第01节 微分方程的基本概念

dy x2 , dx
y |x 0 0;
（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）
下面求未知函数：
1 y x dx x C ; 3
2 3
将初始条件 y | 0 代入上式，得：
x 0
1 0＝ 0 C ; 3
2
由此得 C 0 ， 故所求曲线方程为
1 y x. 3
1
2 1 1 2
将初始条件代入，得 C 20, C 0;
1 2
V＝－0.4t 20
S＝－0.2t 20t ,
2
令V 0 需
，得到列车从开始制动到完全停住，共
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20 t 50 （秒） . 0.4 将 t 50 （秒）代入s (t ) 中，求得列车在这段时间 行驶的路程
S＝－0.2 50 20 50＝500 （米） .
2
2
2
2
1
2
1
2
故 x C cos kt C sin kt 是原方程的解。 dx x | A， | 0， dt C A， C 0
1 2
t 0
t 0
1
2
故所求特解为 X A cos kt 。 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
例2 验证 y ln( xy) 所确定的函数 y y (x) 是 微分方程 ( xy x) y xy yy 2 y 0 的解。
2
二、微分方程的定义与分类
共性：两个引例得出的式子均含有未知函数 的导数。 定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫做微分方程。 又例 y xy，
2
y 2 y 3 y e ， z z （t x）dt xdx 0， x y x y 也都是微分方程。 实质：联系自变量，未知函数以及未知函数 的某些导数（或微分）之间的关系式。
(n)
如果函数 y (x) 在区间I上有n阶连续导数，且 满足微分方程
F [ x, ( x), ( x),, ( x)] 0，
(n)
那么称函数 y (x) 是微分方程在区间I上的解。
微分方程的解分为：
（1）通解：包含有任意常数，且任意常数的个数 与微分方程的阶数相同的微分方程的解。 例 微分方程 y y， 其通解为 y ce ；
( x 2 y ) y 2 x y, x 2 xy y 2 c;
三、确定函数关系式 y C1 sin( x C2 ) 中的任意 参数，使其满足初始条件 y |x 1 , y |x 0
自测题解答 一、 1.二阶； 2.二个； 3.特解； 二、略 三、解 将 y C1 sin( x C2 ) , y C1 cos( x C2 )
例3 求积分曲线族 y Cx C 2（C是任意常数） 所满足的微分方程。 解 ： 积分曲线族两边求导数，得
y C
消去C，得
y xy y2
故所求方程为
y xy y2 .
五、小结
1、本节学习内容
（1）微分方程；微分方程的阶； （2）微分方程的解：通解；特解；初始条件； 初值问题；积分曲线。
y ( n) f ( x, y, y,, y ( n1) ).
dy x2 例 是一阶微分方程； dx d 2s 0.4 是二阶微分方程。 dt 2
分类Ⅲ：线性与非线性微分方程
y P( x) y Q( x)
是一阶线性微分方程；
y P( x) y Q( x) y f ( x) 是二阶线性微分方程；
x
d s dy x ， 0.4 ，都是微分方程。 例 dx dt
2
2
2
分类I：常微分方程、偏微分方程
定义2：未知函数是一元函数的微分方程叫做 常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫 做偏微分方程；
例
d s dy 0 .4 x， dx dt
2
2 2
是常微分方程；
z z x y x y
七、自测题
一、填空题
dQ Q L R 0 是________阶微分方程 1、 dt t dt 2 d 2Q
2、 一个二阶微分方程的通解应含有________ 个 任意常数。
y 3e2 x是微分方程 y 4 y 0 的_____ 3、函数
解。
二、验证所给函数是所给微分方程的解：
2、重点
本节重点在于理解常微分方程的解的概念。 求微分方程涉及到积分运算，所以通解中包 括一组任意常数，这说明微分方程有无穷多解。 在一般情况下，在附加一组初始条件之后，从微 分方程的通解中可求得一个确定的解，即特解， 也即初值问题的解。
3、难点
已知微分方程的通解，求通解所满足的微分 方程，解决此类问题的关键是消去任意常数，求 得自变量、函数以及函数的各阶导数之间的关系 式。
3
引例2 列车在一段笔直的铁路上以20米／秒的速 度行驶，当制动时列车获得加速度－0.4米／秒 2， 问开始制动后经多少时间列车才能完全停住？并 求列车在这段时间内行驶的路程？
解 设列车开始制动 t 秒后行驶 s 米，即 s s (t )， 根据题设，应有关系式： ds d 2s 0.4; t 0时， s 0, V 20; dt dt 2 （特点：方程中含有未知函数的二阶导数） ds V＝ 0.4dt 0.4t C ; dt s (－0.4t C )dt 0.2t C t C ;
yy 2 x 0 为所求方程。
2.解： 将函数分别求一阶、二阶导数，得
y C1e x C2e x x 1 ， y C1e x C2e x 1 ， C1e x C2e x， y
消去任意常数，可得所求微分方程为：
y y x 1.
