固体物理答案

第六章

自由电子论和电子的输运性质

习题

1. 一金属体积为V ，电子总数为N

，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为

.320

V U P

=

其中 .5

30

0F NE U =

（2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350V

U P K ==

90

V

2.二维电子气的能态密度

(),2

πm E N =

证明费米能

],1ln[2-=T

mk n B F B e

T k E π

其中n 为单位面积的电子数.

【解 答】

由已知条件可得单位面积金属的电子总数

()()().1

020

⎰⎰

∞-∞

+==T k E E B F e dE

m dE E f E N n π

作变量变换

,T

k E E x B F

-=

则有

⎰

⎰

∞

---∞

-+=

+=

T k E x x B T k E x B B F

B F

e dx

e T

mk e dx T

mk n 1

12

2

ππ

()

(

),

1ln 1ln 22T

k E B T

k E x B B F B F e T

mk e T

mk +=

+-

=∞

--ππ

⎭

⎝ ()

.3212⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆+≈-V V V A

费米能的变化量 .32⎪⎭

⎫

⎝⎛∆-=-'=∆V V E E E E F F F F

与已知条件比较可得

.3

21

F E E =

解法二：

由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().2321322E m V E N ⎪⎭

⎫

⎝⎛= π

电子总数

().232

32

3220

F E E m V dE E N N F

⎪⎭

⎫ ⎝⎛==⎰

π

金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即 232

322E m V F

⎫

⎛'π，电

所以

().3232212121P P K

E K P K P E E E

F F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=

- 两金属的接触电势差

()()().

33322

1

3

222

2121P P n meK

P P eK E V V V F -•=-=-=∆π

将

,10110.931kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯=

,10055.134s J •⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯= ,10251

m N P = 2521030m N P ⨯=

代入两金属的接触电势差式子，得

().1058.95伏-⨯-=∆V

5.若磁场强度B

沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P ,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，

求金属的霍尔系数.

【解 答】

电子受的合力

()().B v mv B v P dt P d F ⨯+--=⨯+--==ετ

ετ （1）

由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成

().B v m

e v

⨯+-=ετ （2） 因为电流的方向沿x 轴，平衡后，电子沿z 轴方向和y 轴的速度分量为0.因此，由（2）式得

,x x

m

e v ετ

-

= （3） .0x y v m

B e m e τετ+-

= （4） 由以上两式得

.x x y m

B

e Bv ετε=

= （5） 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示.

图6.3 霍尔电场 将电流密度

x x j σε= （6）

和（5）式一并代入霍耳系数 B

j R x y

H ε=

（7）

得到

στ

m e R H

-

= （8） 将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m m =*

得

.1ne

R H -= 6. 试证金属的热导率 ()

2

102

223F

B mE

T

k nl k

π=

其中l

是费密面上电子的平均自由程. 【解 答】

由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间

τ

满足以下关系

()

().cos 1,1

∑'

-'Θ=k k k θτ