初中数学专题圆周角定理
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专题03 圆周角定理
1．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点（不与A、B重合），则c o sC的值为（）
A．B．C．D．
解析：作直径AD，连接BD，
∴∠ABD＝90°，AD＝2×5＝10，
∴在Rt△ABD中，BD＝＝8，
∴c o sD＝＝＝，
∵∠C＝∠D，∴c o sC＝．选C．
2．如图所示，AB是⊙O直径，∠D＝35°，则∠BOC等于（）
A．70°B．110°C．35°D．145°
解析：∵∠D＝35°，∴∠AOC＝2∠D＝2×35°＝70°，
∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
选B．3．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB的度数为（）A．12.5°B．25°C．37.5°D．50°
解析：∵在⊙O中，OA⊥BC，
∴＝，
∵∠CDA＝25°，
∴∠AOB＝2∠CDA＝50°．
选D．
4．如图，△ABC内接于圆，AD是高，AE为圆的直径，AB＝4，AC＝3，AD＝2，则直径AE的长为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：连接BE，
∵AE是直径
∴∠ABE＝∠ADC＝90°
∵∠E＝∠C
∴△ABE∽△ADC,∴＝
∵AB＝4，AC＝3，AD＝2，
∴
解得：AE＝6，
选B．
5．如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠BCD＝120°，则∠B0D＝（）
A．100°B．120°C．130°D．150°
解析：∵∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠BOD＝2BCD＝120°．
选B．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（）
A．50°B．45°C．40°D．30°
解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝∠BAC＝40°．
选C．
7．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CD＝DE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE•AB．正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：①∵AB是半圆直径，∴AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝∠DAO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∴①正确．②作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝×45°＝22.5°，∴∠COD＝45°，
∵AB是半圆直径，∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，∠AEO＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DCE＝∠CED＝67.5°，∴CD＝DE，∴②正确．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO＝∠EDO，
∵∠COD＝2∠CAD＝2∠OAD，
∴∠DEO≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，∴③错误；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD＝×45°＝22.5°，∴∠COD＝45°，
∵AB是半圆直径，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°∵∠CAD＝∠ADO＝22.5°（已证），
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ADO＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△CED∽△COD，∴＝，
∴CD2＝OD•CE＝AB•CE，∴2CD2＝CE•AB．∴④正确．综上所述，只有①②④正确．
选C．
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是（）
A．2.4 B．2 C．2.5 D．
解析：结合题意得，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC为RT△，即∠C＝90°，可知EF为圆的直径，
设圆与AB的切点为D，连接CD，
当CD⊥AB，即CD是圆的直径的时候，EF长度最小，
则EF的最小值是＝2.4．选A．
9．如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠DEA相等的角有（）
A．2个B．3个C．4个D．5 个
解析：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，
∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠AED，∴∠DEA＝∠DAE＝∠ODB＝∠B，
∴图中与∠DEA相等的角有3个，
选B．10．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于D，∠ABC＝40°，那么∠ABD＝（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠D＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝50°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BA＝25°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝65°．
选C．
11．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，弦CF⊥AD于H交AB于G，下列结论：①BE＝EG，②DF+HF＝CH，③，其中正确结论的个数有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
解析：连接DG、BC，如图
∵CD⊥AB，CF⊥AD，
∴∠GED＝∠GHD＝90°，
∴∠4＝∠ADE，
而∠5＝∠ADE，
∴∠5＝∠4，
∴CB＝CG，即△CBG为等腰三角形，
而CE⊥GB，
∴BE＝GE，所以①正确；