第3章 线性规划的灵敏度分析与最优解的解释

3.2 图解法灵敏度分析
因此，只要标准袋的利润在 6.3美元与13.5美元之间， 540个标准袋和252个高级袋总是最优产量。值得注意的是， 即使产量不变，总的利润也可能由于每一个标准袋利润的 变化而变化。这些计算可以重复进行，假设标准袋的利润 为常数 CS=10 ，如此一来，高级袋的利润的最优范围就能 够确认，这个范围是6.67≤CD≤14.29。
3.2 图解法灵敏度分析
3.2.2 约束条件右端值的变化 现在让我们来考虑约束条 件右端值的变化对可行域带 来的影响，及其可能对最优 解带来的变化。为了阐明敏 感度分析的这方面内容，我 们假设Par公司的切割与印染 部门增加了10个小时的生产 时间，然后来考虑将会有什 么发生。切割与印染约束条 件的右端值由630变为640， 约束条件可写作 7/10S+D≤640
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3.1 计算机输出的解释——第一个例子 回忆 Par 公司的例子，其中有 4 个小于或等于约束条件 的，都是关于各个生产部门的生产时间。在松弛 / 剩余变量 一栏中，可以看到每个部门的松弛变量值。信息归总如下：
从上述数据中，我们可以看到束缚性约束条件（切割 与印染和成型）在目标函数的最优下，松弛为0。缝合部门 有120小时的松弛或未使用的缝合能力，检查与包装部门有 18小时的松弛。
本章主要内容

3.1 灵敏度分析简介 3.2 图解法灵敏度分析


3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.4 多于两个决策变量的情况

3.5 电子通信公司问题
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。
在真实世界里，周围的环境，条件是在不断变化 的。原材料的成本在变，产品的需求在变，公司购 买新设备、股票价格的波动，员工流动等等这些都 在不断发生。如果我们要用线性规划模型去解决实 际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。 这些系数的变化会对模型的最优解产生什么样的 影响呢？运用灵敏度分析，我们只需要改变相应的 系数就可以得到答案，而不需要建立新的模型。
3/2。所以目标函数斜率上限一定是-3/2。最后当目标函数
垂直于坐标轴时，其斜率接近负无穷大，在这种情况下， 目标函数的斜率没有下限，只有上限-3/2。-CS/CD≤-3/2
3.2 图解法灵敏度分析
按照前面假定的 CD 的值， 仍为常数9，我们得到 -CS/9≤-3/2或者 CS/9≥3/2 解出CS，得 CS≥27/2=13.5 我们注意到，只要 CS 的值大于等于 13.5 ， 极点 2 仍然是最优解点， 因此我们得到以极点 2 为最优解的 CS 的范围， 如下 13.5≤CS＜∞
化量称为对偶价格。在这个例子里，切割与印染约束条件 的对偶价格为 4.375 美元。约束条件增加或减少一小时， 目标函数值会相应增加或减少4.375美元。
3.2 图解法灵敏度分析
在这里，我们要注意的是，对偶价格可能只适用于
在右端值仅发生了很小的变动时的情况。随着所获得的资
源越来越多，从而右端值越来越大，其他的约束条件也可 能会约束和限制目标函数值的变化。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3 灵敏度分析：计算机求解
这里，约束条件1（切割与印染）和约束条件3（成型） 的非零对偶价格分别为 4.37496 和 6.93753 。这告诉我们， 每额外增加1小时的切割与印染时间会使最优解增加 4.37美 元，每增加1小时成型时间会使最优解增加6.94美元。 看上图结果，我们看到管理科学家软件除了提供松弛 / 剩余变量和对偶价格的约束信息之外，还给出了目标函数系 数和约束条件右端值的变化范围。 变量S的最优化范围是： 6.3≤CS≤13.5 变量D的最优化范围是： 6.67≤CD≤14.29 这个最优化范围与图解法得出的结论是一致的。
3.2 图解法灵敏度分析
