专题训练——全等三角形与角平分线

板块 考试要求 A 级要求

B 级要求

C 级要求

全等三角形 会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题

会运用全等三角

形的性质和判定解决有关问题

全等三角形的认识与性质

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形．

全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形

ABCDE

≌五边形'

'

'

''

A

B C

D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”

．

A'

B'

C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．

全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为

“≌”

． 全等三角形的判定方法：

(

1)

边角边定理

(

SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．

(2

)

角边角定理(ASA

)

：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

(3

)

边边边定理

(SSS

)：三边对应相等的两个三角形全等． 知识点睛

中考要求

第一讲

全等三角形与角平分线

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．

奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B O

P

P

O

B A

A B

O

P

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的

基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点

难点：

本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，

要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表

示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

重、难点

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；

⑹ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列( )条件，则它们一定全等． A ．两边和其中一边的对角对应相等 B ．三个角对应相等且面积相等 C ．两角和一组对应边相等 D ．两边及面积对应相等 ③ 下列命题错误的是( )

A ．面积相同的两个三角形必然是一对全等三角形

B ．某一三角形经过任意平移所产生的三角形与原三角形全等

C ．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等

D ．有两角和一条边对应相等的两个三角形全等 【解析】 ①⑴定义，⑵SAS ，⑶ASA ，⑷AAS ，⑸SSS ，⑹HL ；相等．②B ；③A ．

【巩固】 ⑴ 考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线

(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．

⑵已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．

⑶如图，在Rt ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上的点，且CE AF =．如果62AED ∠=︒，那么DBF ∠=__________．

⑷如图，已知ABC ∆中，90ABC AB BC ∠=︒=，，三角形的顶点在相互平行的三条直线

123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______．

F

B

A

C

B

A

l 3l 2

l 1 【解析】 ⑴ 2，注：正确的是②③；⑵ 7；⑶ 28︒；⑷ 217

【例2】 如图，已知AC FE =，BC DE =，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使△ABC ≌△FDE ，

还需添加一个．．

条件，这个条件可以是（ ）并且写出证明过程。 【解析】 C E ∠=∠,AD BF =AB DF =都可以，证明过程略

F E

D

C

B

A

【巩固】 如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE CF =，请在下列四个等式中，

①AB DE =，②ACB F ∠=∠，③A D ∠=∠，④AC DF =．选出两个作为条件，推出

ABC DEF ∆∆≌．并予以证明．

（写出一种即可） 已知：

， ． 求证：ABC DEF ∆∆≌． 例题精讲