，且没有循环。
无理数集合包括像π，√2和e等著名的无理数。
无理数集合测度是对无理数集合进行度量的一种方法。
它允许我们衡量无理数集合的大小、稠密程度等性质。
通过测度，我们可以比较不同无理数集合之间的大小关系，进一步深入了解无理数的分布规律。
本文将首先介绍无理数集合的定义和特点，包括无理数的基本概念及其在数学中的重要性。
然后，我们将探讨无理数集合测度的方法，包括测度的定义和计算方法。
最后，我们将总结无理数集合的测度，并探讨无理数集合测度在实际应用中的意义和作用。
通过对无理数集合测度的研究，我们可以更深入地理解无理数的特性和性质。
同时，无理数集合测度也为我们提供了一种衡量无理数集合大小和密度的工具，有助于在数学和其他领域中的实际应用中发挥重要的作用。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对无理数集合的测度进行深入的研究和探讨。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括对整篇文章的结构进行简要介绍，提供读者一个整体的把握。
可以按照以下内容进行编写：文章结构部分将对本篇长文的整体结构进行介绍，让读者对文章的组织框架有一个清晰的认识。
本文主要包含引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对文章的背景和研究的问题进行概述，说明无理数集合测度的重要性以及相关研究的现状。
在正文部分，我们将首先介绍无理数集合的定义和特点，探讨无理数集合与有理数集合的关系，以及无理数集合的性质和特征。
其次，我们将详细介绍无理数集合的测度方法，包括传统的长度测度和更一般的Lebesgue测度方法。
无理数集合PPT课件
把下列各数填入相应的集合内：
9 3 5 64
（1）有理数集合：
9
•
0.6 •
64 0.6
3
4
3 4
0
3
3 9 3 0.13
0.13
（2）无理数集合： 3 5
3 9
（3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合：
9
3 4
•
0.6
（6）实数集合： 9 3 5
64 3
3 9
3 0.13
5, 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
有理数和无理数统称 实数
有理数 有理数
正有理数 0
负有理数
Байду номын сангаас正整数
正分数 负整数
负分数
整数 分数
正整数 0
负整数 正分数
负分数
你没忘吧?
实数
实数
有理数
无理数 正实数
0 负实数
正有理数 0
负有理数 正无理数
负无理数 正有理数
正无理数
你学会了吗?
负有理数 负无理数
无限不循环的小数 ----------叫做无理数
你能举出一些无理数吗？
把下列各数分别填入相应的集合内：
1
3 2, 4 ,
4 , 0,
9
7, , 5 ,
2
2,
20 3
,
5, 3 8,
（相邻两个3之间
0.3737737773 的7的个数逐次加1）
1 , 5 , 42
4, 9
0,
3 8,
3 2, 7, , 2, 20 , 3
使用计算器计算，把下列有 理数写成小数的形式，你有什么 发现？
2.2 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数属于分数．
有理数还可以分为：
有理数 零 负有理数 负整数
正分数
正有理数Leabharlann 正整数
负分数
例1：把下列各数填入它所属的集合的圈内： 1 2 13 15, ,5, , ,0.1,5.32,80,123,2.333 9 15 8
15,123
正整数集合
1 6 ， ，-0.33，-3.141 592 6， „｝ 负有理数集合：｛ 6
„｝
下列判断中，正确的是（
）
A、正整数和负整数统称为整数 B、有理数只包括正有理数和负有理数 C、自然数和负数统称为有理数
D、整数和分数统称为有理数
下列判断中，不正确的是（
）
A、有限小数和无限循环小数都能化为分数 B、整数可以看成是分母为1的分数 C、有理数都可以化为分数
a
a
a
如果设它的边长为
a
a ，那么 a 2 2 ． a是有理数吗？
因为 12 1, 22 4 ，所以
a 是大于1而小于2的数．
3 3 3 9 因为 2 ，所以 a 不是 2 ． 2 2 4
4 4 16 2 ，所以 因为 3 3 9 5 5 25 因为 2 ，所以 3 3 9
2 ,0.1,2.333 … 15
…
5,80
负整数集合
…
…
1 13 , ,5.32 … 9 8
有理数集合
正分数集合
负分数集合
我能解决！
2、判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”。
正整数 整数 分数 正数 负数 有理数
2003
4 3
√
√
苏科版七年级第一学期数学 有理数 有理数与无理数 教学课件
（整数可以表示成分母为1的分数）.当把无理数与有理数都写成小数形式时，
无理数是无限不循环小数，如π=3.14159265…，不能写成分数.(笔记)
示例3
下列说法∶①有理数就是有限小数;②无限小数是无理数;③无限不循
环小数是无理数;④ 是分数. 其中正确的有（ Ａ
22 ， 0.030030003 …(相邻两个3之间依次多一个0）。
非负整数集合：{
0 ，1
分数集合：{－， － 1.ሶ ሶ ，－3.2
无理数集合：{
…}；
பைடு நூலகம்…}；
1－π ， 0.030030003 …
… }．
随堂巩固
3、把下列各数分别填入相应的集合中：－(－230)， ，0，－0.99，1.31， ，
如面积为3的正方形的边长表
示的数、体积为5的正方体的
棱长表示的数等
拓展
⑴无理数与有理数的和、差 一定是 无理数。
⑵无理数与非0的有理数的积、商一定是无理数.
