正态总体样本均值与方差的分布和性质

= Φ (1.7143) Φ (1.1429) = 0.9564 + 0.8729 = 0.8293.
ch6-53
例5. 设总体 X ~ N ( 72 ,100 ) ,为使样本均值大于70的
概率不小于90%, 则样本容量至少应为多少?
解 设样本容量为 n , 则
100 X ~ N (72, ) n P ( X > 70) = 1 P ( X ≤ 70)
X ~ N ( μ1 , σ 2 )
的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , L , Ym 是来自正态总体
Y ~ N (μ2 ,σ 2 )
的一个简单随机样本 它们相互独立.
ch6-49
则
1 n σ2 X = ∑ X i ~ N ( μ1 , ) n i =1 n 1 m σ2 Y = ∑Y j ~ N (μ2 , ) m j =1 m
20 X i μ 2 20 X i μ 2 = P ∑ i =1 σ ≥ 7.4 P ∑ σ ≥ 35.2 i =1
= 0.995 0.025 = 0.97
ch6-58
例7. 设随机变量X 与Y 相互独立，X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) , X1, X2 ,…, X9 与Y1, Y2 ,…, Y16 分 别是取自X 与Y 的简单随机样本，求
2
~ χ ( n + m 2)
2
X Y 与
(n 1) S
2
2 1
+
(m 1) S
σ
2 2
2
相互独立
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
ch6-51
σ2
n ( n 1) S12
+ +
σ2
σ
m ( m 1) S 22
2
n+m2
σ2
( X Y ) ( μ1 μ 2 ) = ~ T (n + m 2) 2 2 1 1 (n 1) S1 + (m 1) S 2 + n m n+m2
σ
19 S 2
2
~ χ ( n 1)
2
σ
2
=
1
σ
2
∑ (X
20 i =1
i
X
)
2
~χ 2 (19)
1 20 2 2 P 0.37σ ≤ ∑ ( X i X ) ≤ 1.76σ 2 20 i=1
2 ≤ ( X i X ) ≤ 35.2 = P 7.4 2∑ σ i=1 1 20 ( )2 ≥ 1 20 ( )2 ≥ = P 2 ∑ X i X 7.4 P 2 ∑ X i X 35.2 σ i=1 σ i=1
X Y ~ N ( μ1 μ 2 ,
σ2 σ2
n + m
)
( X Y ) ( μ1 μ 2 )
σ2
n
+
σ2
m
~ N (0,1)
ch6-50
(n 1) S
σ σ
2 1
2
~ χ (n 1)
2
(m 1) S 22
2
~ χ (m 1)
2
(n 1) S
σ
2 1
2
+
(m 1) S
σ
σ
2 2
则
ch6-47
(n 1)S
σ
S12 S
2 2
2 1
2 1
~ χ (n 1)
2
(m 1)S
σ
2 2
2 2
~ χ (m 1)
2
σ 12 σ 22
~ F ( n 1, m 1)
若 σ1 = σ 2
2 1 2 2
则
S ~ F (n 1, m 1) S
ch6-48
设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体
其样本均值为
1 2n X = ∑ Xi 2n i =1
求统计量
Y = ∑ ( X i + X n +i 2 X )
i =1
n
2
的数学期望E(Y ).
