选修1-2第二章2-2-2-1-1综合法及其应用

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1 2 1 2 1 2 2 2 2 ∴a ＋9＋b ＋9＋c ＋9≥3a＋3b＋3c
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1 (当且仅当 a＝b＝c＝ 时取“＝”) 3 2 2 ＝3(a＋b＋c)＝3. 1 ∴a ＋b ＋c ≥ . 3
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2.2 直接证明与间接证明
2．2.1 综合法和分析法
第1课时 综合法及其应用
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【课标要求】 1．了解直接证明的基本方法——综合法． 2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．
【核心扫描】
1．理解综合法解决数学问题的思路及步骤．(重点) 2．会用综合法解决较复杂的数学问题．(难点)
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证明 (1)在四棱锥PABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC， 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
2 2 2
1 2 1 2 1 [思路探索] (1)构造 a ＋9，b ＋9，c ＋9，再分别利用基本不
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等式； (2)构造 1 a· 3， 1 b·3， a＋b 1 c· 3，再利用 ab≤ 2 (a≥0，
b≥0)求解．
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证明
1 2a 2 1 2b 2 1 2c (1)∵a ＋9≥ 3 ，b ＋9≥ 3 ，c ＋9≥ 3 ，
(2)∵
1 a＋3 1 a· 3≤ 2 ，
1 b＋3 1 b· 3≤ 2 ，
1 c＋3 1 c·≤ ， 3 2 a b c 1 1 三式相加得 ＋ ＋ ≤ (a＋b＋c)＋ ＝1.(当且仅当 a＝b＝c 2 3 3 3 2 1 ＝ 时取“＝”) 3 ∴ a＋ b＋ c≤ 3.
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从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证 的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证 的命题．综合法是一种由因导果的证明方法． 综合法的证明步骤用符号表示是：
P0(已知)⇒P1⇒P2⇒„⇒Pn(结论)
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2．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件 ( 包 括隐含条件 ) ，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关 的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
1 1 ∴(a＋b)a＋b≥4.
1 1 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
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法三
1 1 a＋b a＋b b a a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2
ba a· b＝4.当且仅
当 a＝b 时，取“＝”号．
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第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解
题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部 分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方 法的选取．
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3．综合法格式
从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推 知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式， 它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
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题型一 用综合法证明不等式问题 【例 1】 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，求证： 1 (1)a ＋b ＋c ≥3；(2) a＋ b＋ c≤ 3.
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自学导引
1．直接证明
从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等， 通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接 证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．
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2．综合法 定理 、 公理 等， 已知条件和某些数学定义、 (1)定义：一般地，利用 经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
由(1)知，AE⊥CD，
且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD，
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∵PA⊥底面ABCD， PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，
∴AB⊥PD，
又∵AB∩AE＝A， 综上得PD⊥平面ABE.
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规律方法
在用综合法证明不等式时， 常利用不等式的基本性质，
如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，
一定要注意这些性质成立的前提条件．
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1 1 【变式 1】 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：a＋b≥4. 证明 法一 ∵a，b 是正数且 a＋b＝1， 1 1 1 a＋b 1 ∴a＋b≥2 ab，∴ ab≤ ，∴ ＋ ＝ ＝ ≥4. 2 a b ab ab 法二 ∵a，b 是正数，∴a＋b≥2 ab>0， 1 1 a＋b≥2 1 ab>0，
题型二 用综合法证明几何问题 【例 2】 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60° ， PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)证明：PD⊥平面 ABE. [思路探索] (1)证明 CD⊥平面 PAC 即可； (2)证明 PD⊥AE、PD⊥AB 即可．
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想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理
都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同 于合情推理中的“猜想”．
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名师点睛
1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，