新人教A版高考数学一轮复习椭圆及简单几何性质课件

ax22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围
对称性
性质 顶点 轴 焦距
离心率 a，b，c的关系
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
＝2.当 P，Q 为短轴端点时，四边形的面积最大，故 2bc＝2 3，
即 bc＝ 3.椭圆方程可以是x42＋y32＝1.故选 C.
2.(老教材选修2－1P49T1改编)若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10 ，则P点的轨迹方程是________________________. 解析 因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆， 其中 a＝5，c＝3，b＝ a2－c2＝4，故点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1. 答案 2x52 ＋1y62 ＝1
长轴A1A2的长为__2_a___；短轴B1B2的长为__2_b___
|F1F2|＝_2_c____ e＝∈__(_0_，__1_) ___
c2＝___a_2－__b_2___
[常用结论与微点提醒]
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔ax202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔ax202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔ax202＋by202>1.
解析 (1)由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2 3>|AF|＝2，∴点 P
的轨迹是以 A，F 为焦点的椭圆，且 a＝ 3，c＝1，∴b＝ 2，∴动点 P 的轨迹方程
为x32＋y22＝1，故选 D. (2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0). 由题意，得2a9a2＋＝b032×＝21b，，解得ab＝ ＝31， . 所以椭圆的标准方程为x92＋y2＝1. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的方程为ya22＋xb22＝1(a>b>0).
4.(2019·北京卷)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，则(
)
A.a2＝2b2
B.3a2＝4b2
C.a＝2b
D.3a＝4b
解析 因为椭圆的离心率 e＝ac＝12，所以 a2＝4c2.又 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4b2.故选 B. 答案 B
5.(2020·东北三省四校调研)过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点的椭圆的方程 为( )
圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当
点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
(2)(2020·河北九校联考)设 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭 圆 C 上的一点，且 PF1⊥PF2，若△PF1F2 的面积为 9，周长为 18，则椭圆 C 的方程 为________________.
由题意得2a0a2＋＝b932×＝21b，，解得ab＝ ＝93， . 所以椭圆的标准方程为8y12 ＋x92＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
法二 设椭圆的方程为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则由题意，知m9 ＝1， 2 m＝3×2
或m9 ＝1， n 2 n＝3×2
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作 用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做__椭__圆___. 这两定点叫做椭圆的___焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距___.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )
(3)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(4)xa22＋yb22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同.(
C.x42＋y32＝1
D.1x62 ＋y82＝1
(2)(2019·岳阳调研)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是椭 圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为________________.
解析 (1)如图，由四边形 PF1QF2 周长为 8，可知 4a＝8，所以 a
|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋
|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.
答案 C
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB
【训练 2】 (1)(2020·亳州模拟)椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1，F2，椭圆
上两动点 P，Q 总使 PF1QF2 为平行四边形，若平行四边形 PF1QF2 的周长和最大
面积分别为 8 和 2 3，则椭圆的标准方程可能为( )
A.x22＋y2＝1
B.x42＋y22＝1
【训练 1】 (2019·福建四校联考)已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A.2 3
B.6
C.4 3
D.2
解析 由椭圆的方程得 a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|＋
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a ，c为常数： (1)若__a_＞__c__，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c__，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c__，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
A.1x52 ＋1y02 ＝1
百度文库
B.2x52 ＋2y02 ＝1
C.1x02 ＋1y52 ＝1
D.2x02 ＋1y52 ＝1
解析 由题意知 c2＝5，可设椭圆方程为λ＋x2 5＋yλ2＝1(λ>0)，则λ＋9 5＋4λ＝1，解得 λ
＝10 或 λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
(2)S＝b2tan θ2＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc. 4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝2ab2. 5.AB 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22xy00.
3.(老教材选修 2－1P49A6 改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________. 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以 c＝1，则 F1(－1，0)，F2(1， 0)，由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，得 x ＝± 215，又 x＞0，所以 x＝ 215，∴P 点坐标为( 215，1)或( 215，－1). 答案 ( 215，1)或( 215，－1)
的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.1x22 ＋1y12 ＝1
B.3x62 －3y52 ＝1
C.x32－y22＝1
D.x32＋y22＝1
(2)(一题多解)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为
对称轴，则椭圆的标准方程为________________.
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角形，r1＝ |PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S，则在椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)中； (1)当 r1＝r2 时，即点 P 的位置为短轴端点时，θ 最大；
答案 A
6.(2019·浙江卷)已知椭圆x92＋y52＝1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方.若 线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是
________.
解析 设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，
则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4.
)
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于
|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
(2)因为 e＝ac＝
a2－b2＝ a
1－ba2，所以 e 越大，则ba越小，椭圆就越扁.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
又知b>0，∴b＝3，
又知△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1，② 由①②得 a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为2x52＋y92＝1. 答案 (1)A (2)2x52 ＋y92＝1
规律方法 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点 三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. 2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a， 得到a，c的关系.
m，解得mn＝＝19，或mn＝＝891，.
所以椭圆的标准方程为x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1.
答案 (1)D (2)x92＋y2＝1 或8y12 ＋x92＝1
规律方法 根据条件求椭圆方程的主要方法有： (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标 轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦 点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. (3)椭圆系方程 ①与ax22＋by22＝1 共焦点的椭圆系为a2x－2 k＋b2y－2 k＝1(k<b2). ②与ax22＋by22＝1 有共同的离心率的椭圆系为ax22＋yb22＝λ 与ay22＋bx22＝λ(λ>0).
解析 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|. 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r. 又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦 点，r为长轴长的椭圆. (2)∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2为直角三角形， 又知△PF1F2 的面积为 9，∴12|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在 Rt△PF1F2 中， 由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2， 即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9.
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2.
又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，
tan ∠MFF′＝||MMFF′||＝
|FF′|2－|MF|2＝ |MF|
15，
即直线 PF 的斜率是 15.
答案 15
第一课时 椭圆及简单几何性质
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是