求数列极限的方法

求数列极限的方法
摘
要
极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。

极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。

两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。

本文主要研究数列极限。

在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

关键词：极限、数列
1、预备知识
数列极限：
设是一数列，如果存在常数a ，当n 无限增大时，n a 无限接近（或趋近）于a ，则称数列收敛，a 称为数列的极限，或称数列收敛于a ，记为lim n →∞n a =0
a 或：n a →a ，当n→∞。

数列极限的ε-N 定义
设{n a }是一个数列，a 事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数N 使得当n ＞N 时，就有│n a -a │＜ε，则称数列n a 收敛于a ，a 称为它的极限，记作
lim n →∞
n x = a 或n x →a （n→∞） 读作：“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等
于a ”或“当n 趋于无穷大时，n a 趋于a ”。

lim 为拉丁文limes 一词的前三个字母，也有说成是英文limit 一词的前三个字母的。

若数列{n a }没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。

数列极限的性质：
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；
2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。

但是，
如果一个数列有界，这个数列未必收敛。

3.保号性：如果一个数列{n x }收敛于a ，且a>0（或a<0)，那么存在正
整数N ，当n>N 时，都有n x >0(或n x <0)。

4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

2．数列极限的方法探求
2.1几个常用数列的极限：
求解策略：熟记常见极限的结论，如
101101
lim k k k k k k k n k
k k a n a n a a b b n b n b ---→∞-+++=++
+
lim n C C
→∞
=
lim 0n n q →∞
=（│q │<1）, 1lim 1n
n e n →∞
⎛⎫+= ⎪⎝⎭
2.2利用定积分求数列极限
通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。

例1 求2
2221
1
122lim
arctan arctan ...arctan x n n n n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦
解： 将1
n
提出，则原和式可改写为
11122arctan arctan ...arctan n n n X n n n n n n n ⎡⎤
=
+++⎢⎥⎣⎦
它可以看作是函数arctan x x 在区间[]0,1上的积分和，
所采用的是n 等分[]0,1区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。

因此
221
120011lim arctan arctan 22142n x x x I X X dx dx x π→∞===-=-+⎰⎰10│
例2 求()1
1
lim !(2)!n
n
n n n n --→∞
⎡⎤⎣⎦
解： 原式
= n = n+1)(n+2)
(2n)
n
= 112
n lim (1)(1)
1n
n n n n →∞⎡⎤
⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
= 11exp(lim ln(1))n
n i i
n
n →∞=+∑
=1
exp(ln(1))x dx +⎰
= exp(2ln 21)-
注1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。

结论1 若lnf(x)在[]0,1上可积，则11lim ()n
n
n i i e n →∞
=⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
∏ 10ln ()f x dx ⎰
2.3利用四则运算法则求数列极限
若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n a + n b }，{ n a - n b }，{ n a n b }也都是收敛数列，且有
()lim lim lim n n n n
n n n a b a b →∞
→∞
→∞
±=± ()
lim lim lim n n
n n
n n
n a b a b →∞→∞→∞=
例:3
求
n
解：
=
=
由1
1n
+
→∞， ()n →∞
得n
= x 1
2 2.4 利用重要极限求数列的极限
两个重要极限分别为 （1）0sin lim 1x x x →= （2）1lim 1n
n e n →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
例4 求2
2lim 1n n →∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
解 ： 2lim 1n
n n →∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
= 2
222lim 1n
n e n →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
2.5 利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N ,当n N >时，有n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a
→∞
→∞
==则有 lim n n x a →∞
=.
利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例5
：2
1n x n =+
++
+n x 的极限
解：因为n x
单调递减，所以存在最大项和最小项
.......n x
≥
+
=
.......n x
≤
+
=
n x ≤≤
又因为lim
1n n →∞
==
lim 1n n x →∞
=
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例6 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ====+++
+
证明：从这个数列构造来看
n y 显然是单调增加的。

用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。

两端除以n y
得1n n
a
y y <
+
因为1n y y ≥
则
n
a y ≤
从而11n a
y +≤
1n y ≤≤
即 n y 是有界的。

根据定理{y }n 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l →∞= 则 2
1lim lim()n
n n n y y a -→∞→∞
=+ 则2l l a
=+ 因为 0n y > 解方程得 1
2
l =
所以 lim n n y l →∞
==
2.6几类特殊数列极限的求法
（1）公式型
若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，公比q 满足│q │<1，则1
lim 1n n a S q
→∞
=
- 例7 若数列{}n a 的通项是()()
()3213212
n
n n n n n a n ----++--=
≥，则求
()
12lim n n a a a →∞
++
+
解： 2,3,n n n n n a ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭--⎧⎪⎨⎪⎩=为奇数为偶数 则{}
21n a -是等比数列，且其首项为
12，公比为1
4; {}
2n a 是等比数列，且其首项为19，公比为1
9。

所以 ()1211
19
92lim 1124
1149
n n a a a →∞+++=+=--
（2）分式型
分子、分母同除以某代数式，使之符合极限的运算法则。

若分子、分母事多
项式，则分子、分母同除以n 的最高次幂，然后利用1
lim 0k n n
→∞=（k>0）来求极限；
若分子、分母含指数式，则分子、分母同初除以底数的绝对值大的项，然后利用
lim 0n n q →∞
=（│q │<1）来求极限。

例8 求()
222223411123lim n
n n C C C C n C C C →∞+++++++ 解： ()()2
2223234
1
116
n n n n n C C C C C
++-+++
+==
，
()()()()
11
1
2321232n n n n n C C C n n +-++
+=++
+=
则原式= ()1
111lim
lim 2323
31x x n n n n →∞→∞+
+==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（3）无理式型
一般是先有理化，然后利用极限的运算法则
例9 已知a 、b
为常数，且()
lim 1n bn →∞
=，求a 、b 的值
解：
lim n bn →∞⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
=
2
2222
2lim
n a b n a n a -++
= (
)2
2
2
2
2n a a b n a -++
则22220,1,a b ⎧⎪⎪⎨-=
解得 a= , b=4
（4）和型或积型
对和型或积型，应先求和或求积，再求极限
例10 求1
23212lim 11111n n n n n n n n →∞-⎛⎫
-+-+
-
⎪+++++⎝
⎭
的值 解： 原式= 1234212lim 111111n n n n n n n n n →∞
⎡-⎤
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
= 1lim 11n n n →∞-⎛⎫
⨯=-
⎪+⎝⎭
（5） 递推型
已知数列的递推式求数列的极限，一般对递推式两边取极限，利用
11lim lim lim n n n n n n a a a +-→∞
→∞
→∞
==构造方程求解；也可求出递推数列的通项公式后，再求
极限。

例11 已知a>0，数列{}n a 满足()111
0,1n n
a a a n a +==+
≥。

若{}n a 的极限存在且大于0，求A= lim n n a →∞
（将A 用a 表示）。

解： lim n n a →∞
存在，且A= lim n n a →∞
，A>0，
对11
n n
a a a +=+两边取极限， 得1A a A
=+
，
解得 2a A =。

又 A>0，则2
a A =。