高等数学第12章第12章D127傅里叶级数

ππcokxsconxsdx
1 2 π π ck o n ) s x c ( k o n ) s x d ( x 0 同理可证 : π πsikn xsinn xdx0 (kn)
π
πco kxssinn xdx0
但是在三角函数系中两个相 ,b nA nco n,s
得函数项级数 a20k 1(anconxsbnsinnx)
称上述形式的级数为三角级数.
定理 1. 组成三角级数的函数系
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
π
π1
consxdx

π π
1

sinnxdx0
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条
件比展成幂级数
的条件低得多.



f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an, bn为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
πf(x )ck o xd x s a 0π ck o xd x s
π
2 π



n 1

an ππcokxsconxsdxbnππcoksxsinnxdx
akππco2skxdx
(利用正交性)
ak1 π ππf(x)co kxs dx(k1,2, )

2 (2k 1)2
π
,
0 ,
n2k1 n2 k (k1,2, )
bn1 πππf(x)sinnd xx1π
0
xsinnxdx
π
( 1) n 1 n
π 2 cox ssinx1sin2x (n1,2, )
4π
2
3 22 π
c3 x o 1 s s 3 x in 1sin4x
①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
π π f(x )d x a 2 0 π π d x n 1 a n π π cn o x d x s b n π π sn ix d n x
a0 1ππf(x)dx
3
4
5 22 π
c5 x o 1 s s 5 x in
5
( x , x ( 2 k 1 ) π , k 0 , 1 , 2 , )
②
b n 1 π π πf(x )sn id n x x(n 1 ,2 , )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
简介
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
上的积分不等于 0 . 且有
ππ11dx2π ππco2snxdx π ππsin2nxdx π
co2nsx1co2nsx, si2nnx1co2n sx
2
2
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f(x)a 2 0n 1(anco ns xbnsinn)x
解:
a0
1 π
π π
f(x)dx
1 π
0
xdx
π

1 π

x2 2

0 π


π 2
an1 πππf(x)consdxx1π
0
xconsxdx
π
1 πxsninxcno2nsx0π 1nc2oπsn
an 1nc2oπsnπ
0,
当 n2,4,6,
f(x)4sinx13
sin
3x

1 si2 nk (1)x
2k1
( x , x 0 , , 2 , )
f(x)4sixnsi3nx sin 5 x sin 7 x sin9x]
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
b k 1 π π πf(x )sk ix d n x(k 1 ,2 , )
f(x)a 2 0n 1anco nx sb nsinx n
①
a n 1 π π π f(x )cn o d x x s(n 0 ,1 , )
第七节 傅里叶级数
第十二章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
复杂的周期运动 :
(谐波迭加)
A n sn i c n o t A n c sn s o n i t s n
简介
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
f(x) 1 1,,
πx0 0xπ
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1
解: 先求傅里叶系数
π Oπ
x
1
1 π 0 π ( 1 )cn o d x x s 1 π 0 π 1 cn o d x x s
π
35
7
9
说明: 1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
y
1
π Oπ
x
1
y
x O
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
y
3π 2π π π2π 3π
O
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
0( n 0 ,1 ,2 , )
1 0 ( 1 )sn in d x 1 0 1 sn id n x x

1


cosnx n

0 1



cosnx n
0
n21cons
2 1(1)n
n