超静定结构的解法

∆1P：自
由4项、求系数δ11 和自由项∆1P
d1设 基1 δ 在l 1去M1 1：掉0 (x单多E) 位余IM多约10 (x余束) d力处x 作的 E用位1I 下移 l2，；2 静23l定
l3 3EI
δ11 =单位多余力产生的弯矩图自乘/EI；
D1P
M
P
(
x)
M
0 1
(
x)
dx
l
EI
1 EI
X1 X1 X2 X2 X3 X3
n3
n 3 X1 X1 X 2 X 2 X 3 X 3
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 1. 去掉一个支座链杆相当于解除一个约束。
可变体系 X1
X1
静定基不唯一
X1
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力法的基本思路：
1. 解除多余约束，使之成为静定结构——静定基； 2. 在静定基上施加与多余约束相对应的多余力——基本
未知量；
3. 应用变形条件求解多余约束力。
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
力法的基本思路：
q
解: 1、确定静定基 2、分析位移条件:B点处
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
δi j：由Xj=1引起的沿Xi方向的位移 位置 原因
D 1P
D 3P
d 31
d 11
d' 31
d12
d 32
d' 12
P
D 2P
d 21
d' 21
(c) (d)
d 22
d' 32
(e)
d 33
d 13
d' 33
d 23
d' 23
(f )
D1 D2
D1P D2P
第八章
高速铁路新型板式轨道设计理论与
2020/4/14
力学性能研究
0
第八章 主要内容
8-1 超静定结构及超静定次数的确
定
8-2
力法和典型方程
8-3
对称性的利用
重点：力法
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第八章：超静定结构解法
本节内容
8.1 超静定结构及超静定次数的确定 8.2 力法和典型方程
4.超静定结构的局部位移和内力比静定结构小。
A
FB
C
A
FB
C
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定次数的确定：
超静定次数=多余约束的个数 确定方法：如果从原结构中去掉n个约束后，结构成为静 定结构，则原结构的超静定次数=n
B
B X1
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(i) 4次
(h) 9次
第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
力法：以力为未知数求解超静定问题的方法。
求解超静定问题的方法有多种，力法是最基本、也是历史最 悠久的一种。它是以多余约束力为未知数，列出变形补充方程求 解后，其他未知力和变形等就可按静定结构来计算。
原结构
静定基
P
D 2P
由X1=1引起的位移 由X2=1引起的位移
由X3=1引起的位移
(c)
d 31
d 11
d' 31
d12
d 32
d' 12
d 33
d 13
d' 33
d 21
d' 21
(d)
d 22
d' 32
(e)
d 23
d' 23
(f )
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第八章：超静定结构解法
力法的要点：
1、基本未知量——多余约束力； 2、位移条件：基本结构在多余约束力和荷载共同作用 下,在去掉多余约束处的位移等于原结构的实际位移。
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
设在刚架中央截面C处截开，得两个
半刚架的静定基，超静定次数为3，故加三对
8.2 力法和典型方程
原结构
A
B
l
原结构: ∆B=0
q
静定基: q单独作用下:∆1P
静定基
A A A
B
X1
q
B
D1P
D11
B X1
d11
X1单独作用下:∆11 ∆11 +∆1P=∆B=0
3、建立方程： ∆11 =δ11X1
设δ11 ：单位多余力作用下，静定 基在去掉多余约束处的位移；
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除一个约束；
X3
X1
X2
也称：刚结点（刚性联结）变铰结点相当于解除一个约束；
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 3.去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除 两个约束；
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程：
dij d ji ——位移互等定理
D1
D1P
d11X1
d12 X 2
d13 X 3
0
D2 D2P d21X1 d22 X 2 d23 X 3 0
D3
D3P
d 31 X 1
d32 X 2
以一封闭刚架为例： 多余约束力X1， X2， X3以取代解除的约束作
用；
X2
C
X3
X3
位移条件：
P
P
X1
X1
(a)
A
B
X2
(b)
∆1=0 ∆2=0
原结构
静定基 位置
D1 D2
D1P D2P
D1X1 D1X2 D2X1 D2X
D1X3 2 D2X
0
3
0
D3 D3P D3X1 D3X2 D3X3 0
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构 及超静定次数的确定
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢ 超静定结构：几何不变体系，有多余约束。 不能利用静力平衡条件求出结构的全部支座反
力和杆件内力，这种结构称为超静定结构。
D1X1 D1X D2X1 D2
2
X
D1X3 2 D2X
0
3
0
D1X1 d11 X1 D2X1 d21X1
D3 D3P D3X1 D3X2 D3X3 0 D3X1 d31X1
D1X2 d12 X2 D2X2 d22 X2 D3X2 d32 X2
D1X3 d13 X3 D2X3 d23 X3 D3X3 d33 X3
d33 X 3
0
(8-1)
典型方程
其中
DiP i
li
M
0 i
M
Ei Ii
P
dsi
——由外荷载引起的沿Xi方向的位移
dij i
li
M
0 i
M
Ei Ii
0 j
dsi
i
li
M
0 j
M
Ei Ii
0 i
dsi
d ji
——Xj=1由外荷载引起的沿Xi方向的位移
M
0 i
(
x)、M
0 j
(x)——为单位力X
5、解方程求X1
