《义务教育数学课程标准》(2011年版)

《义务教育数学课程标准》（2011年版）
解读——小学数学
2011年12月28日，教育部正式公布了《义务教育阶段数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），并于2012年秋季开始执行。

这意味着2001年公布的义务教育阶段数学课程标准（实验稿）将完成它的历史使命，随之而来的，就是教材的改革，数学课程改革也必将进入一个新的发展阶段。

对修订版数学课程标准的学习和研究也将成为数学教育工作者们当前的头等大事。

经过几年来对数学课程标准修订情况的跟踪研究以及对数学课程标准（2011年版）的深入研读，我认为修订版是对实验稿的继承和发扬，改进与完善，但又不乏创新之举，让人读来眼前一亮，对数学与数学教育的意义与价值的定位更准确，对学生思维能力和创新能力的培养目标的要求更明晰，对学习方式、教学方式等教学策略与手段的指导更明确，对课程内容的调整更合理。

与2001年版相比，数学课程标准从基本理念、课程目标、内容标准到实施建议都更加准确、规范、明了和全面。

具体变化为如下几个方面：
一、总体框架结构的变化
2001年版分四个部分：前言、课程目标、内容标准和课程实施建议。

2011年版把其中的“内容标准”改为“课程内容”。

前言部分由原来的基本理念和设计思路，改为课程基本性质、课程基本理念和课程设计思路三部分。

二、关于数学观的变化
2001年版：
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

2011年版：
数学是研究数量关系和空间形式的科学。

数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

三、基本理念“三句”变“两句”，“6 条”改“5条”
2001年版“三句话”：
“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

”
2011年版“两句话”：
“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

”
“6条”改“5条”：
在结构上由原来的6条改为5条，将2001年版的第2条关于对数学的认识整合到理念之前的文字之中，新增了对课程内容的认识，此外，将“数学教学”与“数学学习”合并为数学“教学活动”。

2001年版：数学课程——数学——数学学习——数学教学活动——评价——现代信息技术
2011年版：数学课程——课程内容——教学活动——学习评价——信息技术
四、四个领域名称的变化
2001年版：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用。

2011年版：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。

（将空间与图形改为图形与几何，首先点明了这部分内容的研究对象——图形，既包括立体图形也包括平面图形。

同时，《标准》分为了“图形的认识”、“测量”、“图形的运动”、“图形与位置”等四个线索，实际上是从不同角度刻画图形，包括图形的形状、大小、运动和位置。

同时，这四个线索也体现了研究几何的几种方法：综合推理、度量、变换和坐标。

在运用多种方法研究的过程中形成了概念、性质等体系，也就是“几何”的内容。

简单说，图形是几何的研究对象。

）
五、“双基”变“四基”
2001年版：“双基”：基础知识、基本技能；
2011年版：“四基”：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

并把“四基”与数学素养的培养进行整合：
掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验。

六、标准明确提出“发现问题、提出问题能力”的培养，与原有的“分析问题、解决问题能力”的目标共同组成了“两能”；
七、调整和界定了10个数学课程中的核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，以及应用意识和创新意识；
八、进一步完善了基本理念，明确了重要的学习方式与教学方式，并对学生良好的学习习惯等情感态度目标做了细致描述；
九、第一、二学段一些具体课程内容的调整与修改更加符合学生的年龄特点以及教学实际，使得数学课程内容的安排更趋合理。

在研读标准的过程中，几个方面的重要变化给我留下了深刻的印象。

一、从“双基”到“四基”——“十年数学课程改革最重要的收获”修订后的数学课程标准在总目标中明确指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。

这是在实验稿基础上对传统“双基”（即基础知识和基本技能）的重要发展，虽然实验稿中的总目标也出现过“数学活动经验”和“数学思想方法”，但没有象修订稿这样明确地把这四方面的目标并列起来、做为统一要求。

这说明标准修订专家组在充分肯定基础知识和基本技能（双基）是我国数学教育的传统优势的同时，更加关注到基本思想和基本活动经验
应该是数学素养的重要组成部分，它们不仅是学生当前数学学习和发展的需要，更是学生未来学习和终身发展所必需的。

