数学2020年春季人教版教案 7年级-4 非负数的性质及应用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
又∵｜x｜=,∴x=或-.∵y是3的平方根，∴y=或-.
又-＜,-＜-，∴x=,y=或-.
当x=,y=时，x+y=+；当x=,y=-时，x+y=-，
故x+y的值为+或-.
5. 解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝＝1-＝.
练习册答案：
1. B
2. A
3. B
4. 1
5. 1
师：这个式子满足非负数的性质吗？思考一下，然后和同桌讨论一下.
2.教师指定学生汇报讲解，其他学生指正并补充.
生：由算术平方根的被开方数大于等于0可知1-y≥0，所以(1-y)≥0，这样就可以根据非负数的性质求解了……
答案：
解：∵-(y-1)=0,
∴+(1-y)=0.
∵1-y≥0，∴(1-y)≥0.
根据非负数的性质得x+1=0，1-y=0，
播放导入.
师：怎么样？大家来尝试一下？
生：……
师：合理的运用数学知识，可以有效的帮助我们减少损失，今天我们来学习非负数的性质的应用.
回顾
非负数：
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0).
常见非负数：｜a｜,a²,(a≥0).
性质：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
二、合作探究
（一）探究类型之一 算术平方根的被开方数的非负性
生2：我们没有求x和y而是用第二个式子乘2减去第一个式子，这样就得到了关于x+y和m的关系，然后把x+y=199整体代入求出m的值.
答案：
解:∵x-199+y≥0,且199-x-y≥0,即x-199+y≤0,
∴x-199+y=0,∴x+y=199,
∴+=0,
∴
②×2-①,得x+y+2=m,∴m=201.
A.负数 B.非负数 C.正数 D.非正数
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
答案：A
2.已知，求的平方根及的立方根.
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
答案：
解：由题意可得：，所以b=2，a=-4.
∴=，=
∴的平方根为±2，的立方根为-2.
3.已知，试判断是有理数还是无理数.
6. -
7. 解：依题意有解得
∴（b+a）a=(-1+2)²=1,它的平方根为±1.
8.解：依题意由有意义可知-a2≥0即a2≤0，又∵a2≥0，∴a=0，
∴原式=2-3+1+0=0.
9.解：要使两个算术平方根有意义，得（a-2)(｜a｜-1)≥0且（a-2)(1-｜a｜)≥0，
即（a-2)(｜a｜-1)=0,所以a=2或1或-1.
解得a≥2015.∴2014-a＜0，
∴可化为，
整理得，
两边同时平方，整理可得a-20142=2015.
（二）探究类型之二 非负数的性质
例3 若+(y+3)²=0,则x-y的值为（ ）
A. 1B. -1C. 7D. -7
师：我们看这个算式，一定是什么数？(y+3)²一定是什么数？.
生：非负数.
师：两个非负数相加得0，说明什么？
1.学生读题，教师引导.
师：刚才我们是说算术平方根的被开方数是非负数，那么从题中我们可以得到什么？
生：可以得到a≥2015.
师：如果a≥2015，那么我们能不能把绝对值去掉？去掉绝对值号化简一下，同学们能得到什么？
生：.
师：很好，两边同时再平方呢？
2.学生独立完成，教师巡视.
答案：根据算术平方根被开方数的非负性可得a-2015≥0，
A. 1B. -1C. 2D. -2
学生独立完成解答，教师指定学生讲解.
2. 若（a+）²与｜b-1｜互为相反数，则b-a的值为（ ）.
A.B. +1C. -1D. 1-
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
3. 若-=(x+y)²,则x-y的值为（ ）
A. -1B. 1C. 2D. 3
学生独立完成解答，教师指定学生讲解.
∴a=3.
∴｜b+2｜ +(3-c)²=0，
∴解得∴a-b+c=8.
综上,a-b+c=4或8.
3.学生再次汇报，教师点评.
4.教师小结：
师：非负数有如下性质：（1）有限个非负数之和为非负数；（2）非负数与正数之和为正数；（3）若有限个非负数的和为零，则每个非负数都为0.
三、类似性问题
1. 若x，y为实数，且｜x+2｜+=0,则的值为（ ）
生：有，｜2a-4｜是大于0的，可以直接去掉绝对值.
师：说的好，去掉绝对值后移到等号右边，这个式子是什么？
生：｜b+2｜++(a-c)²=6-2a.
师：等号左边都是非负数，等号右边呢？我们能不能求出a的值？
生：根据非负数的性质可以得到6-2a≥0，这样可以得到a≤3，故a=3.这样就可以转化为，从而求出b和c的值.
