§2.8 差分方程的求解

2
y zi n C 1 2
r1 2,
n
北
大 C 电2 1 邮 京

学
子 电 r2
n
工
1
程
X
第
求初始状态（0-状态）
16 页
题目中 y 0 y 1 0 ,是激励加上以后的,不能说明状态 院 学 。 为0,需迭代求出 y 1, y 程2
§2.8 差分方程的求解
北 京 电 邮 大 学 电 子 工 程 学 院
学
电
子
工
程
学
院
北
京
邮
电
大
北京邮电大学电子工程学院
第
2 页
主要内容
学 1.迭代法 程 工 子 2.齐次解+特解（自由响应 +强迫响应） 电 学 大 +零状态响应 3.零输入响应 电 邮 京 （利用卷积求系统的零状态响应） 北 院 学 4. z变换法反变换y(n)（第六章） 程
院
重点：差分方程解的形式
电 北
大
学
电
子
工
邮 难点：差分方程的全解中求待定系数 京
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法。 院 学 差分方程本身是一种递推关系。 程 工 子 电 但一般得不到输出序列 y n 的解析式。
北 京 电 邮 大 学
3 页
北
京
邮
电
大
学
电
子
工
程
学
院
X
第
例2-8-1
已知y n 3 yn 1 un，且y 1 0, 求解方程。
大
学
电
X
三．零输入响应+零状态响应
1）齐次解+特解 院 学 0 2 由y 1 0, y 程
工 学
第
19 页
迭代出y 0 , y 1
子 由初始条件定齐次解的待定系数。 电
2）卷积法 邮电大 京 x n h n : 冲激响应 北 : 激励，
yzs n x n * h n
院
2 学 r 特征方程 电大 5r 6 0 r 2r 3 0 特征根 京邮 r1 2, r2 3 北 n n y n C1 2 C 2 3 齐次解 院 学 n 0 y 0 C1 C 2 2 工程 定 C1 , C 2 子 电 n 1 y 1 2C1 3C学 2 1 大 解出 C1 5, C 2 3 邮电 n 京 n 所以y n 52北 33
3
学 2 大
电
子
工
程
3
院 学 n
学 C1 , C 2 , C 3 给定初始(边界)条件即可求出常数 大 北 京 邮 电
电
子
X
第
例2-8-4
j r2 Me j 设 r1 Me n n 院 y n C 1 r1 C 2 r2 学
10 页
C 1 Me Me n 大学 cos n j sin n C 2 M n cos n j sin n C1 M 电 邮 n n P C1 C2 京 PM cos n QM sin n 北 Q j (C 院 1 C2 ) P,Q为待定系数 学 程 M 1 y n 为等幅正弦序列 子工 子 C2 电
n
x n A
x n r
n
n y n C r 北
京
邮
电
大
学
电
x n r （r与特征根重）
y n C1nr C 2 r
n
n
X
第
例2-8-5
y n 2 y n 1 5un 院 求全解。 学 且 y 1 1 工程

