第二章 命题逻辑等值演算

(p∨r) q
(蕴涵等值式 )
所以（pq）∧（rq）（p∨r）q
例：将下面程序语言进行化简： if A then if B then X else Y if B then X else Y 解：该程序流程图如下： 执行X的条件： Start
T
A
F
F F
(A∧B)∨(A∧B)
B
T
B
“”不是联结词，“AB”不是公式，它表示 公式A与B之间存在蕴涵关系。
“”是联结词，AB是一个公式。 AB当且仅当AB是重言式 。
AB是偏序关系 即 自反性：AA
反对称性：若AB，BA，则AB
传递性：若AB，BC，则 AC 反对称性的证明：
设AB且BA， AB1且BA1
一、析取范式与合取范式
1.基本概念 （1）文字——命题变项及其否定的总称
等价等值式 AB(AB)(BA)
假言易位 归谬论 ABBA (AB)(AB) A
等价否定等值式 ABAB 注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础
3. 等值式的判别 (1)真值表法
例 用真值表法证明 ： (pq) pq 解 p
0 0 1 1
分配律
A(BC) (AB)(AC),
A(BC) (AB)(AC)
德摩根律 (AB)AB
(AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A
零律
A11, A00
同一律
排中律
A0A. A1A
AA1
矛盾律
AA0
蕴涵等值式 ABAB
1
1 1 0 1
1
0 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
1 0 0 1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
(2)等值演算法
p(qr)((pq)(pr))
(p(qr)) ((p q)(p r))
(p(qr)) ((pq)(pr)) (pqr) ((ppr) (qpr)) (pqr) (pqr) (pqr) (pq r) 1
构造A，B以及AB的真值表如下：
解 令A=pq，B=pq
p
q
p
p q
p q
AB
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
由于公式AB所标记的列全为1，因此AB.
例 用真值表法判断pqpq是否成立. 解 令A=pq，B=pq
构造A，B以及AB的真值表
p q p q
第二章 命题逻辑等值演算
本章的主要内容： 等值式与重言蕴涵式 公式的标准型--范式 联结词完备集 本章与其他各章的联系 是第一章的抽象与延伸 是后续各章的先行准备
2.1等值式和重言蕴涵式
一、等值式与基本的等值式 1．等值式 定义2.1 若等价式 AB 是重言式，则称 A 与 B 等值， 记作AB，并称AB是等值式。
(AB)(AB)(AA) B
破坏性二难 (AB)(CD)( BD) (AC)
3.重言蕴涵式的判别
判定“A B”是否成立的问题可转化为判定 A B是否为重言式，有下述判定方法：
（1）真值表法； （2）等值演算法；
（3）假定前件A为真；（4）假定后件B为假。 (1) 真值表法
例：
(A p pB ) ∧B q )↔(q A∧
置换规则 设(A)是含公式A的命题公式， (B)是用公式B置换了(A)中的所有的A后得到 的命题公式，若BA，则(B)(A) 例如：
(A) (B)
(pq) r pqp∨q (p∨q) r
(pq) r(p∨q) r
(p q ) ( pq )
p(q(pq))
(交换律)
(结合律)
pq
(吸收律)
例：证明等值式：
（pq）∧（rq）（p∨r）q
证明：(pq）∧（rq） （ p∨q）∧( r∨q) （ p∧ r）∨q (p∨r)∨q (蕴涵等值式 ) (分配律) (德摩根律)
F 1 1 1 1 1 1 1 1
公式F对任意的一组赋值取值均为1，故F是重言 式，所以上述重言蕴涵式成立。
(2) 等值演算法
例：证明 ：p∧（pq） q 证明：（p∧（pq）） q （p∧（p∨q））∨ q （蕴涵等值式） （p∨（p∨q））∨q （德摩根律） （p∨q）∨（p∨q）（交换律、结合律） 1 因此 p∧（pq） q （排中律）
可传递性：对任意公式A,B,C，若AB，BC， 则 A C 。
（3）当A是重言式时，A1；当A是矛盾式时， 则 A 0 。
2. 基本的等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA
交换律
结合律
ABBA, ABBA
(AB)CA(BC), (AB)CA(BC)
假定后件p∨q为假，则p,q均为假，所以pq为 真，从而前件(pq) q为假，因此(pq) qp∨q成立。
2.2 公式的标准型--范式
• 由等值式可知，同一命题公式可以有各种相互 等值的表达形式，为了把命题公式规范化，需 要研究公式的范式问题。 • 如果公式中的变元数目较大时，对于公式的判 定问题，真值表将非常繁琐。每增加一个变元， 计算将增加一倍。研究公式的标准型问题变得 十分重要。 • 给定任意一个命题公式，我们希望寻找其某种 一般的标准的形式，即范式(normal form) 。
(3) 假定前件A为真
假定前件A为真,检查在此情况下,其后件B是否也为真。 A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
例：证明 :
q ∧（pq） p
证明：令前件q∧（pq）为真， 则q为真, 且pq为真。 于是q为假，因而p也为假。由此p为真。 故重言蕴涵式 q ∧（pq） p成立。
