工程力学(扭转)解析
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18
3. 力的平衡关系
tr
Gg r
Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
tmax
tr
dA
r
o
tr
T
取微面积如图，有：
rt rdA T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA T
dx A
19
3. 力的平衡关系
令：
Ir r 2dA
12
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
20
A
B
17
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
tmax
tr
MT
r
rr
A
gr
o
tr
C
df
C
O
B gr
DT
D
最大剪应力在圆轴 表面处。dx
tr
Gg r
Gr d
dx
--(3)
圆轴几何及MT给定，df/dx为
常数；G是材料常数。
截面上任一点的剪应力与该点 到轴心的距离r成正比；
剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
T 图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
+ 向 按右手法确定
+向
T / kNm
20
5kN + 3kN
10
FN 图
- 5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
求各截面内力：
BC段 T1 1.64kN m
CA段 T2 3.28kN m
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
11
MB MCMAMDBCAD
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
A
最后得到：
tr
Gr
d
dx
T•r
Ir
--(4)
Ir 称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。
求Ir，WT ?
G d r 2dA T
dx A
tmax tr r
tor T
tmax在圆轴表面处，且
7
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
T
T / kNm
20
BC段：T TAB 10kN m
10
A
B
C
TBC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
8
简捷画法：
面，二平面间距离不变
，其半径仍然保持为直
变形前
变形后
矩形线变成且菱形半径大小不变。14
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性
转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。
T
r
A
C
g
df
C O
Bg
D df r
D
dx
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为
CC= gdx=rdf , 故有：
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可 作类似的分析。
15
1. 变形几何条件
T
A gr B gr
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处， 作类似的分析。 同样有：
CC= gdx=rdf
即得变形几何条件为：
g rd / dx --(1)
剪应变g的大小与半径 r成正比。与单位扭转
MB
MC
9.55 PB n
9.55 120 700
1.64kN m
MD
9.55 PD n
9.55 160 700
2.18kN m
10
MB MC
MA
MD
B
C
MB T1
B
MB MC T2
B
C
A
D
T3 MD
D
T /kN.m
C B
1.64
T图
2.18 AD 3.28
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
9
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
PA n
9.55 400 5.46kN m 700
角df /dx成正比。
16
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。
在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg --(2)
t
ts
G是tg曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
tr
Gg r
Gr
d
dx
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
平衡
5
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是T 同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
6
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
C
D
10
13
20
9.3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
纵向线仍近似直线， 只是倾斜了一个微小
角度
静力平衡条件 + 变形几何条件 + 材料物理关系
8.3.1
圆周线相对旋转了一个角
1. 变形几何度周条，线形 之件状间、的尺距寸离、无刚相变邻化性圆 平面假设：
变形前后，扭转圆轴各
个横截面仍然保持为平
第九章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念与实例 9.2 扭矩、扭矩图 9.3 圆轴扭转时的应力与变形 9.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件
1
工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
9.1 扭转的概念与实例
汽车转向轴
传动轴
3
9.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
y
M0
作用在垂直于轴线的不
同平面内的外力偶，且
满足平衡方程:
z
SMx=0
变形前
fAB x
M0
变形后
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
4
9.2 扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
假想切面
取左边部分
M0
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M 0
3. 力的平衡关系
tr
Gg r
Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
tmax
tr
dA
r
o
tr
T
取微面积如图，有：
rt rdA T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA T
dx A
19
3. 力的平衡关系
令：
Ir r 2dA
12
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
20
A
B
17
讨论：圆轴扭转时横截面上的剪应力分布
tmax
tr
MT
r
rr
A
gr
o
tr
C
df
C
O
B gr
DT
D
最大剪应力在圆轴 表面处。dx
tr
Gg r
Gr d
dx
--(3)
圆轴几何及MT给定，df/dx为
常数；G是材料常数。
截面上任一点的剪应力与该点 到轴心的距离r成正比；
剪应变在ABCD面内，故剪应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
T 图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
+ 向 按右手法确定
+向
T / kNm
20
5kN + 3kN
10
FN 图
- 5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
求各截面内力：
BC段 T1 1.64kN m
CA段 T2 3.28kN m
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
11
MB MCMAMDBCAD
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
A
最后得到：
tr
Gr
d
dx
T•r
Ir
--(4)
Ir 称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。
求Ir，WT ?
G d r 2dA T
dx A
tmax tr r
tor T
tmax在圆轴表面处，且
7
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
T
T / kNm
20
BC段：T TAB 10kN m
10
A
B
C
TBC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
8
简捷画法：
面，二平面间距离不变
，其半径仍然保持为直
变形前
变形后
矩形线变成且菱形半径大小不变。14
1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性
转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。
T
r
A
C
g
df
C O
Bg
D df r
D
dx
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为
CC= gdx=rdf , 故有：
g rd / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可 作类似的分析。
15
1. 变形几何条件
T
A gr B gr
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处， 作类似的分析。 同样有：
CC= gdx=rdf
即得变形几何条件为：
g rd / dx --(1)
剪应变g的大小与半径 r成正比。与单位扭转
MB
MC
9.55 PB n
9.55 120 700
1.64kN m
MD
9.55 PD n
9.55 160 700
2.18kN m
10
MB MC
MA
MD
B
C
MB T1
B
MB MC T2
B
C
A
D
T3 MD
D
T /kN.m
C B
1.64
T图
2.18 AD 3.28
M A 5.46kN m M B M C 1.64kN m M D 2.18kN m
9
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
PA n
9.55 400 5.46kN m 700
角df /dx成正比。
16
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。
在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：
t Gg --(2)
t
ts
G是tg曲线的斜率，如图， 称为剪切弹性模量。
半径为r处的剪应力则为：
tr
Gg r
Gr
d
dx
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
平衡
5
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是T 同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
6
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
C
D
10
13
20
9.3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
纵向线仍近似直线， 只是倾斜了一个微小
角度
静力平衡条件 + 变形几何条件 + 材料物理关系
8.3.1
圆周线相对旋转了一个角
1. 变形几何度周条，线形 之件状间、的尺距寸离、无刚相变邻化性圆 平面假设：
变形前后，扭转圆轴各
个横截面仍然保持为平
第九章 圆轴的扭转
9.1 扭转的概念与实例 9.2 扭矩、扭矩图 9.3 圆轴扭转时的应力与变形 9.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件
1
工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
9.1 扭转的概念与实例
汽车转向轴
传动轴
3
9.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆 受力特点：
y
M0
作用在垂直于轴线的不
同平面内的外力偶，且
满足平衡方程:
z
SMx=0
变形前
fAB x
M0
变形后
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
4
9.2 扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0
假想切面
取左边部分
M0
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M 0