2. 设总体 X ~ N (0,1) , X 1 , X 2 , L , X 6 为总体 X
ch6-64
Y 的样本, = ( X 1 + X 2 + X 3 ) 2 + ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 χ 2分布. 试确定常数c 使cY 服从
2
2
且
σ ( n 1) S 2
Xi X = ∑ ~ χ 2 (n 1) σ i =1
2
σ
2
与 X 相互独立
ch6-45
X μ
σ
n = X μ ~ T ( n 1) S S σ n
nB2 Xi X = ∑ σ i =1
n
σ2
~ χ 2 (n 1)
2
Xi μ 2 ∑ σ ~ χ (n ) i =1
4. 正态总体样本均值与方差的分布和性质 (1) 一个正态总体
X ~ N (μ,σ 2 ) E( X ) = μ, 设 D( X ) = σ 2
ch6-44
X 1 , X 2 , L , X n 是总体 X 的一个简单随机样本
则
X ~ N (μ ,
σ2
n
n
)
X μ
σ
~ N (0,1)
n
(n 1) S
ch6-52
N ( 52 , 6 . 3 2 )中,随机地抽取一个容量为36的 例4. 在总体
样本,求样本均值
X 落在50.8到53.8之间的概率
解
故
P (50.8 < X < 53.8) = FX (53.8) FX (50.8)
6.32 X ~ N (52, ) 36
53.8 52 50.8 52 Φ =Φ 6.3 6.3 6 6
n 2
(2) 两个正态总体的情形 设 X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体 X ~ N ( μ1 , σ 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , L , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( μ 2 , σ 22 )
ch6-46
的一个简单随机样本 它们相互独立. 1 m 1 n Y = ∑Yj 令 X = ∑ Xi n i=1 m j =1 1 n 1 m 2 2 2 S1 = ( X i X ) S 22 = ∑ ∑ (Y j Y ) n 1 i=1 m 1 j =1
70 72 = Φ (0.2 n ) = 1Φ 10 n
故
令 得 即 取
Φ (0.2 n ) ≥ 0.9
0.2 n ≥ 1.29
n ≥ 41.6025 n = 42
ch6-54
例6. 从正态总体 X ~ N ( μ , σ 2 ) 中，抽取了n = 20
的样本 X 1 , X 2 , L , X 20
X1 + X 2 + L + X 9 2 Y12 + Y22 + L + Y16
所服从的分布 解 X 1 + X 2 + L + X 9 ~ N (0,9 × 16)
1 ( X 1 + X 2 + L + X 9 ) ~ N (0,1) 3× 4
ch6-59
1 Yi ~ N (0,1) , i = 1,2,L,16 3
σ
2
∑(X
i =1
n
=
i
n(n 1) ( X μ )
X)
2
∑(Xi X )
i =1
n
2
~ T (n 1)
n 1
故应选(B)
ch6-62
作业 P 202 习题六
6 9 10 补充题
1. 总体X ~ N(μ,σ 2)(σ >0),从该总体中抽取 简单随机样本
ch6-63
X 1 , X 2 , L , X 2 n ( n ≥ 2)
1 Y ~ χ 2 (16) ∑ 3 i i =1
16 2
1 X1 + X 2 + L + X 9 3 × 4 ( X1 + X 2 + L + X 9 ) = ~ T (16) 2 2 2 2 16 Y1 + Y2 + L + Y16 1Y ∑ 3 i i =1 16
例9. 设X 1 , X 2 , L , X n 是来自正态总体 N( μ,σ2)的 简单随机样本,
1
20
查表
= 0.99 0.01 = 0.98
(2) ∑ X i μ ~χ 2 (20)
20 2 i =1
ch6-57
σ
1 20 2 2 2 故 P 0.37σ ≤ ∑ ( X i μ ) ≤ 1.76σ 20 i =1 2 20 X i μ ≤ 35.2 = P 7.4 ≤ ∑ σ i =1
2 2
则服从自由度为 n - 1 的T 分布的随机变量为:
X μ ( A) n 1 S1 X μ ( C) n S3 X μ ( B) n 1 S2 X μ ( D) n S4
X μ
ch6-61
σ
~ N (0,1)
1
σ
( X i X ) 2 ~ χ 2 (n 1) 2 ∑
i =1
n
n
X μ
σ
n 1
1 n S = ( X i X )2 , ∑ n 1 i =1 1 n S32 = ( X i μ )2 , ∑ n 1 i =1
2 1
ch6-60
X 是样本均值,
1 n S = ∑ ( X i X )2 , n i =1 1 n S 42 = ∑ ( X i μ ) 2 , n i =1
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1 20 2 2 2 (1) 求 P 0.37σ ≤ ∑ ( X i X ) ≤ 1.76σ 20 i =1 1 20 2 2 2 (2) 求 P 0.37σ ≤ ∑ ( X i μ ) ≤ 1.76σ 20 i =1
解 (1) 即 故
( n 1) S
2
ch6-56