X1
D1P
d11
3 ql 8
6、求原结构的反力和内力
反力:根据整体平衡求支座反力
内力:
M
M
0 1
X1
M
P
MA
l
3 8
ql
1 2
ql 2
1 8
ql2 (上拉）
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
力法的思路：
1、去掉多余约束，代以多余约束力，确定静定基； 2、以多余约束力为基本未知量，由位移条件建立力法方程； 3、解方程求多余约束力，进而求超静定结构的内力。
X2
X1
X1
X1
X2 X2
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 4.去掉一个固定端支座相当于解除三个约束；
X3
X1
X2
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X1 X2 X3
第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况：
5.切断一根梁相当于解除三个约束。
或：切开一个闭合框相当于解除三个约束。
X1
X1
X1
X1
X2 X2 X3
X3 X2
X3 X3 X2
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
解除多余约束的几种情况： 1. 去掉一个支座链杆相当于解除1个约束。 2. 在杆件内添加一个铰，相当于解除1个约束； 3. 去掉一个固定铰支座,或拆开一个单铰相当于解除 2个约束； 4. 去掉一个固定端支座相当于解除3个约束； 5. 切断一根梁（杆）或切开一个闭合框相当于解除3 个约束;
i
1、X
j
1单独作用时，静定基的弯矩;
M P (x)——荷载单独作用时，静定基的弯矩;
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
n次超静定结构：
d11X1 d12 X 2 d1n X n D1P 0
d21X1 d22 X 2 d2n X n D2P 0
(3) 二元体法则：
在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体系 的几何组成性质。
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
(a) 1次 (c) 1次
(b) 2次
(e) 1次
(f) 3次
(c) 4次
(g) 3次
A 济南大学2：02《0/4建/14筑力学》
B X1=1
δ11：系数
∆1P：自
由项
第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
力法的基本思路：
d11
A
B X1=1
M10图
l
M10图
l
X1=1 X1=1
q
B
A
D1P
ql2 / 2
MP图
M10图 l
X1=1
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
δ11：系数
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
3
3
3
3
济南大学2：02《0/4建/14筑力学》
n 12
2
3
1
n6
第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
课堂练习： 判定下列结构的超静定次数：
1 3
l
ql 2 2
3l 4
ql 4 8EI
△1P =单位多余力产生的弯矩图乘外荷 载弯矩图/EI；
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
力法的基本思路：
q
原结构
A
B
l
q
静定基
A
B
X1
q
B
A
l
3 ql
8
ql2 / 8
ql2 / 8
M图
δ11 X1+∆1P=0 ——力法方程
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定结构的特性：
1.超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，求解内力 必须考虑变形条件。
2.超静定结构的内力与材料的物理性质和截面的几何性质有 关。（EI）
3.超静定结构在支座移动、温度改变等因素下，会产生内力。
∆3=0
原因
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第八章：超静定结构解法
8.2 力法和典型方程
➢力法的典型方程： 定义： δi j：由Xj=1引起的沿Xi方向的位移
C
X2 X3
X3
位置 原因
P
P X1
X1
X2
(a)
(b)
∆iP：由外荷载引起的沿Xi方向的位移
A
B
由外荷载引起的位移：
D 1P
D 3P
dn1X1 dn2 X 2 dnn X n DnP 0
——力法典型方程
（为书写简便省略上划线）
1） 主系数： δi i> 0等于Xi=1产生的弯矩图自乘/EI； 静定基的弯矩图
2） 付系数： δi j （i≠j） 可负，可正，零
dij d ji 位移互等定理 等于Xi=1、Xj=1产生的弯矩图互乘/EI；
3） Δ i P :自由项 等于外荷载弯矩图与Xi=1产生的弯矩图互乘/EI；
4）系数、自由项的含义：位移
d ii
:由X i
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1引起的沿
X
方向产生的位移
i
dij :由X j 1引起的沿 X i方向产生的位移
DiP
:由荷载引起的沿X
方向产生的位移
i
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第八章：超静定结构解法
1
1
1
n3
n3
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3
第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
组成无多余约束几何不变体系的基本规则： (1) 两刚片法则： 两个刚片用三根不共点的链杆相连，或者，两刚片 用一铰和一不通过铰心的链杆相连，可组成一个无多余约 束的几何不变体系。 (2) 三刚片法则（三角形法则）： 三刚片用不共线的三个铰两两相连，可组成一个无 多余约束的几何不变体系。
n 1
A
A
X 1 ——多余约束力
静定基：超静定结构解除多余约束后得到的几何不变体，称 为该超静定结构的静定基。
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第八章：超静定结构解法
8.1 超静定结构及超静定次数的确定
➢超静定次数的确定：
超静定次数=多余约束的个数 超静定结构根据解除约束的不同可以有多种静定基。