高代课件51：关于跟不变子空间有关的若干问题总结1
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课件51：关于跟不变子空间有关的若干问题总结1
{}()()-112m -1-11例1：设是n 维线性空间V 的可逆线性变换，W 是V 中-不变子空间，证明：W 也是线性变换-不变子空间。证明：当W=V 或W=0时，结论显然成立。
当0 ,) 又因为是n 维线性空间V 的可逆线性变换所以：==，(i 1,2,,) 下面证明：，i i i i i i W W W m m σσσααασσαβσσσαασβαββ<=∈=⇒=()()()()()()()()()2m 1122m -1-11122m -1-1-11122m 1122m 1212m 1122m -1-1-1-11122m 1122，，也是W 的一组基令x x x 0 则x x x =0=0 x +x + +x 0 x x x 0x x x 0 ，，，也是W 的一组基则对任意,则=t t +t m m m m m m m W t t t t t ββββσβββσσβσβσβαααβββααβββσασβββσβσβ++ =++⇒=⇒++ =⇒== ==⇒∈++⇒=++=() {}-1m 1122m -11234143212341+ +t 故W 也是线性变换-不变子空间 例2：设,,,是的基底，(),在下的矩阵是A,11120100其中A=，求包含的最小的的不变子空间。23111221证明：令f (),则f ()0设包含的最小的的不变子空间为m m t t t W U u u u u V L V U u E A a a a a u W σβααασσσσλλλλλλσσ=++ ∈=∈⎛⎫ -- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭=-=++++=()()()()()()()()()()()()()21112111n 32n 32n 3211111 n 3211111211,则,,，所以：(,,,) 当n 4时，由带余除法得：()f ()(),()则=()f ()()=()=则可得可以由，，，线性表示，n 4则W=(,,u W u W u W W L u u u q r r b c d e q r r b c d eI u b u c u d u eu u u u u u L u u u σσσσλλλλλλλλσσσσσσσσσσσσσσσσσσ∈∈∈=≥=+=+++++++⇒=+++≥()()()()2311111,)(,,,) L u u u u σσσ= ()()()()()()()()()()() ()()()() () ()2311111134211134134134 311342*********下面只要找出向量组,,,的极大线性无关组即可。由于=+2+， ==+2+=+2+=+3-4同理可得：=-10+9-111-100 0故有：,,,=,,,02390 1-4-1易知r ()3,且的前3列是线性无u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u B B σσσσσσσσσσσσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭=()()()()()()()22311111112111112n 1n 关的，于是 ,,是(,,,)的一组基， 从而包含的最小的的不变子空间为(,,)例3：设V 是复数域n 维线性空间， 1而线性变换在的一组基，，，下的矩阵是1 1 证明：（1）：V 中包含的-子空间只有自身（2）：V 中任一非零-子空间都包含（3）：V 不能分解成两个非平凡u u u L u u u u u L u u u V V σσσσσσσσλ λ σεεελ λεσσε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ ()()()()()()()()()()12n 12n 112223n 211322n 11 111222的-子空间的直和（4）：试问V 中共有多少个-子空间 1证明：(1)因为，，，=，，，1 1 =+，=+，，=,,，令是V 的包含的-子空间， 则,,n n n W W W W W W σσλλ σεεεεεελ λσελεεσελεεσελεεσελεεσελεεσελεεσλεσεελεσεε--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⇒⇒=-=-=-∈∈⇒∈⇒∈∈⇒()()()()() 3n 1122n 11122n 1122n (2):设是V 的任一非零的-子空间，W,0 令=k k k ，不妨令k 0，则 =k k k =k +k + +k n n n W W V W W V W εσαααεεεσασεεεσεσεσε∈⇒⇒∈⇒⊆⇒=∈≠++ +≠+++ ()()()()()()112223n 1122n 12231n 1112231n 11213242n n 11112k +k ++k k k k k k k ,k k k 又因为W ，W ，则-W 再求可推断出=k k k W 继续做下去可得：k W,k 0W （3）：设V ，V 是任意两个非平凡的不变子空间，n n n n n n n λεελεελελεεεεεελαααεεεασαασαλασααεεεαεε----=++=++ ++++ +=+=+++∈∈=∈++ +∈=∈≠⇒∈{}()()() 121 2012112013由（2）：知V ，V 则V V 至少包含基向量0，故V 不能分解成两个非平凡的子空间的直和 （4）：W 0，W ,W ，，,W ,,，显然W ，W ，,W 是的不变子空间，共n+1个下面证明：V 的不变子空间只有这n+1个，即只要证明V 的任意k 维不变子空间V =不失一般性得：不妨证明当k=3时，设V 的三维不变子空间为V 下面证明：n n n n n n n n n k k L L L V W εεεεεεεεε-∈∈≠====()()332131122n 11122n 112231n 213242n n 1112 11n 112n n n-1 1V ==(,，)设V 的一组基为，，r 令=k k k ，若k 0，由（2）可得： =k k k W k k k W =k k k W k W k k k ，，，=，，，k k k 因n n n n n n n n W L εεεαβαεεεαεεεαεεεαεεεαεαααεεε------++ +≠+++∈=+++∈+++∈=∈⎛⎫ ⎪ ⎪⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭ 1 211n 1n n-1 1 1n 13122n 2k k k 为 0，，，线性无关 k k k 与，，，W ，V 是三维不变子空间矛盾，则k =0则=k k ，若k 0，按照上面方法继续做 可得矛盾 n αααααααεε--≠⇒∈++≠