电动力学_16谐振腔与波导管
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二．理想导体边界条件
讨论 的理想导体(一般金属接近理想导体)。
（1假．由定一于它般边的界边穿为值透理深关想度系导体n，n0故（((H认E22为导1HE11体)) 内02J
）。
0，因此
只有面电流分布）
设
E1、H 1 ...
为导体的电磁场量，E2、H2 ... 为真空
dx 2 d 2Y
dy 2
kx2X 0 k y 2Y 0
d 2Z dz 2
kz2Z
0
u(x, y, x) (C1 cos kx x D1 sin kxx)
(C2 cos ky y D2 sin ky y) (C3 cos kz z D3 sin kz z)
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腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激
励信号频率 mnp 时，谐振腔才处于谐振态。
l
(m, n, p) 中不能有两个为零,若
m n 0则
E0
l 对每一组 (m, n, p) 值，有两个独立的偏振波型 （这是因为对于确定的 E可分解到任意两个方向。
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l 最低频率的谐振波型
x
x0 0
[C1kx sin kx x D1kx cos kx x][...] x 0 0
同理 y 0 Ex y0 0
C3 0
D1 0
z 0 Ex z0 0
C2 0
Ex A1 cos k x x sin k y y sin k z z A1 C1D2 D3
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（2）考虑 x L1 y L2 z L3
Ex A1 cos k x x sin k y y sin k z z
m、n、p 0,1, 2,3...
x L1 y L2
Ex x
xL1 0
E x yL2 0
sin kx L1 0 sin ky L2 0
kx L1 m ky L2 n
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（3）分离变量法求解
u(x, y, z) X (x)Y ( y)Z (z)
2 X YZ 2Y XZ 2 Z XY k 2 XYZ 0
x 2
y 2
z 2
1 2 X 1 2Y 1 2Z k 2 0 X x 2 Y y 2 Z z 2
d 2X
2．边界条件确定常数 u(x, y, x) (C1 cos kxx D1 sin kxx)
假定 u(x, y, z) Ex
(C2 cos ky y D2 sin ky y)
(C3 cos kz z D3 sin kz z)
（1）考虑 x 0，y 0，z 0
对 x 0 ， Ex
第四章第四节
谐振腔与波导管
§4 谐振腔
一．有界空间中的电磁波
1．无界空间中横电磁波（TEM波）
TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电 磁波。平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的 TEM波。
2．有界空间中的电磁波――边值问题
金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因 此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特 别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制 约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍 兹方程的解不再是平面波解。
z 0，z L3
O
x L1
L2
y
（2）设 u(x, y, z)为腔内 E 的任意一个直角分量
2E k2E 0
2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
(2Ex k 2Ex )i (2Ey k 2Ey ) j (2Ez k 2Ez )k 0
每个分量都满足
2u k 2u 0
z L3 Ex zL3 0
sin kzL3 0
kz L3 p
u Ey
E y A2 sin k x x cos k y y sin k z z
u Ez
Ez A3 sin kx x sin k y y coskz z
再由
E
0
k x A1 k y A2 k z A3 0
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布电场和磁场，只能向外辐射；又因趋肤效应，
使电磁能量大量损耗）。
用来产生高频振荡电磁波的一种装置由几个金属
板或反射镜（光学）构成，称为谐振腔。
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1．矩形谐振腔的驻波解
（1）由6个金属壁构成的空腔
z
L3
6 个面在 直角坐标 中表示为
x 0，x L1
y
0，y
L2
定 E 0
态 波
H
i
源自文库
E
n E 0
n H
理想导体 边值问题
2E k2E 0 E 0 nE 0 E n S 0
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三．谐振腔
低频电磁波可采用 LC 回路振荡器产生，频率
越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大（因
为
1 LC
，L、C 越小，电容电感不能集中分
或绝缘介质中的电磁场量，n:1 2。
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2．理想导体内部
E1 H1 0
则在界面上：
，用 E、H 代替
nnHE
0
E2、H 2
在介质中
E
0，应用到界面上有
（在界面上
E
Enn
）。
En 0 n
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3．理想导体为边界的边值问题
2E k 2E 0
设 L1 L2 L3 ，则最低谐振频率为
110
11 L12 L2 2
（1，1，0）型
Ex Ey
k
L1
ex
0
L2
Ez ey
A3
sin
L1
k E 0
x sin
y L2
E Ezez
为横电磁震荡
但在一般情况下， k E 0
mnp
k
kx2 ky2 kz2
[( m )2 ( n )2 ( p )2 ]1/ 2
L1
L2
L3
mnp
2
k
2[( m )2 L1
( n )2 L2
( p ) 2 ]1/ 2 L3
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（3）讨论
l 给定一组 (m, n, p) ，解代表一种谐振波型（在
3．谐振波型
（1）电场强度
两个独立常数 由激励谐振的 信号强度来确 定
E
x
E
y
E
z
A1
cos
m
L1
A2
sin
m
L1
A3
sin
m
L1
x sin n
L2
x cos n
L2
x sin n
L2
y sin y sin y cos
p
L3
p
L3
p
L3
z z z
m
L1
A1
n L2
A2
p L3
A3
0
（2）谐振频率（本征频率）：
二．理想导体边界条件
讨论 的理想导体(一般金属接近理想导体)。
（1假．由定一于它般边的界边穿为值透理深关想度系导体n，n0故（((H认E22为导1HE11体)) 内02J
）。
0，因此
只有面电流分布）
设
E1、H 1 ...
