线性代数 5-5 第5章5讲-正交相似(1)

PT AT PT A PT PT
B
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本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(1)
二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)
定理5.4 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
定义5.5
1
P1AP
2
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，其中1，2，
，n
为A
的n
个特征值.
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二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)
定义5.5
给定两个n 阶方阵A 和B，若存在可逆矩阵P，使PT AP B，则称矩阵A 与B合同，或A、B是合同矩阵.
定义2.11 矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A 与B 等价.
定理2.5 设A，B 均为m n 矩阵，则A 与B 等价的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 和 n 阶可逆矩阵Q，使PAQ B.
n
给定两个n 阶方阵A 和B，若存在可逆矩阵P，使PT AP B，则称矩阵A
与B合同，或A、B是合同矩阵.
定理5.4推论 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
1
PT AP
2
，其中1，2，
，n为A
的n个特征值.
n
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二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)
定义5.5
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解 解法一 由已知可知A =，从而PT A PT， 也即PT A(PT )1 PT =PT， 即 (P1AT P)T (PT )=(PT )， 再由AT =A得 (P1AP)T (PT )=(PT ). 解法二 验证(P1AP)T (PT ) (PT )
事实上，(P1AP)T (PT ) PT AT (P1)T (PT ) PT AT (PT )1 PT
定义5.3 设A与B都是n阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P称为相似变换矩阵.
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二、实对称矩阵的正交相似对角化(1)
5章3讲
例 两个矩阵如果是等价，它们是否相似？反之，如果它们相似，是否 等价？哪些矩阵与单位矩阵等价？哪些矩阵与单位矩阵相似？
线性代数（慕课版）
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五讲 实对称矩阵及其对角化(1)
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本讲内容
01 实对称矩阵的特征值与特征向量 02 实对称矩阵的正交相似对角化(1)
一、实对称矩阵的特征值与特征向量
性质5.6
(1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数； (2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
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一、实对称矩阵的特征值与特征向量 例1 设3阶实对称矩阵A 满足 A2 A 0，且r( A) 2，求矩阵A 的特征值.
解 由 A2 A 0得 2 0 1或 0. 由r( A) 2得 1 2 1，3 0.
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一、实对称矩阵的特征值与特征向量
例2 设A 是n 阶实对称矩阵，P是n 阶可逆矩阵.已知n 维列向量 是A 的属于特征 值的特征向量，则矩阵(P1AP)T 属于特征值 的特征向量是 . (A) P1 (B) PT (C) P (D) (P1)T
给定两个n 阶方阵A 和B，若存在可逆矩阵P，使PT AP B，则称矩阵A 与B合同，或A、B是合同矩阵.
注 (1) 反身性; (2) 对称性; (3) 传递性.
性质
(1) A与B合同 对A 的行和列施以相同的初等变换变成B ； (2) A与B合同 A与B 的秩相同； (3) 实对称矩阵A与B 合同且相似.
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一、实对称矩阵的特征值与特征向量
性质5.6 (2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
证 设1，2是实对称矩阵A 的特征值，且1 2， 则有 A1 11，A2 22. 则 11T ( A1)T 1T AT 1T A 11T2 1T A2 1T (22 ) 21T2 (1 2 )1T2 0 由于1 2，所以1T2 0，即1 与2正交.
(3) 设A是n 阶实对称矩阵， 是A 的r 重特征值,则对应 恰有r 个线性无关的特征向量.
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一、实对称矩阵的特征值与特征向量
性质5.6 (1) 实对称矩阵A 的特征值一定为实数；
证 设 是实对称矩阵A 的任一特征值，则有A . 对A 共轭得 A ，再取转置得 T A T T， 由 A A，AT A得 T A T， 右乘 从而有 T A T T T ( ) T 0 由 0得 ，即任一特征值为实数.
解 等价不一定相似，但相似一定等价； 满秩矩阵都与单位矩阵等价； 只有单位矩阵与单位矩阵相似.
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二、实对称矩阵的正交相似对角化(1) 例3 证明：对称矩阵只能与对称矩阵合同.
证 设对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵Q，使B QT AQ. 因AT A，所以BT (QT AQ)T QT AT Q QT AQ B， 即B也对称.