自动控制原理第七章z变换

si (i n1 1, n为1 F2(s,)的,nn-n) 1个重极点；
ri 为重极点 si 的阶数；T为采样周期；
Re s•为极点 s si 处的留数。
F (z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
n1
i 1
Re
s
F
(
si
)
z
z esiT
n
i
n1
1
(
ri
1
d ri 1
z 1
1 2j
1
1 e jaT
z 1
(sin aT )z1 1 (2 cos aT )z1
z 2
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7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
F (s)
(s
1 a)2
解：
F
(
z)
Re
sF
(s)
1
1 e sT
z
1
s si
Re
s (s
注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那 么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数 的极点或零点。
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7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
3.复数平移定理
Z f (t) F(z)
Z eat f (t) F (zeaT )
证明：
Z eat f (t) f (kT )eakT z k f (kT )(zeaT )k F (zeaT )
k 0
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
F (s)
1 s2 (s 1)
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
A1 s2
A2 s
A3 s 1
A1 s2F (s) s0 1
A2
d ds
s 2 F (s)
s0
1 (s 1)2
s0
1
A3
(s
7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
例：如果 f (t)的z变换由下式给出，试确定其初始值f(0)。
F(z)
(1 eT )z 1 (1 z 1)(1 eT z 1)
(1 eT )z 1
f
(0)
lim
z
F(z)
lim
z
(1
z 1 )(1
eT
z 1)
0
例：用终值定理确定下式的终值f()。F
➢z反变换的符号为 Z 1 。 ➢F(z)的z反变换产生相应的时间序列f(k)。 注意：由z反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序 列。因而，F(z)的z反变换获得的仅是单值的f(k)，而 不是单值的f(t)。
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Z反变换的方法
1 部分分式法（查表法） 2 幂级数法（综合除法） 3 留数法（反演积分法）
n
f (t) Aiesit i 1
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
f (t) Aiesit i 1
➢对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写 出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：
指数函数z变换
F(z)
Z[e at ]
z z e aT
n
F(s)
Z f (t) F(z)
lim F (z)存在
z
5.终值定理
f (0) lim F (z) z
假设当k<0时f(k)=0，它的z变换F(z)的所有极点都在 单位圆内，可能的例外是在单位圆上z=1处有单极点。
f () lim f (k) lim (1 z1)F (z)
k
z 1
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F(s) a s2 a2
解：
F (s)
s2
a a2
1/ 2 j s ja
1/ 2 j s ja
F(z )
1
2j
1
1 e jaT z 1
1
2j
1
1 e jaT z 1
z 1 sin aT 1 2z 1 cos aT z 2 ei cos i sin
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7.1.2、 z变换-部分分式法
第七章
• 线性离散系统的分析与校正
课前复习- z变换的定义
在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样 在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。
采样信号f*(t)
拉氏变换
L f * t F* s f kT ekTS k 0
z eTS
F z f kT zk k 0 栗忍 83#D103
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7.1.5、z反变换-部分分式法
F(z)
b0 z m b1z m1 bm1z bm z n a1z n1 an1z an
mn
首先，对F(z)的分母多项式进行因式分解，并求其极点：
F
(z)
b0 z m b1z m1 bm1z bm (z p1)(z p2 )(z pn )
z2 z cosT z2 2z cosT 1
7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
1 线性定理
若 Z[ f (t)] F (z) Z[g(t)] G(z)
x(t) f (t) g(t)
X (z) F(z) G(z)
相加与相乘
乘以 k 后的z变换？
Z[ k f (k)] F ( 1z)
由
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
可得
F(z) z z
z(1 e-aT )
z 1 z e-aT z2 (1 e-aT )z e-aT
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
Re
s
s(s
a)
1
e
sT
z
1
s0,
a
s
a s(s
a)
1
1 e sT
z
1
s0
(s
a)
a s(s
a)
1
1 e sT
z
1
sa
1
1 z
1
1
1 e aT
z
1
(1 eaT )z 1 (1 z 1)(1 eaT z 1)
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7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
证明：
Z[ k f (k)] k f (k)zk f (k)( 1z)k F ( 1z)
k 0
k 0
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7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
2.实数平移定理（位移定理） Z[ f (t nT )] znF (z)
滞后
n1
Z[ f (t nT )] zn[F (z) f (kT )zk ] k 0
1)! dsri 1
(s
si )ri
F (s)
z
z esT
s
si
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7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解：
F(z)
n i 1
Re
sF (s)
1
1 e sT
z 1
ssi
2 i 1
a
1
F(z)
n i 1
Re
s
F
(
s
)
1
1 e sT
z
1
s
si
n1
i 1
Re
s
F
(si
)
z
z esiT
n
i
n1
1
(ri
1 1)!