多系数同时改变 目标函数系数的最优范围只能够应 用于一次只有一个系数发生改变的情况，其他系数都假定 保持初值而不发生改变。如果两个或两个以上目标函数的 系数被同时改变，就有必要进一步判断最优解会不会也发 生变化。对于解决只有两个变量的问题时，简单的计算出 在新的系数值下目标函数的斜率（ -CS/CD ），如果这个比 值大于等于目标函数斜率的下限，同时小于等于目标函数 斜率的上限，那么系数值的变化不会使最优解发生变化。
3.1 灵敏度分析简介
回忆Par公司的问题：
我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产540个，高级袋生产252个， 这个最优解的前提是每个标准袋的利润是10美元，每个高级袋的利润是9 美元。
3.1 灵敏度分析简介
假设，我们得知由于价格的下降，标准袋的利润由 10 美元下降到8.5美元。这时我们可以用灵敏度分析来确定标 准袋生产 540 个，高级袋生产 252 个是否还是最优解。如果 还是，则不必建立新的模型求解了。 灵敏度分析还可以用来分析模型中的系数哪个更能左 右最优解。 比如，管理层认为高级袋的利润 9美元只是一个估计量， 如果通过灵敏度分析得到高级袋的利润在 6.67和14.29美元 之间变化时，模型的最优解都是 540 个标准袋和 252 个高级 袋，那么管理层就对9美元这个估计量和模型所得出的最优 产量比较满意。但是，如果灵敏度分析告诉我们只有当高 级袋的利润在 8.9 和 9.25 美元之间，模型的最优解才是 540 个标准袋和 252 个高级袋，那么管理层就必须思考 9 美元这 个估计量的可信程度有多大了。
3.2 图解法灵敏度分析
观察最优范围，我们得出结论，无论是CS升高到13美 元还是使 CD 降低到 8 美元（但不是同时改变），都不会带
来最优解的变化。但当CS与CD同时改变时，目标函数斜率
的变化导致了最优解的变化。这个结论强调了这样一个事 实：仅仅是通过最优范围，只能用于判断在一次改变一个 目标函数系数的情况下最优解的变化。
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析的另一个用途是分析约束条件的右端值
变化对最优解的影响。还是以 Par公司为例，在最优产量 的情况下，切割与印染部门和成型部门的工作时间已经完
全被占用了。如果现在公司增加了这两个部门的生产能力，
那么最优解以及总利润的值会发生什么样的变化呢？灵敏 度分析可以帮助确定每一个工时的边际价值，以及在利润 下降之前部门工时的最大增加量。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
计算机输出结果的最后一部分右端值范围给出了对偶价 格适用范围的限制条件。只要约束条件右端值处于系统所给 出的下限和上限之间，对偶价格就会给出当右端值增加 1时， 最优解的增加量。 右端值范围给出了一个对偶价格的适用范围。如果右端 值的变化超出了这个范围，就需要重解原问题并找出新的对 偶价格。我们把这个对偶价格适用的范围称作可行域。Par公 司问题的可行域汇总如下。
时变化时，目标函数将怎样变化。有些多系数同时变化的
分析可能会用到100%法则。下面分析如何应用100%法则。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
假设Par公司的会计部门指出原先的标准袋和高级袋
3.2 图解法灵敏度分析
对于双变量的线性规划问题，当目标函数的系数或约束 条件的右端值变化时，用图解法对其进行灵敏度分析。 我们先思考目标函数的系数变化会对 Par 公司的最优产量 产生什么样的影响。选择每个标准袋的利润是 10 美元，每个 高级袋的利润是 9美元，如果其中一种袋子利润下降，公司就 会削减其产量，如果利润上升，公司就会增加其产量。究竟 利润变化多少，管理者才应该改变产量呢？ 现在，模型的最优解540个标准袋和252个高级袋。每个目 标函数系数都有一个 最优范围 ，即目标函数系数在什么范围 内变化，模型的最优解保持不变。
3.2 图解法灵敏度分析
为了计算标准袋利润最优的范围，我们假设高级袋的 利润CD=9，代入上式得
-3/2≤-CS/9≤-7/10
从左边的不等式得到 -3/2≤-CS/9或者3/2≥CS/9 从右边的不等式得到 -CS/9≥-7/10或Βιβλιοθήκη BaiduCS/9≥7/10
综合标准袋利润CS的极限，标准袋最优范围为