四、课堂小结
师：好了，看来同学们掌握的都不错，我们先休息一下，下节课继续学习.
第二课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、课前谈话
师：上节课我们学习了平方根、立方根的知识以及实数的运算，并能够运用实数的运算解决一些简单的问题，这节课我们继续来探究一下实数中还有哪些常见的类型题目.
二、合作探究
（一）探究类型之三 算术平方根的双重非负性
生：说明这两个数都是0.
学生独立完成，教师指定学生讲解.
答案：C
例4 已知a,b,c满足｜2a-4｜+｜b+2｜++(a-c)²=2，求a-b+c的值.
1.学生观察思考，教师引导.
师：观察算式，根据算术平方根被开方数的非负性可以得到什么？
生：由根据算术平方根被开方数的非负性可以得到a≥3.
师：我们可以得到两个条件，这时候需要我们讨论，先看字母a，算式中还有没有含字母a的？我们如何利用a≥3这个条件？
解得x=-1，y=1，
∴x2 015-y2 014=（-1）2 015-12 014=-1-1=-2.
3.完成解答，教师小结
师：算术平方根具有双重非负性，一是被开方数为非负数，二是算术平方根本身为非负数.
（二）探究类型之四 利用整体思想化简求值
例6若m满足关系式
﹒，
求m的值.
1.小组合作探寻题目式子中可发现的条件.
师：有没有和他的想法不太一样的？
生：有，如果b=0的话，我们就不能得到a≥3了，所以我觉得b=0时我们应该单独拿出来讨论.
师：非常好，如果b=0那么（a-3）b2不论a取何值都等于0，因此我们要单独讨论b=0的情况.你接着说说b=0时你是如何讨论的吧！
生：当b=0时，原式就可以化为，然后根据非负数的性质求出a和c的值……
在本讲中，例1、例3比较简单，学生尝试独立完成；例2、例4中等难度，教师适当提示或小组合作完成；例5、例6较难，小组合作或者教师讲解后，学生先汇报思路然后独立完成.
巩固拓展题目学生尝试的独立完成，教师适当引导.
教学目标
知识技能
1.运用非负数的性质求字母或代数式的值.
2.利用算术平方根的非负性求已知代数式的值.
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
师：要判断是有理数还是无理数，需要先求出x和y的值，同学们能不能计算出x和y的值？
答案：由题意可知：，解得：x=4，y=2.
所以==2是有理数.
五、课堂总结
师：这堂课我们主要学习了非负数的性质的应用，相信同学们都收获了不少的知识，也为以后类似问题的解决奠定了一个坚实的基础.
教案
教材版本：春季版. 学 校：.
教 师
某某某
年 级
七年级
授课时间
年 月 日
课 时
2课时
课 题
第4讲—非负数的性质及应用
教材分析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习的. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
例5已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,
求x2 015-y2 014.
1.学生观察思考，教师提问.
师：本题中所给的式子与常见的运用非负数的性质求解的问题所给的式子有何不同？
生：要利用非负数的性质，所给的应该是两个非负数的和，而本题给的是两个数的差的形式.
师：你能将其转化为和的形式吗？
生：可以转化为+(1-y)=0.
4.教师小结
师：本题依据算术平方根的非负性建立关于x、y的方程组，从而可以计算出x+y=199,然后把它当做一个整体，进而求出m的值.
三、类似性问题
（一）类似性问题第4题
4. 已知｜x｜=,y是3的平方根，且｜y-x｜=x-y,求x+y的值.
学生读题，尝试独立完成，教师巡视发现问题，个别指导.
师：由题目中“｜y-x｜=x-y”我们可以得到关于x和y的大小关系是怎样的？
当a=2时，+1=0；当a=1时，1-a=0，即均使分母为0，不符合题意，∴a=-1，
∴x==(-2)习与解题中，锻炼学生的耐心、细心.增强学生运用知识解决问题和独立克服困难的能力.树立学好数学的自信心.
教学重点、难点
教学重点：
利用非负性解决相关的问题.
教学难点：
利用非负性解决相关的问题.
教学准备
动画多媒体语言课件.
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、谈话导入
师：随着社会的发展，越来越多的地方考虑招商引资，以发展自己的经济，这个过程中，学好数学对我们帮助可是很大的啊，我们一起来看.
2.学生独立规范整理答案，教师巡视.
答案：
解：①若b=0,则｜2a-4｜+2+(a-c)²=2,
即｜2a-4｜+(a-c)²=0.
∴解得∴a-b+c=4.
