《解二元一次方程组》教案(例题+练习+答案)

二元一次方程组的解法

1.二元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做

二元一次方程。

例1.下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________

判断一个方程是为二元一次方程的三个要素： ①含有两个未知数 ②未知数的次数为1 ③整式方程

想一想：二元一次方程的解与一元一次方程的解有什么区别？

①二元一次方程的解是成对出现的； ②二元一次方程的解有无数个； ③一元一次方程的解只有一个。

例2 若方程 是二元一次方程，求m 、n 的值． 分析： 变式： 方程 是二元一次方程，试求a 的值． 注意：

①含未知项的次数为1； ②含有未知项的系数不能为0

2.二元一次方程组的解

二元一次方程组的解法，即解二元一次方程的方法；今天我们就一起探究一下有什么方法能解二元一次方程组。

练一练：1、若 =-⎧⎨=⎩

x 1

y 2是关于 x 、y 的方程 5x +ay = 1 的解，则a=（ ）.

2、方程组 +=⎧⎨

-=⎩y z 180y z （）的解是 =⎧⎨=

⎩y 100

z （）.

3、若关于x 、y 的二元一次方程组––=⎧⎨+=⎩4x 3y 1

kx k 1y 3（）的解x 与 y 的值相等，则k =（ ）.

3、用一个未知数表示另一个未知数

想一想：(1)24x y +=，所以________x =；

2(1)3

x y y z +=⎧⎨

+=⎩，5(2)6

x y xy +=⎧⎨

=⎩，7(3)6

a b b -=⎧⎨=⎩，

2(4)13x y x y +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，52(5)122

y x x y

=-⎧⎪

⎨+=⎪⎩，25(6)312

x y -=⎧⎨

+=⎩，

213257m n x y --+=211

321

m n -=⎧⎨-=⎩1

(2)2a x a y -+-=

(2)345x y +=，所以________x =，________y =； (3) 2y x ,所以x = ，________y =．

总结出用一个未知数表示另一个未知数的方法步骤：

①被表示的未知数放在等式的左边，其他的放在等式的右边． ②把被表示的未知数的系数化为1．

4.二元一次方程的解法

（1）用代入法解二元一次方程组

将方程组中的一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解方程组的步骤是： ①用一个未知数表示另一个未知数；

②把新的方程代入另一个方程，得到一元一次方程（代入消元）； ③解一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把这个未知数的值代入一次式，求出另一个未知数的值； ⑤检验，并写出方程组的解.

例3：方程组92x y y x ……①………②ì+=ï

ïí

ï=ïî 解：把②代入①得，29x x +=

3x 9= 3x =

把x=3代入②，得

6y =

所以，原方程组的解是3

6

x y ì=ïïí

ï=ïî 总结：解方程组的方法的图解：

练一练：

1、如果31014x y +=，那么x =________；

2、解方程组35,23 1.x y x y ì-=ïïíï-=ïî

3、解方程组31014101532x y x y ì+=ïïíï+=ïî

3、以⎩

⎨⎧-=-=5.05.1y x 为解的方程组是（ ）

A.

⎩⎨

⎧=-+=--0530

1y x y x B. ⎩⎨

⎧=++=+-0530

1y x y x C. ⎩⎨

⎧-=+=-y x y x 531

D. ⎩⎨

⎧=+=-5

31

y x y x 4、用代入消元法解下列二元一次方程组：

（1）23321y x x y =-⎧⎨

+=⎩ （2）⎩⎨

⎧-=-=+4

23

57y x y x （3） 23

3418

x y

x y ⎧=⎪

⎨⎪+=⎩

（2）加减消元法：

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相

减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

例4：解方程组

2x+5y=13 ① 3x-5y=7 ②

提示：①式中的5y 和②式中的-5y 是互为相反数的 分析：（2x ＋ 5y ）+（3x - 5y ）=13 + 7 ①左边+ ②左边 = ①左边+②左边 2x+5y +3x - 5y=20 5x+0y =20 5x=20

解：由①+②得: 5x=20

x ＝4 把x ＝4代入①，得 y ＝1 所以原方程组的解是 x=4

y=1

例5：解方程组

x--5y=7 ① x+3y=-1 ②

分析：观察方程组中的两个方程，未知数x 的系数相等，都是2．把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x ，同样得到一个一元一次方程．

解：把 ②－①得:8y ＝－8

y ＝－1 把y ＝－1代入①，得

2x －5×（－1）＝7 解得:x ＝1

所以原方程组的解是 x=1 y=-1

练一练：用加减消元法解下列二元一次方程组：

（1）⎩⎨

⎧=+=-13y x y x （2）⎩⎨

⎧=+=-83120

34y x y x （3）⎩⎨

⎧=+=-14

645

34y x y x

5.解二元一次方程组需要注意的几个问题：

（1）应重视加与减的区分

例6 解方程组⎩⎨

⎧=-=+②

①.

5n m 3,7n 2m 3

错解：①~②，得n ＝2。

分析与解：①~②，即57)n m 3()n 2m 3(-=--+。 去括号，得2n m 3n 2m 3=+-+。 合并同类项，得2n 3=，即3

2n =

。 把32n =

代入①，得9

17m =。 所以原方程组的解是⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==.32n ,9

17m

失误警示：学习了二元一次方程组的解法后，同学们会感到加减消元法比代入消元法方

便好用。但用加减消元法解方程组常常受到符号问题的困扰。解决问题的关键是要正确应用等式性质，重视加与减的区分。

（2）应重视方程组的化简