6.3 ≤CS≤13.5
西北农林科技大学 第三章 线性规划的灵敏度分析与最优解 的解释
讲授人：朱玉春 教授
单 位： 经济管理学院
2011年
引言
灵敏度分析 是研究当一个线性规划问题中的 系数发生变化时，其对函数最优解的影响程度。 运用灵敏度分析，我们可以回答以下问题： 1.如果目标函数的系数发生了变化，对最优解会产 生什么影响？ 2.如果改变约束条件的右端值，对最优解会产生什 么影响？ 首先我们将介绍如何使用图解法进行双变量 线性规划问题的灵敏度分析，然后介绍如何使用 管理科学家软件得到灵敏度分析报告。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
为了使用管理科学家软件，我们使用小数代替分数。 Par公司的问题用小数形式的系数表示如下：
Max 10S+9D
s.t. 0.7S+D≤630 切割与缝合
0.5S+0.83333D≤600 缝合
1.0S+0.66667D≤708 成型 0.1S+0.25D≤135 检查与包装 S,D≥0
3.2 图解法灵敏度分析
当目标函数绕最优点旋转，使之与坐标轴垂直时，像 式中出现的那种斜率的上限或下限就不存在了。为了说明
这种特殊情况，我们设Par公司的目标函数为 18CS+9CD；这
样，图中，极点2 是最优解点，绕着极点2逆时针旋转目标 函数，当目标函数与直线B 重合时，就得到了斜率的上限 -
只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对 偶价格就不会改变。右端值如果超过了这些范围，对偶价 格信息会随之改变。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3.2 多系数同时变化
系统灵敏度分析的输出是基于单函数系数变化的。
它假设所有其他系数都保持不变。因此目标函数系数和约
束右端值的变化范围只能适用于单个系数发生变化的情况。 然而很多情况下，我们可能更关注两个或两个以上系数同
3.2 图解法灵敏度分析
根据直线A和直线B的表达式，可以算出A的斜率是
-7/10，截距是630。B的斜率是-3/2，截距是1062。
则直线A和直线B的斜率都已经计算出来了，我们来看
保持极点3仍然为最优解点，应满足条件：
-3/2≤目标函数的斜率≤-7/10
3.2 图解法灵敏度分析
现在让我们考虑目标直线斜率的一般形式。用CS表示 标准袋的利润，CD表示高级袋的利润， P表示目标函数值。 使用这些标识，目标函数直线可以写成： P=CSS+CDD 把上面方程写成斜截式，得到 CDD=-CSS+P 以及 D=-S(CS/CD)+P/CD 因此我们看到只要满足下列条件，极点3就仍然为最优解 点： -3/2 ≤-CS/CD ≤-7/10
3.2 图解法灵敏度分析
3.2.1 目标函数系数 认真观察图发现，只 要目标函数直线的斜率处 于直线 A （和切割与印染 约束线重合）的斜率与直 线 B （与成型约束线重合） 的斜率之间，极点3 （S=540， D=252）就是最 优解的点。 改变目标函数里 S 和 D 的系数，引起目标函数直 线斜率的变化，即绕着极 点 3 旋转。只要目标函数 直线仍在阴影区域内，极 点3仍是最优解。
3.2 图解法灵敏度分析
获得 10 小时的切割与印染时间，我们可以扩展问题 的可行域。运用图解法可以看出，极点S=527.5，D=270.5
是 最 优 解 点 。 新 的 目 标 函 数 值 为
10*527.5+9*270.5=7711.75 美元，比原先利润增加了 43.75 美元。
约束条件右端值每增加一个单位引起的最优值的变
3.2 图解法灵敏度分析
逆时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更 小的负数，从而斜率变大了。直到与 A 重合，我们就获得了 多重最优解——在极点3和极点4之间的点都是最优点。因此 A的斜率是目标函数直线的上限。 顺时针转动目标函数直线，使其斜率变成一个绝对值更 大的负数，从而斜率变小了。直到与 B 重合，我们又获得了 多重最优解——极点 3 和极点 2 之间都是最优点。因此 B 的斜 率是目标函数直线斜率的下限。 因此，极点3总是最优解点，只要 直线B的斜率≤目标函数直线的斜率≤直线A的斜率