工
程
学
院
X
二．齐次解+特解
1.齐次解：齐次方程的解
起始状态y 1学 , y 2, y N 不能全为零
电 京 由特征方程 r a 0, 可得r a 北 指数形式 程学院 电 邮 大 程 n 1 0 yn 工 ay 学 子 院
第
5 页
y n Cr Ca
工 程 学
院
子 需要先求h n , 即单位样值响应（或通称冲激响应）， 电
再做卷积和求零状态响应。 电大 邮 京 原理：利用单位样值信号表示任意序列，每个单位 北 样值信号响应求和即为序列的响应。
X
学
an 工 y n A e 子
程
学
院
x n sin n
x n n
k
yn A sin( n ) y n C
yn A cos( n )
工 程 学 院
y n Ak n k Ak 1n k 1 子 A1n A0
12 页
齐次解
京
北 x n 5un n 0 时全为 5（常数） 特解 因为 院 学 程 所以yp n C 工 0电 )子 代入原方程求特解 C 2C 5 ( n 学 5 电大 所以C 邮 京 全解形式 北3 5 n y n y h n y p n C 1 2 3
0
工
0 3 y 1 2 y 2 1 学 5 电大 所以y 2 京邮 北4
电
子
X
第
由初始状态（0-状态）定C1，C2
以y 1, y 2代入方程 院 学 1 1 1 程 yzi 1 工 C1 2 C 2 1 2 子 电 学 5 2 2 y 电大 C 2 1 zi 2 C 1 2 邮 4 京 北 解得 院 学 C 1 3 程 工 子 C 2 2 电 学 n n 大 所以y zi n 3 2 电 2 1
n 1 y 1 3 y 0 电 2子 y 1 2u1 2 u0 学 大 0 电 0 2 y 1 2 1 1 邮 1 京 北 所以y 1 院 2 0 学 1 程 n 0 y0 3 y 1 2 y 2 2 u0 工 2 u 1
学 电 子
学
院
n阶方程
n n
2.有重根
北 k 重根：y
京
电 邮
大
n Ci n r
i－1 i 1
k
n
3.有共轭复数根
北 京 邮 电
大
学
电
子
工
程
学
院
X
第
例2-8-2
学 已知y 0 2, y1 1。 程 电 子 工
8 页
求解二阶差分方程 y n 5 y n 1 6 y n 2 0
6 页
求差分方程齐次解的步骤
由起始状态定常数
北 京 邮 电
学 y(n)的解析式 差分方程特征方程特征根 大
电
子
工
程
学
院wenku.baidu.com
X
第
根据特征根，解的三种情况
1.无重根
yn C1 r1 C 2 r2 C n rn 程 工
n
7 页
r1 r2 rn
京 零输入响应与输入无关 北 邮
17 页
X
第
注意
在求零输入响应时，要排除输入的影响 —— 院 学 程 找出输入加上以前的初始状态。 工
电 子
18 页
学 x n 0代入方程, 可以求出初始值 由初始状态再以 大
y 0
电 邮 0, y京 1 北

0。
子 工 程 学 院
北
京
邮
电
4 页
n 0 3 y 1 1 1 电 y 1 3 y 0 1 4 n 1 学 大 电 邮 n 2 y 2 3 y 1 1 13 京 北 n 3 y 3 3 y 2 1 40
学 程 y工0 子
院
由递推关系,可得输出值： 子 电 学 大 电 邮 y n 1, 4, 13 , 40, 京 北 n 0
X
第
例2-8-3
学 院
9 页
求方程yn 6 y n 1 12 yn 2 8 y n 3 0的解。
特征方程
y n C1 2 C 2 n 2 C 3 n工 2 程
n n 2
r 6 r 2 0 电r 12 r 8 0 邮 京 所以r 2 三重根 北
5 3 C1 3 院 4 学 程 所以C1 工 3 子 电 4 5 n 所以 y n 2 大学 n 0 电 3 3 邮
北 京
X
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次。
学 齐次解：C r 程 工 子 C由初始状态定（相当于 0-的条件） 电
n
n
北
京
邮
电
大
学
电
子
工
X
第
求待定系数 C：由初始状态决定
2 设y 1 , 代入原方程，令n 0 院 a 学 程 ay 1 2 y0工 子 由方程解 y n 电 学0 y 0 电 大 Ca C 所以C 2 邮 齐次解 京 北 y n 2a n
X
电 邮
大
子 电 r2 学
yh n C1 2
0
r 2
n
第
由边界条件定系数
由y 1 1迭代出 n0
代入 解
子 y n C1 电2 学 大 电 邮 y 0 京 北 程 院 y学 (0 ) 5 2 y( 1) 3
13 页


工 n
5 ，得 3

j n

工

程
j n

M 1 M 1
yn 为增幅正弦序列 大 电 邮 为减幅正弦序列 京 yn 北
学 电
X
第
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式。
输入 输出
j n
11 页
x n e an
电 邮 x n cos 京 n 北
x n e
电 jn 学 y n A e 大
n
15 页
LTIS 的差分方程 y n 3 y n 1 2 yn 2 x n x n 1
院
零输入响应京 yzi n,即当x n 0时的解。
北
电 邮
大
学
yn 3 yn 1 2 yn 2 0学院
r 3r 2 0
n
第
14 页
院
大 电 2.零状态响应：初始状态为 0，即 邮 京 北
学
y 1 y 2 0
经典法：齐次解+特解 求解方法 卷积法
北 京 邮 电 大 学 电
子
工
程
学
院
X
第
例2-8-6
学 已知x n 2 un 程y 0 y 1 0 工 子 求系统的零输入响应。 电