第6讲 高斯光束的传输变换

来灵活选择使用哪种参数。
q参数的单位？
核心
2 2 z z 2 2 2 ( z ) 0 1 2 0 1 2 (1) z0 0 n 20 n 2 z 20 z 1 2 (2) R( z ) z 1 z z 1 z 1 z (3) ( z ) tan 2 n tan z 0 0 20 n z0 (4)
) R 1(z
R2 ( z)
1 1/ F
0 1
AR1( z ) B R 2( z ) CR1( z ) D
该式描述球面波曲率半径R在通过光学系统时的变换规律，称 为ABCD定律。
6.2 高斯光束的传输与q参数
高斯光束在自由空间的传输
– 高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变 的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参 数： 20 2 R( z ) z 1 1 1 z i 2 其中 q( z ) R( z ) ( z ) 2 2( z ) 2 1 z 0 2 0
1/ e
0 r 2 kr 2 E0 exp 2 exp i kz ( z ) ( z ) ( z ) 2 R ( z )
Z
Z
高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高 斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变， 其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中 在轴线及其附近，且等相位面保持球面。
1 1 i q ( z ) R ( z ) 2( z )
6.2 高斯光束的传输与q参数
普通球面波波前曲率半径的传播规律
x
• 普通球面波在自由空间的传播
R1( z ) z R2( z) R1( z) ( z 2 z1) R1( z) L
o
R1( z ) z1
– 可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数如下，其中q2=q(z2)， q1=q1(z1)分别为z1和z2面处的q参数
1 i 2 R Z Z
q 2( z) q1( z ) ( z 2 z1) q1( z ) L
1 L 0 1
Aq1( z ) B q 2( z ) Cq1( z ) D
5.2 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
2 1 1 2 r 2 r r r 2 z 2
2 2 1 2
6.1 高斯光束的表述: q(z)
• 3、用q参数表示
1 1 i – 由q参数的定义：q( z ) R( z ) 2( z ) 可知q参数将R(z)和ω(z)联系在 一起了，可以求得： 1 1
Re R ( z ) q ( z ) 1 Im 1 2( z ) q ( z )
– 整理可得：
z0 2 z 2 z 0 2 R Z z 1 z z 2 2 2 0 z z 2 z0 2 Z 1 z z0 0
6.2 高斯光束的传输与q参数
高斯光束在自由空间的传输
– 通过整理q的表达式可以得到：
iz0 z z 2 z0 2 z 2 z 0 2 q( z ) iz0 z q0 z 2 2 2 2 z0 z 1 2 2 2 2 2 2 2 z z0 z z0 R Z Z
5.2 均匀介质中的高阶高斯光束
• 其解为厄米多项式
2x x H m 2y y H n
H 0 ( x) 1 H1 ( x ) 2 x H 2 ( x) 4 x 2 2 H 3 ( x ) 8 x 3 12 x
5.3 类透镜介质中的高斯光束
• 类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：
1 2 1 ' k 2 0 q ( z ) q ( z ) k p '( z ) i q( z )
• 其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：
k2 k2 k q 0 cos z sin z k k2 k q( z ) k2 k2 k2 q 0 sin z cos z k k k
• q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的 光线矩阵比较：
6.1 高斯光束的表述: ω(z)和R(z)
• 高斯光束的特征参数 • 2、当确定了某一确定位 置z处的ω(z)和R(z)后， 也可以通过(1)、(2)式求 出束腰位置及大小；
( z ) 0 ( z ) 1 R ( z ) 2 1 R ( z ) z R( z ) 1 2( z )
6.2 高斯光束的传输与q参数
高斯光束透过薄透镜
• 由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的M1 和M2两个面上的光斑大小和强度分布是 一样的，即：
0
M1 M 2 1(l ) 2(l )
0 '
1(l ) 2(l )
(1)
R1 R2
l'
• 经过薄透镜变换后在像方继续传输的光 束仍为高斯光束。 薄透镜：强度分布不变 球面波前曲率半径的变换： R2为等相位面曲率半径，由球面波球率半 径的变换公式可得：
• 其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米高斯光束，表示为TEMmn模式。
5.2 均匀介质中的高阶高斯光束
• 几种高阶高斯光束的光强分布图
厄米Hm(x)
F e
x 2 y 2
2
Hm(x)F
I∝H2m(x)F2
TEM0
TEM1
TEM2
5.2 均匀介质中的高阶高斯光束
k2 k2 k q 0 cos z sin z k k2 k q( z ) k2 k2 k2 q 0 sin z cos z k k k
Leabharlann Baidu 5.3 类透镜介质中的高斯光束
• 前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：
激光原理与技术·原理部分
第6讲
高斯光束的传输变换
5.1 均匀介质中的高斯光束
2 z2 2 ( z ) 0 1 z 2 0 z 20 R ( z ) z 1 2 z 20 z0
1
E ( x, y , z ) ( x, y, z )e ikz 0 kr 2 E0 exp i kz ( z ) i ( z) 2q ( z ) E0 1 0 ik exp i kz ( z ) r 2 2 ( z) ( z ) 2 R ( z )
Aq 0 B q( z ) Cq 0 D
主题
高斯光束的传输与变换（q参数变换规律）
6.1 高斯光束的表述:束腰的位置和半径ω0
• 高斯光束的特征参数 • 1、由(1)、(2)式可知，只 要确定了束腰的位置和半 径ω0，就可以确定任何位 置的光束半径和等相位面 半径等参数；
2 z2 z 2 2 2 ( z ) 0 1 2 0 1 2 (1) z0 0 n 20 n 2 z 20 (2) R( z ) z 1 z 1 2 z z 1 z 1 z ( z ) tan tan (3) 2 0 n z0 20 n z0 (4)
1 1 20 i 2 R(0) , (0) 0 q 0 i iz0 – 令q0=q(0)，则： q 0 R(0) (0)
– 通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。
– 以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题
k2 z cos A B k0 k2 C D k2 sin k0 z k0 k2 k0 sin z k2 k0 k2 cos k0 z
• ( x, y, z ) 仍为基本高斯光束解，所以总的解为
0 x y El ,m ( x, y, z ) E0 Hm 2 Hn 2 ( z) ( z) ( z) k ( x2 y 2 ) x2 y 2 exp 2 i kz (m n 1) ( z ) 2 R( z ) ( z)
2
• 此时波动方程的特解为：
2x 2 y ikz E0 ( x , y , z ) e
• 代入波动方程，分离变量后解得：
d2 2 dx 2 d dy 2 2x d 2x dx 2y d 2 y dy 2x ( 1) 2x ( r 1) 2x 0 2x 0
z2
R2 ( z )
L
z
AR1( z ) B R 2( z ) CR1( z ) D
1 L 0 1
6.2 高斯光束的传输与q参数
普通球面波波前曲率半径的传播规律
F
• 当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波 前曲率半径满足： 1 1 1 R 2( z ) R1( z ) F R1 R 2( z ) R1 / F 1