大学物理学振动与波动习题答案

大学物理学（上）第四，第五章习题答案

第4章振动

P174．

4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为

x = A cos(ωt + φ)，

其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．当t = 0时，x = 0.06m，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ = ±π/3．

物体的速度为

v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．

当t = 0时，

v = -ωA sinφ，

由于v > 0，所以sinφ < 0，因此

φ = -π/3．

简谐振动的表达式为

x = 0.12cos(πt –π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为

x = 0.12cos(π/2–π/3)

= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．

速度为

v = -πA sin(π/2–π/3)

= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．

加速度为

a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)

= -π2A cos(πt - π/3)

= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．

（3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得

cos(πt1 - π/3) = -0.5，

因此

πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v< 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此

πt1 - π/3 = 2π/3，

得t1 = 1s．

当物体从x= -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此

cos(πt2 - π/3) = 0，

可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．

由于t2 > 0，所以

πt2 - π/3 = 3π/2，

可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为

Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x= 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此

cos(πt - π/3) = 0，

可得πt - π/3 = π/2，

解得t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程

x = A cos(ωt + φ)，

当t = 0时，可得

φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），

初位相的取值由速度决定．

由于

v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，

当t = 0时，

v = -ωA sinφ，

当v > 0时，sinφ < 0，因此

φ = -arccos(x0/A)；

当v < 0时，sinφ > 0，因此

φ = arccos(x0/A)．

可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．

4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；

（2）振

动表达式；

（3）画

出旋转矢量

图．

[解答]

方法一：由

位相求时

间．

（1）设曲线方程为

x = A cosΦ，

其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以

cosΦa = 1，

因此Φa = 0．

由于x b = A/2，所以

cosΦb = 0.5，

因此Φb = ±π/3；

由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

Φb = π/3．

由于x c = 0，所以

cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此

Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为

Φd = 2π/3，Φe = π．

c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为

t a = T/6．

到达b点的时刻为

t b = 2t a = T/3．

到达c点的时刻为

t c = t a + T/4 = 5T/12．

到达d点的时刻为

t d = t c + T/12 = T/2．

到达e点的时刻为

t e = t a + T/2 = 2T/3．

（2）设振动表达式为

x = A cos(ωt + φ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以

cosφ = 0.5，

因此

φ =±π/3；

由于零时刻的位相小于a点的位相，所以

φ = -π/3，

因此振动表达式为

cos(2)

3

t

x A

T

π

=π-．

另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；

由于其斜率大于

零，所以速度大

于零，因此初位

相取负值，从而

可得运动方程．

（3）如图旋

转矢量图所示．

方法

二：由时间

求位相．将

曲线反方

向延长与t

轴相交于f

点，由于x f

= 0，根据

运动方程，可得

cos(2)0

3

t

T

π

π-=

图6.2