求数列极限的方法

求数列极限的方法

摘

要

极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

关键词：极限、数列

1、预备知识

数列极限：

设是一数列，如果存在常数a ，当n 无限增大时，n a 无限接近（或趋近）于a ，则称数列收敛，a 称为数列的极限，或称数列收敛于a ，记为lim n →∞n a =0

a 或：n a →a ，当n→∞。

数列极限的ε-N 定义

设{n a }是一个数列，a 事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数N 使得当n ＞N 时，就有│n a -a │＜ε，则称数列n a 收敛于a ，a 称为它的极限，记作

lim n →∞

n x = a 或n x →a （n→∞） 读作：“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等

于a ”或“当n 趋于无穷大时，n a 趋于a ”。lim 为拉丁文limes 一词的前三个字母，也有说成是英文limit 一词的前三个字母的。若数列{n a }没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。

数列极限的性质：

1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；

2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是，

如果一个数列有界，这个数列未必收敛。

3.保号性：如果一个数列{n x }收敛于a ，且a>0（或a<0)，那么存在正

整数N ，当n>N 时，都有n x >0(或n x <0)。

4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

2．数列极限的方法探求

2.1几个常用数列的极限：

求解策略：熟记常见极限的结论，如

101101

lim k k k k k k k n k

k k a n a n a a b b n b n b ---→∞-+++=++

+

lim n C C

→∞

=

lim 0n n q →∞

=（│q │<1）, 1lim 1n

n e n →∞

⎛⎫+= ⎪⎝⎭

2.2利用定积分求数列极限

通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。

例1 求2

2221

1

122lim

arctan arctan ...arctan x n n n n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦

解： 将1

n

提出，则原和式可改写为

11122arctan arctan ...arctan n n n X n n n n n n n ⎡⎤

=

+++⎢⎥⎣⎦

它可以看作是函数arctan x x 在区间[]0,1上的积分和，

所采用的是n 等分[]0,1区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。因此

221

120011lim arctan arctan 22142n x x x I X X dx dx x π→∞===-=-+⎰⎰10│

例2 求()1

1

lim !(2)!n

n

n n n n --→∞

⎡⎤⎣⎦

解： 原式

= n = n+1)(n+2)

(2n)

n

= 112

n lim (1)(1)

1n

n n n n →∞⎡⎤

⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦

= 11exp(lim ln(1))n

n i i

n

n →∞=+∑

=1

exp(ln(1))x dx +⎰

= exp(2ln 21)-

注1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。

结论1 若lnf(x)在[]0,1上可积，则11lim ()n

n

n i i e n →∞

=⎡

⎤=⎢⎥⎣⎦

∏ 10ln ()f x dx ⎰

2.3利用四则运算法则求数列极限

若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n a + n b }，{ n a - n b }，{ n a n b }也都是收敛数列，且有

()lim lim lim n n n n

n n n a b a b →∞

→∞

→∞

±=± ()

lim lim lim n n

n n

n n

n a b a b →∞→∞→∞=

例:3

求

n

解：

=

=

由1

1n

+

→∞， ()n →∞

得n

= x 1

2 2.4 利用重要极限求数列的极限

两个重要极限分别为 （1）0sin lim 1x x x →= （2）1lim 1n

n e n →∞⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

例4 求2

2lim 1n n →∞

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

解 ： 2lim 1n

n n →∞

⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

= 2

222lim 1n

n e n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

2.5 利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N ,当n N >时，有n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a

→∞

→∞

==则有 lim n n x a →∞

=.

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例5

：2

1n x n =+

++

+n x 的极限

解：因为n x

单调递减，所以存在最大项和最小项

.......n x

≥

+

=

.......n x

≤

+

=

n x ≤≤