②若b≠0,则（a-3)b²≥0,∴a≥3，
∴2a-4≥0，∴｜2a-4｜=2a-4.
整理得｜b+2｜++(a-c)²=6-2a.
根据非负数的性质可知6-2a≥0，得a≤3，
数学思考
1.通过合作探索理解并掌握与非负性有关的主要题型解题的方法和技巧，培养学生抽象概括与观察类推的能力.
2.以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性.
问题解决
1.利用与实数非负性有关的知识，解决现实实际生活中相关问题.
2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.
生：x≥y.
师：又知道“｜x｜=,y是3的平方根”能不能分别求出x和y的值？
（二）类似性问题第5题
5.若+(ab-2)²=0,
求++…+的值.
学生读题，尝试独立完成，教师巡视发现问题，个别指导.
答案：
解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝
＝1-＝.
四、拓展延伸
1.已知a，b，c都是负数，并且|x-a|+(y3-b)2+|z-c|=0，则xyz是（ ）
总结：1.非负数集合里，有一个最小值，它就是0.
2.如果一个数和它的相反数都为非负数，那么这个数就是0..
3.几个非负数的和或积一定是非负数.
4.若几个非负数的和为0，则每一个非负数也都只能为0.
课后反思：
本讲教材及练习册答案：
类似性问题：
1. B
2. B
3. C
4. 解：由｜y-x｜=x-y,知x≥y.
生：根据算术平方根的非负性可以得到x-199+y≥0,199-x-y≥0，这样我们就可以得到x-199+y=0了.
师：不错，这样原来的关系式我们可以转化为怎样的了？
生：转化为=0.
2.学生尝试解答.
3.教师指定小组代表汇报讲解，其他小组指正并补充.
生1：根据非负数的性质我们可以得到用含m的代数式表示出x，y然后代入x-199+y=0求出m的值……
例1：已知y=+-3，求的值.
师：被开方数是什么数？
生：非负数.
师：从题目中我们可得到什么关系呢？
生：（教师适时出示解析，点评）
师：同学们能不能计算出x的值和y的值？
学生尝试独立完成，教师指定学生讲解.
答案：
解：根据算术平方根被开方数的非负性可知
解得x=2，∴y=-3.
∴=(-3)²=9.
例2 已知，求a-20142的值.
又-＜,-＜-，∴x=,y=或-.
当x=,y=时，x+y=+；当x=,y=-时，x+y=-，
故x+y的值为+或-.
5. 解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝＝1-＝.
练习册答案：
1. B
2. A
3. B
4. 1
5. 1
师：这个式子满足非负数的性质吗？思考一下，然后和同桌讨论一下.
2.教师指定学生汇报讲解，其他学生指正并补充.
生：由算术平方根的被开方数大于等于0可知1-y≥0，所以(1-y)≥0，这样就可以根据非负数的性质求解了……
答案：
解：∵-(y-1)=0,
∴+(1-y)=0.
∵1-y≥0，∴(1-y)≥0.
根据非负数的性质得x+1=0，1-y=0，
播放导入.
师：怎么样？大家来尝试一下？
生：……
师：合理的运用数学知识，可以有效的帮助我们减少损失，今天我们来学习非负数的性质的应用.
回顾
非负数：
定义：正数和零叫做非负数（记为a≥0).
常见非负数：｜a｜,a²,(a≥0).
性质：若几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
二、合作探究
（一）探究类型之一 算术平方根的被开方数的非负性
生2：我们没有求x和y而是用第二个式子乘2减去第一个式子，这样就得到了关于x+y和m的关系，然后把x+y=199整体代入求出m的值.
答案：
解:∵x-199+y≥0,且199-x-y≥0,即x-199+y≤0,
∴x-199+y=0,∴x+y=199,
∴+=0,
∴
②×2-①,得x+y+2=m,∴m=201.
A.负数 B.非负数 C.正数 D.非正数
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
答案：A
2.已知，求的平方根及的立方根.
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
答案：
解：由题意可得：，所以b=2，a=-4.
∴=，=
∴的平方根为±2，的立方根为-2.
3.已知，试判断是有理数还是无理数.
6. -
7. 解：依题意有解得
∴（b+a）a=(-1+2)²=1,它的平方根为±1.
8.解：依题意由有意义可知-a2≥0即a2≤0，又∵a2≥0，∴a=0，
∴原式=2-3+1+0=0.
9.解：要使两个算术平方根有意义，得（a-2)(｜a｜-1)≥0且（a-2)(1-｜a｜)≥0，
即（a-2)(｜a｜-1)=0,所以a=2或1或-1.