三、无理数的概念（难点）
示例2
在下列各数中，无理数的个数是（ C ）
0.51515354…、0、. ሶ 、3π、 、6.1010010001…、
句除外）
①零既不是正数也不是负数；
②零小于正数，大于负数；
③零不能做分母；
④零是最小的非负数；
⑤零的相反数是零;
⑥任何不为零的数的零次幂为1；
⑦零乘以任何数都是零等．
一、课堂作业：
1、课本第14页，2.2习题第1题；第60页，复习题第1题。（预计用时10分钟）
有理数和无理数课件
详细描述
有理数可以分为整数和分数两类。整数包括正整数、0和负整数。分数则可以分为有限 小数和无限循环小数，有限小数可以表示为两个整数的比值，而无限循环小数则是在小
数部分重复出现某一段数字。例如，1/3是一个无限循环小数，表示为0.333...。
无理数的分类
代数无理数
自然无理数
无法通过有理数的四则运算得到的无 理数。
与自然现象有关的无限不循环小数， 如光速c。
超越无理数
无法通过根号下的有理数得到的无理 数，如圆周率π。
03 有理数与无理数的区别与联系
有理数与无理数的定义区别
有理数
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
02 无理数简介
无理数的定义
01
无理数是指无法表示为两个整数 之比的实数，即无限不循环小数 。
02
无理数不能表示为分数形式，也 不能表示为两个整数的比值。
无理数的性质
无理数是无限不循环 的小数，无法用有限 数字精确表示。
无理数的平方根、立 方根等仍然是无理数 。
无理数的小数部分既 没有终止也没有循环 ，无法找到规律。
几何图形中的长度和面积
在几何图形中，有理数和无理数共同用于表示长度、面积等量值， 如圆的周长、面积等。
极限和连续性的理解
有理数和无理数在理解极限和连续性等概念时起到关键作用，如用 极限定义函数、导数等概念。
05 习题与解答
习题一：有理数的判断题
01
02
03
04
判断题1
所有的整数都是有理数。
答案
正确。整数可以表示为两个整 数的比值，所以是有理数。
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5 , , 1.69, 3.14, 3 29 7, 5 7
0 , 25, 0.3737737773 , 3 8, 3.14159,
无理数集合： 有理数集合： 分数集合： 自然数集合：
… … …
三、在数轴上表示各数和它们的相反数，把这 些数按从小到大的顺序排列，并用”<“号连接：
(C) 81 的算术平方根是 9 2 (D)如果 x a ,则 a 是正数或0。 4．若 7.16 2.759， a 27.59 ，则 （ (A) 716 (B) 76.1 (C) 7610 ）
(D) 0.761
二、将下列各数分别填入下列的集合括号中
3
9, 5. 2 3,
4 , 9
里 面 是负数 是负数 是正数 的 等于它 等于本 数 的相反数 身 的 2 3 2 3 3 2 2 3 2 符 2 2 3 号 原式 2 2 3 2 3 （ 3 2）
2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3
区别
算术平方根 表示方法 平方根 立方根
3
a
0
≠
0
a的取值 a ≥
性 质 开 方 是本身
正数 0 负数
a≥
0
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
Байду номын сангаас
没有
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0,1 0 0,1,-1
知识点提要
1 实数与数轴上的点是一一对应的 解释: ①数轴上任何一点都可以用实数来表示
②任何实数都可以表示在数轴上 2 在数轴上表示的两个实数,右边的数比左边的 数大
3 数从有理数扩充到实数以后,有理数中的相 反数和绝对值同样适用与实数
4 数从有理数扩展到实数后,有理数的运算 律和运算法则在实数范围内同样使用
4 2 3
32 2 2 3 2 3
1.如果 x 2，则x
2
, -4x
3
2
2.若
7 a (b 27 ) c 9 0, 则a b c
3
1 3. 2006 a a 2006 a
4.已知10 3 x y，其中x是整数，且0 y 1, 求x y的相反数.
2
, 1.5 6, 3.14, 2, 5
3.14 5 1.56 2 2 1.56 5 3.14 2 2
想一想 一个圆柱的体积是10cm3,且底面 圆的直径与高相等,求这个圆柱的底 面半径（结果保留3个有效数字）。
化 简 绝 对 值 要 看 它
4, 9, 121 等是有理数；
但
②圆周率 及一些含有 的数都是无理数。
3.1415926
, 3 ,
2
, 2 1
③有一定规律，但不循环的无限小数都是无理数。
－95.6868868886… （两个6之间依次多一个8） 0.12345678910111213 …（小数部分有相继的正整数组成）
5 实数的运算的顺序是先算乘方和开方,再 算乘除,最后算加减.如果遇到括号,则先 进行括号里的运算
一、1.①求下列各数的平方根
( 7) ,
2
81,
0.0001,
4 ,
2
1 4 9
②求下列各数的立方根
3
512 , -0.125,
③求下列各式的值
49,
216 27
8 15 , - 0.027,
2 2 3
3 64
不 要 搞 错 了
8是 64
的平方根
64的平方根是 ±8
64的值是 8
64的平方根是
8
4
64的立方根是
2．若 x 0.7
2
2
，则 （ (C) 0.7
）． (D) 0.49
(A) －0.7
(B) ±0.7
3.下列说法中正确的是（
）．
2
(A)﹣3的平方根是 9
(B) 10 没有平方根
整数 有理数
分数 实数 正无理数 无理数（无限不循环小数）
正有理数 或有理数 零 负有理数
负无理数
正有理数 正实数 实 数 0 负有理数 负实数 负无理数
正无理数
无理数广泛存在着，无理数一般有三种情况： ①如
2, 3, 5, 7 等的数是无理数。