注意：
（1）符号“”与“↔”的区别与联系。
“”不是联结词，AB不表示一个公式，它 表示两个公式间的一种关系，即等值关系。 “↔”是联结词，A↔B是一个公式。 AB当且仅当A↔B是重言式。
（2）可以验证等值关系是等价关系。 自反性：对任意公式A，有AA。 对称性：对任意公式A,B，若AB，则BA。
0 0
1 1
0 1
0 1
1 1
0 0
1 0
1 0
p q 1 0
1 1
p q
AB
1 1
0 1
1 0
0 1
由于公式 AB所标记的列不全为 1 ， AB不 是重言式，因此AB不成立。
(2)等值演算法
代入规则 对于重言式中的任一命题变元出 现的每一处均用同一命题公式代入，得到的仍 是重言式。
(3)假定后件（pq）（pr）为假
则pq为真，pr为假。
由pr为假,得p为真，r为假。
又pq为真，故得q为真。 于是p为真，qr为假。 从而 前件p（qr）为假。 因此重言蕴涵式成立。
(4)假定前件p(qr)为真
经过分析之后，p,q,r的取值分别如下表所示：
p q r p q p r (pq)(pr) （后件） 1 1 1 1 1 1 1
练习：
不构造真值表证明下式： (1) (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) (2) (pq) qp∨q
解： (1) (a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a) (b∧(a∨c))∨(c∧a) (b∨(c∧a))∧((a∨c)∨(c∧a)) (b∨c)∧(b∨a)∧(a∨c) (a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) (2)
例 证明 ： (（p∨q）∧（p r）∧（q r）) r 证明 令 F =（（p∨q）∧（pr）∧（qr））r，
p q r p∨q p→r q →r (p∨q)∧ (p→r）∧ （ q →r） 000 0 0 1 1 001 0 0 1 1 010 1 0 1 0 011 1 1 1 1 100 1 0 0 1 101 1 1 1 1 110 1 0 0 0 111 1 1 1 1
T
B ∧(A ∨A)B 执行Y的条件：
(A∧B)∨(A∧B)
X Y
B∧(A ∨A)B
End
Start T B F
X
Y
End
化简结果：if B then X else Y
练习：
用等值演算法证明下列等值式： (1)q(pr) (p∧q) r (2)（pq）（p∧ q）∨（p∧q）
由此可知 pq与rs中至少一个为假,
因此(pq)(rs)为假. 故上述重言蕴涵式成立。
练习： 判定
p（qr） （pq）（pr）是否成立.
(1)真值表法: 令F=p（qr） （pq）（pr）
p q r pq pr qr p(qr) (pq)(pr) F 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
令：A= (pq)，B= pq，构造A，B
以及A B的真值表如下： (p p q q pq q)
0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1
p q 1 0 0 0
AB 1 1 1 1
由于公式AB所标记的列全为1，因此AB。
例
用真值表法证明：pqpq
于是AB(AB)(BA)
1 1 1 因此 AB
传递性的证明： 设AB，BC，
则AB1，BC1 于是 AC AC (AC)(BB) (ABC)(ABC) ((AB) C)(A(BC)) (1C)(A1) 1 1 1 因此 AC.
解（1） (p∧q) r
(p∧q)∨r (p∨q) ∨r
q∨(p∨r)
q(pr) （2）（p∧q）∨（p∧q） (（p∨q）∧（q∨p）) (（pq）∧（qp）) （pq）
二、重言蕴涵式与基本重言蕴涵式 1.定义 设A，B是两个公式，若公式AB是重言 式，即AB1，则称公式A蕴涵公式B，记作 AB。称“AB”为重言蕴涵式。 注意：符号“”和 “”的区别和联系与 符号“”与“↔”的区别和联系类似。
(4) 假定后件B为假 假定后件B为假，检查在此情况下，其前件A是 否也为假.
A 0 0 0 1 1 B 0 0 1 0 1 A B 1 1 0 1
例： (pq) (rs) (pr) (qs)
证明: 令后件(pr)(qs)为假，则pBaidu Nhomakorabea为真，qs为假, 于是p、r均为真，而q和s至少一个为假。
等值演算 等值演算是指利用已知的一些等 值式，根据置换规则、代入规则以及等值关系 的可传递性推导出另外一些等值式的过程。
例：证明下列等值式：
(p q ) ( p ( p q ) ) p q
证明：
(pq)( p(pq))
(pq)( (p p ) q ) (结合律) (pq)( pq) (幂等律)
2.基本重言蕴涵式
附加律 A (AB) B (AB)
化简律
假言推理 拒取式
(AB) A
(AB)A B
(AB) B
(AB)B A
析取三段论 (AB)B A 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(BC) (AC) 构造性二难 (AB)(CD)(AC) (BD)
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 1 1
后件为真，从而重言蕴涵式成立。
等值和重言蕴涵的关系：
AB 当且仅当A B且 B A . 证明等值式AB的方法： 1) 真值表法 2) 等值演算法
3) 证明A B且 B A