为导体的电磁场量，E2、H2 ... 为真空
dx 2 d 2Y
dy 2
kx2X 0 k y 2Y 0
d 2Z dz 2
kz2Z
0
u(x, y, x) (C1 cos kx x D1 sin kxx)
(C2 cos ky y D2 sin ky y) (C3 cos kz z D3 sin kz z)
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腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激
励信号频率 mnp 时，谐振腔才处于谐振态。
l
(m, n, p) 中不能有两个为零,若
m n 0则
E0
l 对每一组 (m, n, p) 值，有两个独立的偏振波型 （这是因为对于确定的 E可分解到任意两个方向。
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l 最低频率的谐振波型
x
x0 0
[C1kx sin kx x D1kx cos kx x][...] x 0 0
同理 y 0 Ex y0 0
C3 0
D1 0
z 0 Ex z0 0
C2 0
Ex A1 cos k x x sin k y y sin k z z A1 C1D2 D3
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（2）考虑 x L1 y L2 z L3
Ex A1 cos k x x sin k y y sin k z z
m、n、p 0,1, 2,3...
x L1 y L2
Ex x
xL1 0
E x yL2 0
sin kx L1 0 sin ky L2 0
kx L1 m ky L2 n
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（3）分离变量法求解
u(x, y, z) X (x)Y ( y)Z (z)
2 X YZ 2Y XZ 2 Z XY k 2 XYZ 0
x 2
y 2
z 2
1 2 X 1 2Y 1 2Z k 2 0 X x 2 Y y 2 Z z 2
d 2X
2．边界条件确定常数 u(x, y, x) (C1 cos kxx D1 sin kxx)
假定 u(x, y, z) Ex
(C2 cos ky y D2 sin ky y)
(C3 cos kz z D3 sin kz z)
（1）考虑 x 0，y 0，z 0
对 x 0 ， Ex
第四章第四节
谐振腔与波导管
§4 谐振腔
一．有界空间中的电磁波
1．无界空间中横电磁波（TEM波）
TEM波：电场和磁场在垂直传播方向上振动的电 磁波。平面电磁波在无界空间中传播时就是典型的 TEM波。
2．有界空间中的电磁波――边值问题
金属一般为良导体，电磁波几乎全部被反射。因 此，若空间中的良导体构成电磁波存在的边界，特 别是若电磁波在中空的金属管中传播，金属边界制 约管内电磁波的存在形式。在这种情况下，亥姆霍 兹方程的解不再是平面波解。
z 0，z L3
O
x L1
L2
y
（2）设 u(x, y, z)为腔内 E 的任意一个直角分量
2E k2E 0
2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
(2Ex k 2Ex )i (2Ey k 2Ey ) j (2Ez k 2Ez )k 0
每个分量都满足
2u k 2u 0
z L3 Ex zL3 0
sin kzL3 0
kz L3 p
u Ey
E y A2 sin k x x cos k y y sin k z z
u Ez
Ez A3 sin kx x sin k y y coskz z
再由
E
0
k x A1 k y A2 k z A3 0
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布电场和磁场，只能向外辐射；又因趋肤效应，
使电磁能量大量损耗）。
用来产生高频振荡电磁波的一种装置由几个金属
板或反射镜（光学）构成，称为谐振腔。
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1．矩形谐振腔的驻波解
（1）由6个金属壁构成的空腔
z
L3
6 个面在 直角坐标 中表示为
x 0，x L1
y
0，y
L2
定 E 0
态 波
H
i
源自文库
E
n E 0
n H
理想导体 边值问题
2E k2E 0 E 0 nE 0 E n S 0
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三．谐振腔
低频电磁波可采用 LC 回路振荡器产生，频率
越高，辐射损耗越大，焦耳热损耗越大（因
为
1 LC
，L、C 越小，电容电感不能集中分
或绝缘介质中的电磁场量，n:1 2。
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2．理想导体内部
E1 H1 0
则在界面上：
，用 E、H 代替
nnHE
0
E2、H 2
在介质中
E
0，应用到界面上有
（在界面上
E
Enn
）。
En 0 n
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3．理想导体为边界的边值问题
2E k 2E 0
设 L1 L2 L3 ，则最低谐振频率为
110
11 L12 L2 2
（1，1，0）型
Ex Ey
k
L1
ex
0
L2
Ez ey
A3
sin
L1
k E 0
x sin
y L2
E Ezez
为横电磁震荡
但在一般情况下， k E 0
mnp
k
kx2 ky2 kz2
[( m )2 ( n )2 ( p )2 ]1/ 2
L1
L2
L3
mnp
2
k
2[( m )2 L1
( n )2 L2
( p ) 2 ]1/ 2 L3
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（3）讨论
l 给定一组 (m, n, p) ，解代表一种谐振波型（在
3．谐振波型
（1）电场强度
两个独立常数 由激励谐振的 信号强度来确 定
E
x
E
y
E
z
A1
cos
m
L1
A2
sin
m
L1
A3
sin
m
L1
x sin n
L2
x cos n
L2
x sin n
L2
y sin y sin y cos
p
L3
p
L3
p
L3
z z z
m
L1
A1
n L2
A2
p L3
A3
0
（2）谐振频率（本征频率）：