二次曲面分类

由上述4个方程消去其中的参数x1,y1,z1所得的 方为 x 2 2pyz 注：此方程的图形比原锥面多了整个y轴（原点除外）， 类似对准线为双曲线的锥面图形在几何直观上是不完整的， 通过添上无穷远点可得到完整图形。（射影几何：椭圆， 双曲线，抛物线认为是同一类曲线）参见：尤承业《解析几何》P:275
x2 y2 (11) 2 2 1 0; a b 2 2 x y (13) 2 2 0; a b 2 2 (15) x a 0; (17）x 0.
2
x2 y2 (12) 2 2 0; a b (14) x 2 2 py 0; (16) x a 0;
（双曲，抛物）锥面
2 x 例：求锥顶在原点，准线的方程为 2py z 1 的锥面方程
解：任取准线上一点P1(x1,y1,z1),则过点P1和原点O(0,0,0) 的直线方程为： x y z ， x1 y1 z1
x12 2py1 又P1(x1,y1,z1)在准线上，故 z1 1
2 2
类似结论参见 P:201 Th5.5.6 （二次曲面关于正交变换的分类（即度量分类） ）
二次曲面方程的化简和分类
(P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1; P:201 Th5.5.6)

椭球面 （单页，双叶）双曲面 （椭圆，双曲）抛物面 （椭圆，双曲，抛物）柱面 椭圆锥面 （两相交，两平行，重合）平面 一条直线 一点
二次曲面分类
胡Baidu Nhomakorabea春
浙江师范大学数学系 http://course.zjnu.cn/hnc
二次曲面方程的化简和分类 （ P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1）
定理 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可 以化成下列五个简化方程中的一个：
(1) a11 x 2 a22 y 2 a33 z 2 a44 0, a11a22 a33 0; (2) a11 y 2 a22 y 2 2a34 z 0, a11a22 a34 0; (3) a11 x 2 a22 y 2 a44 0, a11a22 0; (4)a11 x 2a24 y 0, a11a24 0;
x2 y2 2 2z 2 a b
x2 y2 2 2z 2 a b
Thank you!
2
(5)a11 x 2 a44 0, a11 0.
定理 通过适当选取坐标系，二次曲面的方 程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：
x2 y2 z2 x2 y2 z2 (1) 2 2 2 1 0; ( 2) 2 2 2 1 0; a b c a b c x2 y2 z2 x2 y2 z2 ( 3) 2 2 2 1 0; (4) 2 2 2 1 0; a b c a b c x2 y2 z2 x2 y2 z2 (5) 2 2 2 0; (6) 2 2 2 0; a b c a b c x2 y2 x2 y2 (7 ) 2 2 2 z 0; (8) 2 2 2 z 0; a b a b x2 y2 x2 y2 (9) 2 2 1 0; (10) 2 2 1 0; a b a b