42平面向量基本定理一轮复习

uuur uuur uuur
OC 2OA OB 2a b,
uuur DC
uuur OC
uuur OD
2a
b
2
b
2a
5
b.
3
3
(2)(2014·郑州模拟)如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是
将OuuBur 分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设
uuur uuur OA a,OB b.
②若
uuur OE
OuuAur ,求实数λ的值.
分析：由平面向量基本定理及共线向量定理求解.
uur uur
uur uur
解：由题意知，EC / /DC，可设EC = xDC.
Q
uuur EC
uuur OC
uuur OE
2a
b
a
2
a
uuur b, DC
2a
5 b,
2
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a
b
x(2a
5
3 b).因a与b不共线，由平面向量基本定理，
即点P在直线AB上
【变式训练】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且
uur AN =
1
uur NC,
BN与CM相交于点E，设
uuur uuur AB a,AC b,
试用基底a,b
2 uur
表示向量 AE.
uur 解：∵ AN
=
1
uur AC
=
1
r uur b,AM
=
1
uur AB
=
1
r a,
将 OuuBur 分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设
uuur OA
uuur a,OB b.
uuur uuur
①用a和b表示向量 OC，DC；
分析：①由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解;
解：由题意知,A是BC的中点，且
uur OD
=
2
uur OB，
uur uur u3ur
由平行四边形法则，得 OB + OC = 2OA，
对于④，1 a - 1 b = 1(a - 1 b)，故a - 1 b与 1 a - 1 b共线，
242 2
2 24
由基向量的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以.
【规律方法】 1.构成平面向量的一组基底的条件 (1)一组基底有两个向量. (2)这两个向量不共线(其中没有零向量).
(2)(2014·郑州模拟)如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是
第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
三年5考 高考指数:★★☆☆☆
考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义 考情 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件
三年 考题
13年(1考):北京T13 12年(2考):浙江T15 11年(2考):山东T12
=
2
r a
+
1
r b.
55
2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向 量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序 数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a= __(x_,_y_)_,其中a在x轴上的坐 标是x,a在y轴上的坐标是y.
λ1,λ2,使a= _λ___1e_1_+_λ___2e.2
【典例】(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0，关 于向量a的分解，有如下四个命题： ①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；②给定向量b和c，总 存在实数λ和μ，使a=λb+μc； ③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使 a=λb+μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c， 使a=λb+μc；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不
天津T7 北京T10
考情 播报
1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线 的坐标表示是近几年高考的重要考向 2.题型以选择题、填空题为主,属于中、低档题
【知识梳理】
1.平面向量基本定理 (1)基底:平面内__不__共_线__的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所 有向量的一组基底.
(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数
分析：(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断.
解：(1)因为a与b不共线，所以，对于①，显然a与-2b不共线；
对于②，假设a+b与a-b共线，则存在实数λ,使 a+b=λ(a-b),
则λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛盾，故假设不成立，
即a+b与a-b不共线；
同理，对于③，a+b与a+2b也不共线；
33
22
由N,E,B共线，存在实数m，有
AE
A
E31mbmAN11mamA
B
由C,E,M共线，存在实数n，有 AE nAM 1 nAC AE
1 3
mb
1
ma
1 2
na
1
nb,
由于a,b为基底，
1 2
na
1
nb
所以
1-
m
=
1 2
1
m
=
1-
n, 解得m
n,
=
3 5
,n
=
4 5
,
3
uur 所以AE
整理得 uur
OP
=uur1-λuuOrA
+λOB
若 OP = 1-λ OA +λOB，λR,则
uur uur uur uur
OP - OA =λ OB - OA ,
uur uur
uur uur
∴ AP =λAB, 即AP / /AB
∴ AP、AB 共线，且有公共点A，∴ A、B、P 三点共线。
已知O为直线AB外任意一点，
uur
uur uur
求证：若P在直线AB上
存在实数λ,使OP
uur
=uu1r-λ
OA
+λOB
证明：若点P在直线AB上，则 AP / /AB,
uur uur
由共线向量定理，存在实数λ，使AP =λAB,
uur uur uur uur
于是 OuuPr - OA =λ OuBur- OA u,ur
B 共线，则真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
考点1 平面向量基本定理及其应用 【典例1】(1)(2014·临沂模拟)若a与b不共线，已知下列各组 向量①a与-2b;②a+b与a-b; ③a+b与a+2b;④ a 1 b与 1 a 1 b.
2 24
其中可以作为基底的是_________(只填序号即可).
得
2 -λ= 2x,
-1
=
-
5 3
解得 x,
x = λ=
3
3
,
5 故λ=
4.
5
4 5
.
2.应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行 的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知 向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. (3)强化共线向量定理的应用 提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题 带来方便.