解得a≥2015.∴2014-a＜0，
∴可化为，
整理得，
两边同时平方，整理可得a-20142=2015.
（二）探究类型之二 非负数的性质
例3 若+(y+3)²=0,则x-y的值为（ ）
A. 1B. -1C. 7D. -7
师：我们看这个算式，一定是什么数？(y+3)²一定是什么数？.
生：非负数.
师：两个非负数相加得0，说明什么？
1.学生读题，教师引导.
师：刚才我们是说算术平方根的被开方数是非负数，那么从题中我们可以得到什么？
生：可以得到a≥2015.
师：如果a≥2015，那么我们能不能把绝对值去掉？去掉绝对值号化简一下，同学们能得到什么？
生：.
师：很好，两边同时再平方呢？
2.学生独立完成，教师巡视.
答案：根据算术平方根被开方数的非负性可得a-2015≥0，
A. 1B. -1C. 2D. -2
学生独立完成解答，教师指定学生讲解.
2. 若（a+）²与｜b-1｜互为相反数，则b-a的值为（ ）.
A.B. +1C. -1D. 1-
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
3. 若-=(x+y)²,则x-y的值为（ ）
A. -1B. 1C. 2D. 3
学生独立完成解答，教师指定学生讲解.
∴a=3.
∴｜b+2｜ +(3-c)²=0，
∴解得∴a-b+c=8.
综上,a-b+c=4或8.
3.学生再次汇报，教师点评.
4.教师小结：
师：非负数有如下性质：（1）有限个非负数之和为非负数；（2）非负数与正数之和为正数；（3）若有限个非负数的和为零，则每个非负数都为0.
三、类似性问题
1. 若x，y为实数，且｜x+2｜+=0,则的值为（ ）
生：有，｜2a-4｜是大于0的，可以直接去掉绝对值.
师：说的好，去掉绝对值后移到等号右边，这个式子是什么？
生：｜b+2｜++(a-c)²=6-2a.
师：等号左边都是非负数，等号右边呢？我们能不能求出a的值？
生：根据非负数的性质可以得到6-2a≥0，这样可以得到a≤3，故a=3.这样就可以转化为，从而求出b和c的值.
四、课堂小结
师：好了，看来同学们掌握的都不错，我们先休息一下，下节课继续学习.
第二课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、课前谈话
师：上节课我们学习了平方根、立方根的知识以及实数的运算，并能够运用实数的运算解决一些简单的问题，这节课我们继续来探究一下实数中还有哪些常见的类型题目.
二、合作探究
（一）探究类型之三 算术平方根的双重非负性
生：说明这两个数都是0.
学生独立完成，教师指定学生讲解.
答案：C
例4 已知a,b,c满足｜2a-4｜+｜b+2｜++(a-c)²=2，求a-b+c的值.
1.学生观察思考，教师引导.
师：观察算式，根据算术平方根被开方数的非负性可以得到什么？
生：由根据算术平方根被开方数的非负性可以得到a≥3.
师：我们可以得到两个条件，这时候需要我们讨论，先看字母a，算式中还有没有含字母a的？我们如何利用a≥3这个条件？
解得x=-1，y=1，
∴x2 015-y2 014=（-1）2 015-12 014=-1-1=-2.
3.完成解答，教师小结
师：算术平方根具有双重非负性，一是被开方数为非负数，二是算术平方根本身为非负数.
（二）探究类型之四 利用整体思想化简求值
例6若m满足关系式
﹒，
求m的值.
1.小组合作探寻题目式子中可发现的条件.
师：有没有和他的想法不太一样的？
生：有，如果b=0的话，我们就不能得到a≥3了，所以我觉得b=0时我们应该单独拿出来讨论.
师：非常好，如果b=0那么（a-3）b2不论a取何值都等于0，因此我们要单独讨论b=0的情况.你接着说说b=0时你是如何讨论的吧！
生：当b=0时，原式就可以化为，然后根据非负数的性质求出a和c的值……
在本讲中，例1、例3比较简单，学生尝试独立完成；例2、例4中等难度，教师适当提示或小组合作完成；例5、例6较难，小组合作或者教师讲解后，学生先汇报思路然后独立完成.
巩固拓展题目学生尝试的独立完成，教师适当引导.
教学目标
知识技能
1.运用非负数的性质求字母或代数式的值.
2.利用算术平方根的非负性求已知代数式的值.
学生独立完成，然后老师找学生说说自己的解题思路.
师：要判断是有理数还是无理数，需要先求出x和y的值，同学们能不能计算出x和y的值？
答案：由题意可知：，解得：x=4，y=2.