获得“四基”，可以看作是学生得到良好数学教育的集中体现，它关系到学生当前学习和长远发展。

这是对“双基”的继承和发展，必将推动我国基础教育阶段数学课程改革的深入发展。

课标研制组专家孙晓天教授则把“四基”的提出誉为“十年数学课程改革最重要的收获”，“是这一轮数学课程改革取得的最重要、最具成长性的标志性成果”。

我们知道，提出基本思想、基本活动经验的最重要的原因，是要切实提高学生的数学能力，着力培养创新型人才。

而创新意识和创新能力的形成，不仅仅依靠熟练的知识和技能为基础，更需要思想方法的指引和活动经验的积累。

也就是说，要创新，需要具备知识技能、需要掌握思想方法、需要积累有关经验，几方面缺一不可。

正如史宁中教授所说：“创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。

”
那么，什么是数学的基本思想，什么是数学基本活动经验，他们的内涵和外延如何界定？《标准》并没有对此进行深入说明，研究者目前也没有形成一个统一的观点，这也给了研究者更大的研究和讨论的空间。

相信在研究者与实践者的共同努力下，一定会取得一个基本的共识。

l 关于基本思想
我们知道，在小学阶段学生在学习过程中接触到的数学思想有很多，
比如分类思想、转化思想、数形结合思想、类比思想、归纳思想、方程思想等等，在众多数学思想中，哪些属于基本思想呢？基本思想应该有哪些特征和功能？这些基本思想对不同年龄阶段的学生会表现出怎样的理解和接受状态，在教学中应该渗透到何种程度，达到什么样的目标要求才算适宜？这些都是我们下一步的教学实践与理论研究要重点解决的问题。

史宁中教授曾在报告中指出，基本思想主要是指演绎和归纳，是最上位的思想。

这里所说的思想，是大的思想，不仅仅是在数学学科中，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想。

同时，他也强调，如果站在数学学科的角度来看，数学的基本思想有三个：抽象、推理、模型。

人们通过抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；
通过推理，进一步得到更多的结论，促进数学内部的发展；
通过建模，把数学应用到客观世界中，沟通了数学与外部世界的桥梁。

比如，由数量抽象到数，由数量关系抽象到方程、函数（如正反比例）等；通过推理计算可以求解方程；有了方程等模型，就可以把数学应用到客观世界中。

沛教授则认为，“数学的基本思想，主要可以有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想和数学审美的思想。

” [3]相较史宁中教授的观点，又增加了“数学审美的思想”，并认为“通过数学审
美，看到数学‘透过现象看本质’、‘和谐统一众多事物’中美的成份，感受到数学‘以简驭繁’、‘天衣无缝’给我们带来的愉悦，并且从‘美’的角度发现和创造新的数学。

”
上述这些基本思想应该属于数学思想的最高层面，由其演变、派生、发展出来的数学思想还有很多，比如：分类思想、集合思想、符号思想，归纳思想、演绎思想、数形结合思想、化归思想，方程思想、函数思想等等。

在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。

如等量代换法、数学归纳法、换元法、配方法、列表法等等。

数学方法不同于数学思想，数学思想往往是观念的、普遍的、深刻的、一般的、内在的，而数学方法往往是操作的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。

数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想。

教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。

对数学基本思想的研究，我们可以先从这些与具体内容紧密结合的具体的数学思想入手。

通过让学生积极参与数学活动，在活动中独立思考、合作交流，不断积累数学活动经验，经历知识的形成过程，进而逐步感悟、领会这些思想。

但引导学生通过知识的学习感悟数学思想，并不依赖于知识本身的难度。

同时，
对数学思想的渗透与感悟尤其要考虑到小学生的年龄特点，符合思维发展的规律。

1.关于基本活动经验
对于数学基本活动经验的内涵，目前学者们也是各抒己见。

张奠宙教授指出：“数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。

大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验）、专门设计的数学活动经验（由纯粹的数学活动所获得的经验）、意境联结性数学活动经验（通过实际情景意境的沟通，借助想象体验数学概念和数学思想的本质）。

”徐斌艳教授认为：“我们还可以将基本活动经验进一步细化，它包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验；发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验。

