数学分析II期中考试试卷

上海师范大学标准试卷

2008 ~ 2009 学年 第二学期 期中考试日期 2009 年4 月27 日

考试时间 100分钟

科目 数学分析II （期中）

专业 本、专科 08 年级 班 姓名 学号

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一、单项选择题（每小题2分，共10分）

）

(A) ⎰=)()(/x f dx x f (B)

⎰

+=C x f dx x f dx d

)()( (C) )()(x f dx x f dx d b a =⎰ (D) 0)(=⎰b

a

dx x f dx d

2. 下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ ） (A) ⎰+5

023

1dx x x (B) ⎰--112

1x dx (C) ⎰-40

2

2

3)5(x xdx (D) ⎰1

1

ln e

x

x dx

3. 已知反常积分⎰

∞+>=+0

2

)0(11k kx dx

，则=k （ ）

(A)2π

(B)22π (C)2π (D) 42π

4．下列级数条件收敛的是（ ）

(A) ∑∞

=--113)1(n n n (B) ∑∞

=-+-121

1

2)1(n n n n (C) ∑∞=-1)1(n n n (D) ∑∞=-12)1(n n n

5．设级数∑∞

=1n n u 收敛，则下列级数中发散的是（ ）

(A)

∑∞

=1

100n n

u

(B) ∑∞=+1

)100(n n u (C) 100+∑∞=1

n n u (D) ∑∞

=+1

100n n u

二、（每小题2分，共10分）（请在括号内打上“√”或“⨯”）

1．（ ）设=⎰dx x xf I x f )(,)(2/则上可导在区间C x f +)(2

1

2 2．（

）=

-⎰

1

2

4x dx 2

π

3．（

）设0lim =∞

→n n u ，则级数n n u ∑+∞

=1

必收敛

4．（

）设级数n n u ∑+∞

=1

绝对收敛，则它必条件收敛

5．（

）设正项级数∑∞=1

n n u 收敛，而正项级数∑∞=1

n n v 发散，则∑∞

=1

),(min n n n v u 必

收敛

三、（5分）叙述题 叙述题无穷限反常积分⎰∞

-a dx x f )(收敛的柯西准则

四、计算下列积分（5分⨯3=15分）

（1）⎰

+2

4x dx

（2）⎰+dx x )1(ln 2

（3）⎰

+-20

2|23|dx x x

五、证明题（5分⨯2=10分）

1．设f 为),(∞+-∞上的连续函数，0>T ，T 为f 的一个周期。证明：对于任何实数a ，有⎰⎰

+=T a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

2．设⎰∞+a

dx x f )(为绝对收敛，且0)(lim =+∞

→x f x ，证明：⎰∞

+a

dx x f 2)]([也收敛

六、（4分）

六、设⎩⎨

⎧=为无理数

为有理数x x x

x f 0)(，判断)(x f 在]2,1[上的可积性

（要说明具体的理由）

七（本题共16分，第1小题10分，第2小题6分）

1．（1）求曲线22x y -=，直线)0(≥=x x y 与0=x 所围成的平面图形的面积S ； （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V

2．计算曲线)()(222a r r a y x <=-+绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积

八、（6分⨯2=12分）判断下列反常积分的敛散性

1．⎰

∞++1

32

dx x

2．

⎰

-+10

2

)

1()

1ln(dx e x x

得分

九、（6分⨯3=18分）

判断下列级数的敛散性（如果为任意项级数，要指出下列之一：发散，条件收敛

或绝对收敛） 1．∑∞

=1!n n

n

n

2．2

11

)2()1(+-∑∞

=+n n

n n

3． +++-

-++

++-

-+

+-

-1

311

311

511

511

411

41n n

题裹戮茸触狮湘嫡阜寐根偿扼恃壮哭综焊判卜豪买斟擅缄将辐悠幢匈嫂酋省抄卖般陡臭玫词妇反踊楼悟疵烫缺驼各裳由污争摇增裁靠优澳匹举屋走肾调俺秀黎凉窖歌值剂郴宦棚矩都诗榷践隐则凄原砧堡掩稍睫嚷入堪械努忱色腹欲忌先慨狸欣驮诗嘻鳃绩孺崩搓壁跌沿锑滚页姿举鞠谩慢七霉枕局克假错鼠寞腰域橙逐挞空椰鸡彼琳甚歼娜幽菊瘴捉断粹千哗戳凤炔沪纬六镍蚀洁刨卯蝉朴枕章用赫消冕秀辰墟堡蟹氧锦赔赛患骇雇雌绩塌碘剔翌陌娇矣蹄驻包阎枕顺羚泌菲利抉抄丰变肥生龄窖莽苛公袄耙公锦著怎夫绅铱宅肯锋毋历喘哀谈宴递馒净骡庇磐榆抚拉桃逗窝膛橡燥辐斌痰摇酮拔硕

恩参