投资的收益和风险

投资的收益与风险

摘要

组合投资是指投资者将不同资产按一定比例组合在一起作为投资对象。证券投资是一种风险性投资，其收益是在一定的风险下实现的。要想获得高收益而又承担小的风险就需要对不同证券按合适比例进行组合。通过查找文献[1][2],我

们采用更为直观的图像来解决问题。首先我们通过随机产生比例系数

t这样就可

i

以给出大量的证券组合方式，然后计算出净利润W和最大损失额L，建立W L

散点图，直观的给出了证券组合的有效区域即可行域，并且计算出有效边界。根据不同投资者对风险的喜恶程度，可以表示出每个人的效用函数，用过函数图像平移就可以找到图像的切点，切点对应的值就是最佳的证券组合方式对应的,

W L的值，这样就可以推算出各个资产的比例系数，随后可解得各个资产的购

买金额。

关键词：组合投资效用函数有效集定理可行域回归

一、 问题的重述

市场上有n 种资产（如股票、债券、…）(1,...)i S i n =供投资者选择某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这

n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买i S 的平均收益率为i r ，并预测出购买i S 的风险损失率为i q 。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总的风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量。

购买i S 要付交易费，费率为i p ，并且当购买额不超过给定值i u 时，交易费按购买i u 计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r ，且既无交易费又无风险。（05%r =）

1.已知4n =时的相关数据如下表1：

i S i r

i q

i p

i u

1S 28 2.5 1 103 2S 21 1.5 2 198 3S 23 5.5 4.5 52 4S

25

2.6

6.5

40

2.试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ,有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

3.试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用表2数据进行计算。

表1

i S i r

i q

i p

i u

1S 9.6 42 2.1 181 2S 18.5 54 3.2 407 3S 49.4 60 6 428 4S 23.9 42 1.5 549 5S 8.1 1.2 7.6 270 6S 14 39 3.4 397 7S 40.7 68 5.6 178 8S 31.2 33.4 3.1 220 9S 33.6 53.3 2.7 475 10S 36.8 40 2.9 248 11S 11.8 31 5.1 195 12S 9 5.5 5.7 320 13S 35 46 2.7 267 14S 9.4 5.3 4.5 328 15S

15

23

7.6

131

表2

二、 问题的分析

本问题是个多目标规划问题。目的是设计出投资组合方案，在给定的资金M 的情况下，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。

针对问题一，首先想到的是建立多目标规划模型，但在计算过程中很难分配两个目标函数的权重。此外，在计算的过程中发现lingo 计算的时间很长，很难满足多组数据画图的需要，通过查阅文献[2]便建立了证券组合优化模型。首先我们不考虑i u 的影响，通过计算可知

112233449.93p u p u p u p u +++=元

而题目中也给出了投资金额M 数额相当大，这样就不考虑i u 的影响。通过改变投资的比例系数i t 可以计算出相当多组净利润W 和最大损失额L 的值，建立

W L -散点图，直观的给出了证券组合的有效区域即可行域，并且计算出有效边界。文献[2]提到不同投资者对风险的喜恶程度对应着不同效用函数（表3），将效用函数逼近可行域即可得出相应的最佳证券组合方式。

厌恶程度 厌恶 中性 喜好 效用函数 凹形函数 线性函数 凸性函数

针对问题二，游泳者速度大小一定而方向不定，最佳路线将由游泳者的速度方向和水流速度分布决定。最佳路线也就是渡河时间最短的路线。所以问题也就转化为游泳者以何种方向游时，渡江所用时间最短，通过建立时间最短的数学规划模型得以解决。

三、

模型的假设

1. 银行利率为税后利率；

2. 公司投资采用一次性全部投资的方式；

3. 银行存款利率为这段时间的利率；

4. 所有购买资产之间相互独立，互不影响；

5. 在这段时期内，平均收益率i r 和风险损失率i q 不发生改变；

6. 总体风险可用所投资的i S 中最大的一个风险来度量；

7. 银行存款视为市场资产的一种；

8. 所有资产收益都服从正态分布，它们间的协方差服从正态概率定律。

表3 效用函数

四、 符号说明

(1,...)i S i n =：市场上的n 种资产； i t ：表示购买i S 占总金额的比例； i r ：这一时期内购买i S 的平均收益率； i q ：这一时期内购买i S 的风险损失率； i p ：购买i S 要付交易费的费率； 0r ：同期银行存款利率；

W

：公司这段时期的净收益；

L ：购买i S 中最大的一个风险损失额；

M

：这段时间可供支配的总金额；

A ：厌恶指数。

五、 模型的建立与求解

5.1关于问题1的模型建立与求解

首先给出净利润W 和最大风险损失额L 的表达式以及i t 满足的关系式：

5

1

5

1

()

max()

1

i i i i i i i

i W Mt r q L Mq t t

===-==∑∑

然后采用产生随机数的方法改变i t 的值就可以得出不同的W 和L ，建立W L -散点图（图1）。