”
孔凡哲教授认为：“基本活动经验”是指“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。

”
王新民等学者则认为，“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识。

”
尽管不同学者对数学基本活动经验的描述有所不同，但基本都是指向于“学习者在数学活动中所形成的对当前以及后续学习能够产生积极作用的经历、体验。

”基本都是趋同于
第一，基本活动经验建立在生活经验基础上。

第二，是在特定数学活动中积累的。

第三，其核心是如何思考的经验。

第四，最终帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。

这里反思和迁移是重要的。

比如，我在国外教材中看到过这样的问题：“今天你学习的方法在以前哪里用过？今后可能用到什么地方”。

这样的问题就是在帮助学生实现迁移。

本人比较倾向王新民等学者对数学活动经验的阐述，尤其是他们对“感性知识、情绪体验和应用意识”的解读，并关注到了学生在活动中所获得的非智力因素方面的体验，更加全面、深入、细致。

“感性知识是指具有学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严格的数学知识；情绪体验是指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习活动中获得的成功体验、对数学严谨性与数学结果确定性的感受以及对数学美的感受与欣赏等；应用意识包括“数学有用”的信念、应用数学知识的信心、从数学的角度提出问题与思考问题的意识以及拓展数学知识应用领域的创新意识，而且应用意识是数学基本活动经验的核心成分。

”
在数学学习中，并不是所有的知识都需要学生亲自去探索，亲历知识形成的过程，而是要选择那些蕴含丰富数学思想的数学知识，精心设计数学活动，让学生在探索中积极数学活动经验，感悟数学思想。

我们也应该清醒地认识到，数学思想的形成不同于知识与技能的教学，它不是一蹴而就的，也不是靠难度和过早的抽象化、形式化就能“速
成”的，它是需要学生慢慢理解、逐步感悟的，是需要建立在一定的数学活动经验基础上的再认识、再深化的不断内化过程。

在教学中，我们在重视“四基”目标整体实现的同时，一定要避免走入形式化倾向，走向“唯思想”、“唯经验”的另一个教学极端。

二、“两能”——创新能力形成的源动力
《标准》明确提出“发现问题、提出问题能力”的培养，与原有的“分析问题、解决问题能力”的目标共同组成了“两能”；
解决问题是数学活动的标志，也是产生数学知识的一个主要途径。

没有解决问题的能力，数学思想、知识和技能的作用将会非常有限。

培养学生解决问题的能力始终是数学教育应当重视的重要议题。

修订后的数学课程标准在总目标第2条中特别指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能：体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

与实验稿相比，由过去一贯注重“分析问题和解决问题能力的培养”，发展到要“增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力”，特别将“发现问题和提出问题的能力”在总目标中明确提出，并将原来总目标中四个方面之一的“解决问题”改为“问题解决”。

充分表明了数学学习中问题的重要性，“问题是数学的心脏”，发现问题和提出问题是学生数学问题意识的具体体现，是创新的前提。

分析问题和解决问题固然重要，但发现和提出问题更是培养学生创新意识所急需的。

《标准》在对“创新意识”这一核心概念的阐述中明确指出：学生自己发现和提出问题
是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

“两能”强化问题意识，这正是创新能力形成的源动力，充分体现了课程改革的理念，将有助于在基础教育阶段发展学生的创新意识和创新能力，对培养创新型人才有着重要的现实意义。

与美国的“问题解决标准”对比，会发现我们的标准要求的比美国高。

其中“创新意识和实践能力”只在问题解决的目标中出现。

我们改革的一个很重要的目标就是呼唤创新意识和实践能力，在小学阶段要给孩子们埋下一些创新和发现的种子，焕发出他们创造的潜能。

但美国的问题解决更加强调问题的开放性与挑战性，强调学生是问题解决的主体，能够提出具有挑战性的问题以及学会如何反思自己解决问题的思维过程。

这一点对我们的教材编写以及教师对问题解决情境的设计与教学会带来很大启发。

在美国的问题解决标准中，对教师的作用也给了明确的要求和建议，包括一些教学策略，明确提出“教师应当把问题解决作为教学过程的一部分，而不是单独教学生如何解决问题。

……通过经历这些解决问题的过程，他们的基本技能、数学思维能力以及解题策略都会得到发展。

”“教师为提供学生解决问题的机会所做出的决定，会影响学生数学学习的深度和广度。

当教师创设一个对全班大多数学生来说既质疑又能解的情境时，他必须清楚地知道自己想要对学生获得什么样的学习结果。

” [5]我们过去更习惯于教学生如何解决问题，而不是让学生自己去发现问题、提出问题，探寻、交流、反思解决问题的策略。

在学生解决问题的过程中，教师应该扮演什么样的角色？“教师要做出很多重要的决定——什么时候提问，什么时候给学生反馈以肯定正确、指出错误，什么时候不表达意见但设计同类题目以及什么时候借助课堂讨论来促进学生的数学思维。