所以==2是有理数.
五、课堂总结
师：这堂课我们主要学习了非负数的性质的应用，相信同学们都收获了不少的知识，也为以后类似问题的解决奠定了一个坚实的基础.
教案
教材版本：春季版. 学 校：.
教 师
某某某
年 级
七年级
授课时间
年 月 日
课 时
2课时
课 题
第4讲—非负数的性质及应用
教材分析
本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习的. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.
例5已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,
求x2 015-y2 014.
1.学生观察思考，教师提问.
师：本题中所给的式子与常见的运用非负数的性质求解的问题所给的式子有何不同？
生：要利用非负数的性质，所给的应该是两个非负数的和，而本题给的是两个数的差的形式.
师：你能将其转化为和的形式吗？
生：可以转化为+(1-y)=0.
4.教师小结
师：本题依据算术平方根的非负性建立关于x、y的方程组，从而可以计算出x+y=199,然后把它当做一个整体，进而求出m的值.
三、类似性问题
（一）类似性问题第4题
4. 已知｜x｜=,y是3的平方根，且｜y-x｜=x-y,求x+y的值.
学生读题，尝试独立完成，教师巡视发现问题，个别指导.
师：由题目中“｜y-x｜=x-y”我们可以得到关于x和y的大小关系是怎样的？
当a=2时，+1=0；当a=1时，1-a=0，即均使分母为0，不符合题意，∴a=-1，
∴x==(-2)习与解题中，锻炼学生的耐心、细心.增强学生运用知识解决问题和独立克服困难的能力.树立学好数学的自信心.
教学重点、难点
教学重点：
利用非负性解决相关的问题.
教学难点：
利用非负性解决相关的问题.
教学准备
动画多媒体语言课件.
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
一、谈话导入
师：随着社会的发展，越来越多的地方考虑招商引资，以发展自己的经济，这个过程中，学好数学对我们帮助可是很大的啊，我们一起来看.
2.学生独立规范整理答案，教师巡视.
答案：
解：①若b=0,则｜2a-4｜+2+(a-c)²=2,
即｜2a-4｜+(a-c)²=0.
∴解得∴a-b+c=4.
②若b≠0,则（a-3)b²≥0,∴a≥3，
∴2a-4≥0，∴｜2a-4｜=2a-4.
整理得｜b+2｜++(a-c)²=6-2a.
根据非负数的性质可知6-2a≥0，得a≤3，
数学思考
1.通过合作探索理解并掌握与非负性有关的主要题型解题的方法和技巧，培养学生抽象概括与观察类推的能力.
2.以学生为课堂的主体，让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性.
问题解决
1.利用与实数非负性有关的知识，解决现实实际生活中相关问题.
2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探索的结果.
生：x≥y.
师：又知道“｜x｜=,y是3的平方根”能不能分别求出x和y的值？
（二）类似性问题第5题
5.若+(ab-2)²=0,
求++…+的值.
学生读题，尝试独立完成，教师巡视发现问题，个别指导.
答案：
解：由条件，得a-1=0,ab-2=0，∴a=1,b=2，
∴原式＝
＝1-＝.
四、拓展延伸
1.已知a，b，c都是负数，并且|x-a|+(y3-b)2+|z-c|=0，则xyz是（ ）
总结：1.非负数集合里，有一个最小值，它就是0.
2.如果一个数和它的相反数都为非负数，那么这个数就是0..
3.几个非负数的和或积一定是非负数.
4.若几个非负数的和为0，则每一个非负数也都只能为0.
课后反思：
本讲教材及练习册答案：
类似性问题：
1. B
2. B
3. C
4. 解：由｜y-x｜=x-y,知x≥y.
生：根据算术平方根的非负性可以得到x-199+y≥0,199-x-y≥0，这样我们就可以得到x-199+y=0了.
师：不错，这样原来的关系式我们可以转化为怎样的了？
生：转化为=0.
2.学生尝试解答.
3.教师指定小组代表汇报讲解，其他小组指正并补充.
生1：根据非负数的性质我们可以得到用含m的代数式表示出x，y然后代入x-199+y=0求出m的值……
例1：已知y=+-3，求的值.
师：被开方数是什么数？
生：非负数.
师：从题目中我们可得到什么关系呢？
生：（教师适时出示解析，点评）
师：同学们能不能计算出x的值和y的值？
学生尝试独立完成，教师指定学生讲解.
答案：
解：根据算术平方根被开方数的非负性可知
解得x=2，∴y=-3.
∴=(-3)²=9.
例2 已知，求a-20142的值.