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第二节 洛必达法则

在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则. 分布图示

★洛必达法则

⎪⎭⎫ ⎝⎛00 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 例4

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞∞ ★ 例5

★ 例6-7 综合应用 ★ 例8

★ 例9

★ 例10

).0(∞ ★ 例11 )(∞-∞ ★ 例

12 ★ 例13

★ 例14

)0(0★ 例15 ★ 例16 )1(∞★ 例17

★ 例18

★ 例19 )(0∞★ 例

20 ★ 例21 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2

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内容要点

一、未定式的基本类型：0

0型与∞

∞型；

.)()(lim )()(lim

x F x f x F x f a x a x ''=→→ .)

()

(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→

二、未定式的其它类型：∞⋅0型，∞-∞型，00,1,0∞∞型

(1) 对于∞⋅0型，可将乘积化为除的形式，即化为0

0或∞

∞型的未定

式来计算.

(2) 对于∞-∞型，可利用通分化为0

0型的未定式来计算. (3) 对于00,

1,0∞∞型，可先化以e 为底的指数函数的极限，再利用

指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为∞⋅0的形式，再化为0

0或∞

∞

型的未定式来计算. 例题选讲 00型

例1 (E01) 求 ⋅≠→)0(sin lim

0k x kx

x

解 原式)()(sin lim 0''=→x kx x 1

cos lim

0kx

k x →=.k = 例2 (E02) 求 ⋅+--+-→12

3lim 2331x x x x x x

解 原式12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x .2

3

=

注: 上式中, 266lim 1-→x x x 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.

例3 (E03) 求.sin 2lim 0x

x x

e e x x x ----→

解 x

x x e e x x x sin 2lim 0----→x e e x x x cos 12lim 0---=-→x e e x x x sin lim 0-→-=x e e x

x x cos lim 0-→+=.2=

例4 (E04) 求

x x x 1

arctan 2

lim -+∞

→π

.⎪⎭

⎫ ⎝⎛型00

解 x

x x 1arctan 2

lim -+∞

→π

22111

lim

x

x x -+-

=+∞

→22

1lim x x x +=+∞→1= 注: 若求

n n

n n (1arctan 2

lim -+∞

→π

为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得

11arctan 2

lim =-+∞

→n

n n π

例5 (E05) 求.ln cot ln lim 0x

x x +

→

解 x

x x ln cot ln lim 0+→x

x x x 1)

sin 1(cot 1lim 20-⋅=+→x x x

x cos sin lim 0+→-=

x

x x x x x cos 1

lim cos sin lim 00

+

+

→→⋅-=.1-= 例6 (E06) 求 )0(ln lim

>+∞→n x x

n x .⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞∞

解 原式11

lim -+∞→=n x nx x n

x nx 1

lim +∞→=.0=

例

7 (E07) 求 ⋅+∞→x

n

x e

x λlim ⎪⎭

⎫

⎝⎛∞∞ (n 为正整数, 0>λ). 解 反复应用洛必达法则n 次，得

原式x n x e nx λλ1lim -+∞→=x n x e x n n λλ22)1(lim -+∞→-=ΛΛ=x n x e

n λλ!

lim +∞→=.0= 注：对数函数x ln 、幂函数n x 、指数函数)0(>λλx e 均为当∞→x 时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较: 对数函数<<幂函数<<指数函数.

例8 求.x

x x

x x tan tan lim

20-→

解 注意到,~tan x x 则有

x x x x x tan tan lim 20-→3

0tan lim

x x

x x -=→22031sec lim x x x -=→ x x x x 6tan sec 2lim 20→=x x

x x x tan lim

sec lim 31020→→⋅= x x x tan lim 310→=.3

1= 注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用, 效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.