通过给学生思考时间，相信学生能够解决问题，认真听取学生的解释以及创设一个重视学生的努力的环境，教师能够促进学生解决问题的能力并帮助他们阐明自己的解题策略。

” [5]这些教学策略对于我们更好地落实“问题解决”的目标，培养学生“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，进而发展学生的创新意识和创新能力，有着重要的指导和借鉴意义。

三、从六个核心概念到十个核心概念——反映了课程内容的核心和数学教学的关键
修订稿数学课程标准对实验稿在“课程设计思路”中提出的六个核心概念“数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力”做了调整，共提出十个数学课程与教学应当注重发展的核心概念，包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，以及应用意识和创新意识，并对每一个核心概念都做了较为明确的阐述。

这十个核心概念反映了一类课程内容的核心，是学生数学学习的目标，也是数学教学中的关键。

深刻理解这些核心概念的内涵和价值，有助于教师更好地把握课程目标，深刻理解课程内容，同时对于数学课程内容的选择和教学方法的改革也有重要的指导意义。

与《实验稿》相比，在这10个核心概念中，有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；
有一些是名称或内涵发生较大变化的：数感、符号意识、数据分析观念；
有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。

更进一步，这10个核心概念还可以分成三层。

第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。

数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；
第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；
第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。

在这十个核心概念中，《标准》去掉了原来实验稿中对于数感描述中与运算有关的某些内容，将其独立为另一个核心概念：运算能力。

并强调运算能力首先是会算和算正确；而会算不是死记硬背，要理解运算的道理，还要寻求合理简洁的运算途径解决问题等。

同时还在教学实施建议中明确指出，基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。

教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。

另外，《标准》将“符号感”更名为“符号意识”，更加强调学生主动理解和运用符号的心理倾向。

并将实验稿中对“空间观念”描述的最后一条独立为另一个核心概念“几何直观”，并强调几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

除此之外，《标准》对“空间观念”的阐述基本保持了原来的说法。

《标准》将实验稿中的“统计观念”更名为“数据分析观念”，点明了统计的核心是数据分析。

“数据分析观念”更加突出了统计与概率独特的思维方法：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。

《标准》中新增了“模型思想”，说明了模型思想的价值，即建立数学与外部世界的联系。

小学阶段有两个典型的模型“路程＝速度×时间”、“总价＝单价×数量”，有了这些模型，就可以建立方程等去阐述现实世界中的“故事”，可以帮助我们去解决问题。

在研读《标准》时，要深入理解这十个核心概念的内涵，这样才能在教学中准确定位，选择恰当的教学方法，在教学中有效地落实这些核心概念的目标要求。

核心概念的解读。

《标准》指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。

1.数感
《标准》去掉了原来《实验稿》中对于数感描述中与运算有关的某些内容，将其独立为另一个核心概念：运算能力。

《标准》将数感定义为一种感悟，这既包括了感知、又包括了领悟，既有感性又有理性的思维。

数与数量，实际上就是建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系。

这既包括从数量到数的抽象过程中，对于数量之间共性的感悟；也包括在实际背景中提到一个数时，能将其与现实背景中的数量联系起来，并判断其是否合理。

数量之间的关系包括数的大小关系及其所对应的数量之间的多少关系，也包括变化的量之间的函数关系等。

比如，学生在观察两个变量之间对应的数据时，能够对于它们之间可能存在的关系进行初步的判断。

由上面对于数感的理解不难看出，发展学生的数感，需要创设情境建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系；需要学生对于单位数量（比如1平方米）有比较准确的把握；需要能从多种角度来表示一个。