d ri 1 dsri 1
(s
si
) ri
F (s)
z
z esT
s
si
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7.1.3、 z变换-留数法
式中 si (i 1,2，,, n1) 为F(s)的n1个单极点；
k 0
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7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
例 ：求 teat 的z变换。
Zt
Tz 1 (1 z 1)2
Z teat
TeaT z 1 (1 eaT z 1)2
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7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
4.初值定理
F (s)
s2
a a2
解： F(z)
n i 1
Re
s
F
(
s)
1
1 e sT
z
1
s
si
2 i 1
Re
s
s
2
a a2
1 1 esT z 1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z 1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z 1 s ja
1 2j
1 1 e jaT
sin t
cos t
1
1 s
1 s2 1 s3 1 sa
1 (s a)2
s2 2
s
s2 2
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1
z z 1
zT ( z 1) 2
z ( z 1)T 2 2( z 1)3
z z eaT
zTe aT ( z eaT )2
z sin T z 2 2z sin T 1
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7.1.2、 z变换-部分分式法
F z f kT zk k 0
设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)， 求它所对应的z变换式F(z)。
➢首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：
n
F(s)
Ai
i1 s si
式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。 ➢然后，由拉氏反变换得出f(t)为
解： f (kT ) eakT k 0,1,2,
F (z) Z[eat ] eakT z k 1 eaT z 1 k 0
e2aT z 2 e3aT z 3
1
z
1 eaT z 1
z eaT
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7.1 z变换与反变换
1. z变换部分分式法 2. z变换留数法 3. z变换性质 4. z反变换方法 （部分分式、幂级数法、留数法）
(z)
1 1 z 1
1
1 eT
z 1
f
() lim (1 z1)F (z) z 1
lzim1 (1
z
1
)( 1
1 z
1
1
Baidu Nhomakorabea
1 eT
z
1
)
lzim1 1
1 1
z 1 eT z 1
)
1
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小结-z变换方法与性质
z变换的部分分式法 z变换的留数法
F (z)
n i 1
Ai z z esiT
f (k n) 是向左移了n个采样周期的序列（时间超前） f (k n) 是向右移了n个采样周期的序列（时间滞后）
Z[ f (k 1)] zF (z) zf (0)
Z[ f (k 2)] z2F (z) z2 f (0) zf (1)
Z[ f (k n)] znF (z) zn f (0) zn1 f (1) zn2 f (2) zf (n 1) Z[ f (k n)] znF (z)
1 a)2
1
1 e sT
z 1
sa
(2
1 1)!
d ds
(s
a)2
(s
1 a)2
1
1 e sT
z 1
sa
TesT z 1 1 esT z 1
2
sa
TeaT z 1 1 eaT z 1
2
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7.1.3、 z变换
(t)
1(t )
t
t2 /2 e at
te at
课前复习-z变换的级数求和法
z变换的级数求和法
F z f kT zk k 0
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 k 0
例 求指数函数f（t）的z变换
f(t )
e at
0
t 0 t 0
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课前复习-级数求和法
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 k 0
Z变换线性性质
X (z) F(z) G(z)
z变换实数、复数位移定理
Z eat f (t) F (zeaT )
z变换初值、终值定理 f (0) lim F(z) f() lim(1 z 1)F(z)
z
z 1
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7.1.5、z反变换
z变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在 连续控制相同中所起的作用是同样的。
Ai
i1 s si
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解： F (s) a 1 1 s(s a) s s a
1)F (s) s 1
1
F (s)
1 s2
1 s
1 s 1
F(z)
Tz 1 (1 z 1)2
1
1 z
1
1
1 eT
z
1
(T eT 1)z 1 (1 eT TeT )z 2
(1 z1)2 1 eT z1
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7.1.3、 z变换-留数法
若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则 f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：
超前
证明：
Z[ f (t nT )] f (kT nT )zk zn f (kT nT )z(kn)
k 0
k 0
令 mkn
Z[f(t nT )] z n f(mT )z m z nF(z)
m n
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7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
例：求 f (k 1) 、f (k 2) 、f (k n) 和 f (k n)的z变换。