11多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课

1．二元函数的表达式，定义域（图形表示），函数图像

22(,)(,)?y f x y x y f u v x

+=-⇒=

220(2)0z x xy x x y =⇒->⇔->

22z z z x y ===+ 2．二元函数的极限和连续

00

sin lim x y xy x →→

牢记心间的题22

000lim x x y y xy x y →→→→+ 3．多元函数的偏导数

求关于x 的偏导数就是把其它变量看成常数的一元函数导数问题！

（1）偏导数记号是一个整体，不是相除的关系（导数是！！！），用于说明的例子是PV=RT

（2

）求偏导数的“捷径”(,)((,1)x f x y x y f x '=+-⇒ 222(,,)(0,0,1)?xx f x y z xy yz zx f ''=++⇒=

（3）分段函数的偏导数在分段点的偏导数必须用定义求！！？？

（4

）很特别的一个函数(,)(,0)?y f x y f x '=⇒=

（5）几个概念之间的关系图！！！

4．多元复合函数求偏导

使用变量关系图：连线相乘，分线相加的原则。

(,),(,),(,)ϕψ===z f u v u x y v x y

2222222(1)(,sin )

(2)(,),()

(3)()

(4)(,sin ,)

z f t t z f x y x y y x x u f x xy xyz u f x y xy y ϕ==+-=+=++=+ 求二阶偏导数时的变量关系图

22(1)(sin 2)

(2)(23,)z f x y z xf x y xy =+=-

对求多元复合函数的二阶偏导数给予特别注意，太容易出错！！ 求二阶混合偏导数时顺序有时也很重要 例如：若2

(2,)y z xf x x =，函数f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y

∂∂∂ （也可看课本P52的第24题）

5．隐含数求偏导

有三种方法，推荐使用微分法，具体例题见作业和课堂笔记。 求二阶偏导数时需特别注意，因为太容易出错！！

课本P54的第38题有点意思。