第九章 色数

第九章色数

教学安排的说明

章节题目：补充:对偶图；§9.1 独立集；§9.2 顶点着色；§9.3边着色；§4.4 色多项式；补充：List着色

学时分配：对偶图0.5课时

§9.1 独立集；0.5课时

§9.2 顶点着色；2课时

§9.3 边着色；1课时

§4.4 色多项式；0.5课时

补充：List着色0.5课时

本章教学目的与要求：了解四色定理的历史及色数问题的有关理论，会正确表述关于色数的一些基本概念（如独立集、顶点着色、边着色、色数色多项式等），理解色数理论在实际生活中的应用。

其它：由于增加了部分内容、例题和练习，因此授课内容与教材不完全一致。

课堂教学方案

课程名称：补充:对偶图；§9.1 独立集；§9.2 顶点着色

授课时数：3学时

授课类型：理论课

教学方法与手段：讲授法

教学目的与要求：了解四色定理的历史及色数问题的有关理论，会正确表述关于色数的一些基本概念（如独立集、顶点着色等）

教学重点、难点：重点为图的对偶图、顶点着色、边着色的概念及相关的结论；图的色数的求法，难点为对偶图的定义

教学内容：

引例：四色问题

平面图的着色问题，最早起源于地图的着色。1852年，英国青年盖思瑞（Guthrie）提出了地图着色问题：在一张地图中，给地图的各地域着色，要使邻接的地域具有不同的颜色，至少需要多少种颜色？邻接是指它们有一段公共边界。他提出用四种颜色可以对地图着色的猜想（以下简称四色猜想），但他未能加以证明。1879年肯普（Kempe）给出了这个猜想的第一个证明，但到1890年希伍德（Hewood）发现肯普证明是有错误的，然而他指出了肯普的方法虽不能证明地图着色用四种颜色就够了，但却可以证明用五种颜色就够了，即五色定理成立。此后四色猜想一直成为图论中的难题。许多人试图证明猜想都没有成功。直到1976年这个貌似简单但却极为困难的问题才由美国数学家阿佩尔（K.Appel）和哈肯(W.Haken)利用计算机进行了证明，他们的方法是对所有可能出现的情形进行逻辑分类和穷举，这种异常繁冗的工作，只靠人用手工进行是根本无法胜任的。在分析了近2000种图形和100万种情况，花费了1200个机时，进行了100多亿个逻辑判断，从此四色猜想就被人们称之为四色定理。

但是，不依靠计算机而直接给出四色定理的证明，仍然是数学界的一个令人困惑的问题。于是，这给后人留下了一个著名的难题——四色问题，它至今未得到证实或否定。

当把着一种颜色的区域看作点，有公共边的区域看作邻接的点时，地图着色问题很明显可以用展布在平面上的图的面着色来刻划。为了便于讨论，引进对偶图这个概念，从而把平面图的面着色问题转换为相应的顶点着色问题。因此，四色问题可以归结为证明：对任意平面图一定可以用四种颜色，对其顶点进行着色，使得邻接顶点都有不同颜色。同时可看出，着相同颜色的点一定两两不邻接，于是引进独立集这个概念。

预备知识：对偶图

定义 对连通平面图G 实施下列步骤所得到的图G*称为G 的对偶图（dual of graph ）：

（1）在G 的每一个面i f 的内部任取一点*i v 作为G*的顶点。

（2）若G 中面i f 与j f 有公共边界，那么过边界的每一边k e 作关联*i v 与*j v 的一条边*k e 。*k e 与G*的其它边不相交。

（3）当k e 为面i f 的边界而非i f 与其它面的公共边界时，作*i v 的一条环与k e 相交（且仅交于一处）。所作的环不与G*的边相交。

从对偶图的定义可以看出，若***,G V E =〈〉是平面图,G V E =〈〉的对偶图，则G

也是*

G 的对偶图。

例 图1（b ）是（a ）的对偶图。（b ）中虚线部分表示原图（a ），实线部分则

是（a）的对偶图。

（a）(b)

图1

例图2（a），（b）中实线部分是两个同构的图（图示不同），（a），（b）中虚线部分分别表示它们的对偶图，这两个图是不同构的，（a）中对偶图有5度顶点，（b）中对偶图却没有。

(a) (b)

图2

再如，在图3中，G的边和顶点分别用实线和“”表示，而它的对偶图*G的边和顶点分别用虚线和“· ”表示。

图3

注意，当1G ，2G 为同构图的两种不同图时，那么它们的对偶图*1G 与*2G 不仅图示不同，而且可能是根本不同的图（不同构）。这就是说，一个图的对偶图未必是唯一的。

定理 一个连通平面图G 的对偶图*

G 也是平面图，而且有 *E E =，*V F =，*F V =， ()()

**deg deg i G i G v f =，**(),i i f F G v V ∈∈ 其中,,V E F 和***,,V E F 分别是G 和*G 的顶点数，边数和面数。

证明 由对偶图的构造过程可知，G*也是连通的平面图，且*E E =，*V F =，和()()**deg deg i G i G v f =显然成立，下证*F V =。因为G 和*

G 均是连通的平面图，所以由欧拉公式有

2V E F -+= ***2V E F -+=

代入即得*F V =。

上述定理可表述为：

（1）图G 的面与G*的顶点一一对应，且G 中面的度等于G*中对应顶点的度 。

（2）G 中两个面有公共边界，当且仅当G*中对应顶点之间有边关联。

（3）G 为平面图当且仅当G*为平面图。

定义 若图G 的对偶图*

G 同构于G ，则称G 是自对偶图(Self-dual Graph)。

例如，图4给出了一个自对偶图。

图4

定理 若平面图,G V E =〈〉是自对偶图，且有n 个顶点，m 条边，则()21m n =-。

证明 由欧拉公式知

2n m r -+=

由于图,G V E =〈〉是自对偶图，则有n r =，从而有22n m -=，即()21m n =-。 从对偶图的定义容易知道，对于地图的着色问题，可以化为一种等价的对于平面图的顶点的着色问题。因此，对于图的面着色问题，可以通过研究其对偶图的顶点着色问题来解决。以下讨论图的顶点着色问题。

§9.1 独立集

定义9.1.1：若S 为图G 的顶点集合的子集，且S 中任两点在G 中不邻接，则称S 为G 的一个独立集

独立集S 称为最大的，如果不存在S’，使|S’|>|S|。最大独立集中顶点的个数称为G 的独立数，记作()0G α。例如图5G'中，黑色的点构成了最大独立集，而白色的点不是独立集但却是最小覆盖集；图G 的点集与G'一样，而边集E 则是E'的补集，在G 中黑色的点一定不构成最大独立集