是偏微分方程。
注：本章我们只讨论常微分方程的求解。
分类Ⅱ：一阶微分方程、高阶（n阶）微分方程
定义3：微分方程中出现的未知函数的最高阶 导数的阶数叫做微分方程的阶。
一阶微分方程： F（x, y, y） 0， y f ( x, y )；
高阶（n阶）微分方程： F ( x, y, y,, y ( n) ) 0，
六、练习题
练习题1、设曲线上点 P（x, y）处的法线与X轴 交点为Q，且线段PQ被Y轴平分，试写出该曲线 所满足的微分方程。
练习题2、已知函数 y C1e x C2e x x 1 ， C1 其中， , C2 为任意常数，试求函数所满足的微 分方程。
课堂练习题解答：
1.解 设所求曲线方程为 y f (x) ，则该曲线在 点 P( x, y ) 处的法线方程为： 1 Y－y ( X x); f ( x) 令Y＝0， 得X＝x f ( x) f ( x)，即 X x yy； 因Y轴平分PQ，故P、Q两点的横坐标为相反 值。于是得 －x x yy，
（特点：除 f ( x) 外，其他各项关于y, y, y, 均 为 一次。）
x( y ) 2 yy x 0
2
是非线性微分方程。
三、微分方程的解与初值问题
1．微分方程的解 定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的 函数称之为微分方程的解。 确切地说，对于给定的微分方程 F [ x, y, y,, y ] 0，
x
例 微分方程 y y 0， 其通解为 y C sin x C cos x.
1 2
（2）特解：确定了通解中任意常数以后的微分方 程的解。 特解的图象：微分方程的积分曲线。 通解的图象：微分方程的积分曲线族。
2．初值问题 初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。
2
证明
y ln( xy), 故
1 y ( y xy); xy
xyy y xy
再对 x 求导，得
yy xy xyy 2 y xy，
2
即 ( xy x) y xy yy 2 y 0，
2
因此， y ln( xy) 是所给微分方程的解。
代入初始条件，有 1 C1 sin( C2 ) 与 0 C1 cos( C2 ) C2 , C1 1 ∴ 2
y f ( x, y ) 一阶： y| y0 x x0 即：求过定点的积分曲线； y f ( x, y, y) 二阶： y |x x0 y0 , y |x x0 y0
即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的 积分曲线。
四、例题
例1 验证函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分方程
第一节
微分方程的基本概念
一、问题的引入 二、微分方程的定义与分类 三、微分方程的解与初值问题
华南理工大学数学科学学院 杨立洪 博士
一、问题的引入
引例1 已知一条曲线通过原点，且在该曲线上 任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方， 求该曲线方程。 解 该所求曲线为 f (x) ，根据导数的几何意义及 本题所设，可知未知函数满足
k 2 x 0 的解，并求满足初始条件 x |t 0 A， dt 2 dx |t 0 0 的特解。 dt d 2x
解
dx kC1 sin kt kC2 cos kt , dt
d 2x dt 2
k 2C1 cos kt k 2C2 sin kt ,
d x 将 和 x 的表达式代入原方程，有： dt －k (C cos kt C sin kt ) k (C cos kt C sin kt ) 0，